Appunti per esame Geometria e Algebra lineare

Rette e piani

Equazione parametrica della retta

Fissato un sistema di riferimento R(O, ›i, ›j, ›k) e un vettore direttore ›d → coord [d] = t:

x = xt
y = 3t
z = 6t
con t∈R → con un punto Po si somma

Quindi (x₀)_x₀ y₀ z₀ (x₀)_V>

Se mi vengono dati 2 punti A e B →
A: (x₁ y₁ z₁)
B: (x₂ y₂ z₂)
ie vettore direzione si ottiene facendo OA ➔ OB ➔ (x₂−x₁ y₂−y₁−z₁−z₂)

Per trovare l'equazione cartesiana

1. Isolo il parametro
2. Uso la sostituzione, eliminando la t

Piani (π)

π → Span di due vettori (giaciutura)

Considero 2 vettori U e V → [U^→] e [V^→]

• [U] = (Vx₁ Vy₁ Vz₁)
• [V] = (Vx₂ Vy₂ Vz₂)

π. x = αU + βV

Forma parametrica

In forma cartesiana: π αx + βy + δz = δ
normale al piano: n^→ = (α β δ)

π: α(x−x₀) + β(y−y₀) + δ(z−z₀) = 0

Rette e piani

Equazione parametrica della retta fissato un sistema di riferimento e un vettore DIRETTORE_d coord

• x = x₀ + at
• y = y₀ + bt
• z = z₀ + ct

Se mi vengono dati 2 punti I₂:

• x = αu_x + βv_x
• y = αu_y + βv_y
• z = αu_z + βv_z

Forma parametrica

π: α(x-x₀) + β(y-y₀) + δ(z-z₀) = 0

Vettori applicati

P(2,2)

In ℝ² = ⃗(,)

|| = Norm/Modulo (lunghezza) = √²+²
Norma ⟨̅, ̅⟩ = √₁²+₂²+...+²

Somma vettori = (₁, ₁) = (₂, ₂)→ + = + = (x₁+x₂, y₁+y₂)

Angolo tra 2 vettori =(₁) =(₁)

cosα = · / || || = (₁x₂ + ₁y₂ + ₁z₂) / √₁²+₁²+₁² * √₂²+₂²+₂²

Prodotto scalare tra vettori ⟨, ⟩ = ₁₂ + ₁₂ + ₁₂

Verificare che i vettori sono linearmente indipendenti

In ℝ²

₁ = (1 2)
₂ = (-1 0) → ⍺₁ + ₂ = 0
(2⍺ + ) = 0 ⍺=0, =0 → Linearmente indipendenti

In ℝ³ (stessa cosa)

₁ = (1 4 3)
₂ = (-1 0 2)
₃ = (0 4 1)

Per mostrare che ₃ ∈ Span(₁, ₂)

⍺₁ + ₂ + ⍺₃ = 0
⍺=0, =0, ⍺=0 → Linearmente indipendenti

Considero 2 vettori {, }

Suppongo che = ⍺
Se trovo Dip...
Se non trovo Indipendenti
Si fanno i conti utilizzando alla fine un sistema, solo i coeff di ,,

Con 3 vettori
ᵧ = ⍺ + Oppure che l'unica combinazione lineare è quella banale.

In sintesi, ⍺₁ + ... + ⍺ = 0, se tutti gli α sono 0 allora sono linearmente indipendenti.

Spazi vettoriali e sottospazi vettoriali

Si parla di spazio vettoriale quando valgono le seguenti proprietà:

1. Legge di cancellazione → se u + v = v + w → u = w
2. Vettore nullo ∀α∈ℝ campo scalare → α0V = 0V α×0 = 0 se α ≠ 0 oppure ũ è vettore nullo
3. ū opposto → [-1]⋅ū = -ū

Si parla invece di sottospazio vettoriale se:

SSSp_ℝ ⊂ V (sottinsieme di V su ℝ) non è vuoto
SSSp_ℝ ∀ u₁,u₂ ∈ U → u₁ + u₂ ∈ U Chiusura rispetto all'addizione
SSSp_ℝ ∀ u∈U, ∀α∈ℝ u×α∈U Chiusura rispetto alla moltiplicazione
oppure si verifica che l'insieme dato sia span di determinati vettori

Una base di uno spazio vettoriale è definita come una lista di vettori {V₁,...,V_k}⊆V ↔ indipendente sistema di generatori

Algoritmo di Estrazione V=ℝ⁴
Lista = {^(1,0,1,0), ^(1,−1,0,0), ^(1,0,1,0), ^(1,1,0,1), ^(1,1,1,1)} V_t