Appunti di "Fondamenti di algebra lineare e geometria"

Spazi vettoriali

1) Uno spazio vettoriale è un insieme V, i cui elementi sono dei vettori, dotato di due operazioni:

• La somma (+) che è commutativa, associativa, ammette l'elemento neutro 0 ed elemento opposto -v;
• L'azione esterna di su V caratterizzate delle proprietà associativa, distributiva e che ammette l'elemento neutro 1_V.

Esempi di spazi vettoriali

- es.: ²² = {(a,b) | a,b ∈ }

Somma: (a,b) + _² (c,d) = (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) ∈ ²

0 = (0,0)

Azione di: ∀ α ∈ , ∀ (a,b) ∈ ², α · _² (a,b) = (α;a, α;b) ∈ ²

- es.: ³³ = {(a,b,c) | a,b,c ∈ }

Somma: ∀ (a,b,c), (d,e,f) ∈ ³, (a,b,c) + _³ (d,e,f) = (a+d, b+e, c+f) ∈ ³

Azione di: ∀ α ∈ , ∀ (a,b,c) ∈ ³, α · _³ (a,b,c) = (α;a, α;b, α;c) ∈ ³

0 = (0,0,0)

1 = (1,1,1)

- es.: ^mm = {(a₁, a₂,..., a_m) | a₁, a₂,..., a_m ∈ , m ∈ ℕ;}

0 = (0, ..., 0)_{m volte}

1 = (1, ..., 1)_{m volte}

- es.: ¹

0 = 0; 1 = 1, α · _¹ v = αv ∈

- es.: ⁰ (spazio vettoriale banale) ⇒ spazio nullo

⁰ = {Θ}

α · _⁰ Θ = Θ ∈ ⁰

0 = 0 = o ∈ ⁰

- es.: per I ⊆ V(I)

Somma: (f +_y g)(x) = f(x) + g(x)

0_y = 0(x) ≡ 0

Azione: ∀ α ∈ , (α · _y f)(x) = α · f(x)

1_y = ι_(x) ≡ 1

- es.: ¹ su ℤ

Spazi vettoriali

-) Uno spazio vettoriale è un insieme V, i cui elementi sono dei vettori, dotato di due operazioni:

• La somma (+) che è commutativa, associativa, ammette l’elemento neutro 0 ed elemento opposto -v;
• L’azione esterna di K su V caratterizzate dalle proprietà associative, distributive e che ammette l’elemento neutro 1_K.

es. R²

R² = { (a,b) \ a,b ∈ ℝ }

Somma: ∀ (a,b) +_R² (c,d) = (a,b) +_R² (c,d) = (a+c, b+d) ∈ R²

0 = (0,0)

Azione di R: ∀ α ∈ ℝ, ∀ (a,b) ∈ R², α (a,b) = (α;a, α;b) ∈ R²

es. R³

R³ = { (a,b,c) / a,b,c ∈ ℝ }

Somma: ∀ (a,b,c), (d,e,f) ∈ R³, (a,b,c) +_R³ (d,e,f) = (a+d, b+e, c+f) ∈ R³

Azione di R: ∀ α ∈ ℝ, ∀ (a,b,c) ∈ R³, α (a,b,c) = (α;a, α;b, α;c) ∈ R³

0_R³ = (0,0,0)

1_R³ = (1,1,1)

es. R^m

R^m = { (a₁, a₂,…, a_m) \ a₁, a₂,…, a_m ∈ ℝ, m ∈ ℕ }

0_R^m = (0,…, 0)

1_R^m = (1,…, 1)

es. R¹

0_R¹ = 0

1_R¹ = 1

α ∈ ℝ, ∀ = α ∈ ℝ

es. R⁰ (spazio vettoriale banale) o spazio nullo

R⁰ = {0}

α ∈ ℝ⁰: α 0 = 0 ∈ ℝ⁰

0_R⁰ = 0 ∈ ℝ⁰

es. per I ⊆ ℝ / (I)

Somma: (+) () = () + ()

0 = 0() ≡ 0

Azione: ∀ α ∈ ℝ, (α) () = α ()

1 = () ≡ 1

es. R¹ su ℤ

Somma: ∀ v₁,v₂ ∈ Rⁿ, v₁ + v₂ = (v₁₁ + v₂₁) ∈ Rⁿ

Azione: ∀ q ∈ Q, ∀ v ∈ Rⁿ, q * R v ∈ (qv₁) ∈ Rⁿ

Proprietà elementari degli spazi vettoriali

- Gli spazi vettoriali godono di alcune proprietà elementari:

• (i) ∃ 0 ∈ V / ∀ v ∈ V v + 0 = v
• (ii) ∀ v ∈ V ∃ -v ∈ V v + (-v) = 0
• (iii) 0 x = 0 ∈ R / ∀ v ∈ V 0 x v = 0
• (iv) ∀ α ∈ R α x 0 = 0
• (v) ∀ α ∈ R -1 x v = -(1) x v = -v
• (vi) Se α x v = 0 allora α = 0 ∨ v = 0
• (vii) Se α x v = β x v, α ≠ β allora v = 0

Esempio 1: matrici

3) es. 1: M (m x m, R)

Somma: ∀ M₁, M₂ ∈ M M₁ + M₂ = [ a b ] [ a j ] [ (a+z) (b+h) ] [ c ... ] m + [ c m ... ] ∈ M(m x m, R) [ m ] [ o ... ] [ (c+l) ... ]

Azione: ∀ α ∈ R, ∀ M ∈ M α x M = [ ... b ] [ α x α ... α x b ] [ c ... ] = [ c x α ... ] ∈ M(m x m, R)

Esempio 2: polinomi

3) es. 2: R [ x ]

P(x) = a₀ + a₁x + ... + aₘx^m aₘ ≠ 0, m ∈ N

Somma: ∀ P₁(x), P₂(x), P₁(x) + P₂(x) = Q(x) ∈ R[x]

Azione: ∀ α ∈ R, ∀ P(x), α x P(x) = α₀ x f + ... + α x aₘ x^m ∈ R(x)

- Oss. I polinomi R[x]