Appunti per esame orale di Algebra lineare e geometria

Name: Appunti per esame orale di Algebra lineare e geometria
Rating: 4.0 (2 reviews)
Author: alessandro.difelice48

Revisionato il 28/07/2026

di alessandro.difelice48

Publisher

Vota 4,0/5 (2)

Contenuto verificato e approvato dal Team di Esperti di Skuola.net

Appunti per parte orale dell'esame di Algebra lineare e geometria. Gli appunti sono stati presi durante le lezioni della prof e rivisti in un secondo momento con l'ausilio delle lezioni online …

Esame Algebra lineare e geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Sarfatti Giulia

Università Università Politecnica delle Marche - Ancona

A.A. 2020-2021

71 pagine

Appunti esame

Scarica

Estratto del documento

Somma tra matrici

Proprietà

Commutativa A+B=B+A

Associativa (A+B)+C=(B+C)+A

Elemento neutro nella somma: matrice nulla

Elemento opposto: A+(A)=Elemento neutro somma

Esempio

A=| x y | B=| x₁ y₁ | A+B=| x+x₁ y+y₁ |

| _{z w} | | _{z₁ w₁} | | _{z+z₁ w+w₁} |

Prodotto per scalare

Proprietà

λ(A·M)=(λ·A) Associativa

Distributiva (λ+μ)·A=λ·A+μ·A

Elemento neutro: 1·A=A

Esempio

A=| x y | λ·A=| λx λy |

| _{z w} | | _{λz λw} |

Trasposta di una matrice

La trasposizione di una matrice consiste nello scambiare le righe con le colonne della matrice

Esempio

A=| x y | Aᵀ=| x z |

| _{z w} | | y w |

Osservazione

(A+B)ᵀ=Aᵀ+Bᵀ=> (3+5)ᵀ=3ᵀ+5ᵀ

1 2 2 1

(A+B)ᵀ=Aᵀ+Bᵀ

(λ·A)ᵀ=λ·Aᵀ

Matrici particolari

Matrici quadrate: matrici in cui il numero di colonne coincide con il numero delle righe

Matrici diagonali: matrici con tutti i coefficienti nulli, ad eccezione dei coefficienti posti sulla diagonale principale

Matrici simmetriche: matrici tali che la loro trasposta coincide con l'originale (Aᵀ=A)

Matrici antisimmetriche: matrici tali che la loro trasposta sia uguale all'opposto della matrice originale, matrici definite come opposte Aᵀ=A² (in pratica escono se A=Aᵀ e soprattutto con tutti gli elementi nulli sulla diagonale)

Somma tra matrici

Proprietà

Commutativa A+B=B+A

Associativa (A+B)+C=(B+C)+A

Elemento neutro della somma: matrice nulla

Elemento opposto: A + A(opposto) = elemento neutro somma

Esempio

A = (^{x z}/_{c w}) B = (^{y j}/_{n w₁}) A+B = (^{x+y z+j}/_{c+n w+w₁})

Prodotto per scalare

Proprietà

Associativa λ(μA)=(λμ)A

Distributiva (λ+μ)A = λA + μA

Elemento neutro: 1•A = A

Esempio

A = (^{x y}/_{w z}) λA = (^{λx λy}/_{λw λz})

Trasposta di una matrice

La trasposizione di una matrice consiste nello scambiare le righe con le colonne della matrice.

Esempio

A = (^{x z}/_{w q}) A^T = (^{x w}/_{z q})

Osservazione

(a+b)^T = a^T + b^T

Matrici particolari

Matrici quadrate: matrice in cui il numero di colonne coincide con il numero delle righe

Matrici diagonali: Matrice con tutti i coefficienti nulli, ad eccezione dei coefficienti posti sulla diagonale.

Matrici simmetriche: Matrici tali che la loro trasposta coincida con la matrice stessa (A^T = A)

Matrici antisimmetriche: Matrici tali che la loro trasposta sia uguale all'opposto della matrice originaria (A^T = -A). In una matrice antisimmetrica, tutti gli elementi nulli sulla diagonale.

Matrici triangolari superiori: tipologia di matrice in cui tutti gli elementi posti al di sotto della diagonale sono nulli.
Matrici triangolari inferiori: tipologia di matrice in cui tutti gli elementi posti al di sopra della diagonale sono nulli.

Prodotto righe per colonne tra matrici

Il prodotto righe per colonne è un metodo per calcolare il prodotto tra due matrici il cui risultato sarà una matrice che avrà numero di righe uguale alla prima matrice & numero di colonne uguale alla seconda matrice. Questo tipo di prodotto avviene moltiplicando una colonna per tutte le righe della seconda matrice & fermando il processo per le restanti colonne della prima matrice.

Nel caso in cui si calcoli il prodotto tra una matrice righe e una matrice colonne il risultato sarà un reale.

Proprietà

Associativa ... = c ...
Distributiva = A(B + C) = AB + AC
Elemento neutro: O ·A = O/ A·O = O
A(λB) = λ(AB)

Matrici identità

La matrice identità è una tipologia in cui tutti i coefficienti, fatta eccezione di quelli posti sulla diagonale, sono nulli, e se così mentre gli elementi sulla diagonale sono tutti uguali a x = 9.

La matrice identità rappresenta anche l’elemento neutro del prodotto di matrici, infatti A · I_n = A/ I_n · A = A dove I_n rappresenta matrice identità

Esempio

Matrici invertibili

Una matrice che ammette un elemento inverso si dice invertibile se c'è una matrice tale che il prodotto con la matrice iniziale sia uguale alla matrice identità.

A • B = In dove A = B ^-1

NB: Le uniche matrici che ammettono l'inv

Anteprima

Vedrai una selezione di 16 pagine su 71