Appunti ottobre Analisi matematica 2

27 ottobre 2023

f(x,y)=0 (x_o,y_o) ∈ Z_f

• z = f(x,y)
• z = 0
• Z_f

Teorema delle funzioni implicite

f: A → ℝ

f ∈ C¹(A) (x_o,y_o)∈Z_f ∇f(x_o,y_o)≠(0,0)

Se ad esempio f_y^'(x_o,y_o)≠0⇒ ∃ U_xo ∃ g: U_xo → ℝ t.c. g(x_o) = y_o

f(x,g(x)) = 0 ∀ x∈U_xo

g^'(x) = - f^'_x(x,g(x)) / f^'_y(x,g(x)) ∀ x∈U_xo

Se invece f^'_x(x_o,y_o)≠0 ∃ U_yo ∃ h: U_yo → ℝ

h(y_o) = x_o

f(h(y),y)=0 ∀ y∈U_yo

h^'(y) = - f^'_y(h(y),y) / f^'_x(h(y),y) ∀ y∈U_yo

Applicazione del teorema di Dini

f ∈C¹(A) insieme di livello

f(x,y)=c

f(x,y)-c=0

Z_f-c

27 ottobre 2023

f(x,y)=0 (x₀,y₀)∈Z_f

• z=f(x,y)
• Z_f
• z=0

Teorema delle funzioni implicite

f∈C¹(A) (x₀,y₀)∈Z_f ∇f(x₀,y₀)≠(0,0)

Se ad esempio f’_y(x₀,y₀)≠0⇒ ∃U_x0 ∃g:U_x0→ℝ t.c. g(x₀)=y₀

f(x, g(x))=0 ∀x ∈ U_x0

g’(x)=-f’_x(x,g(x))/f’_y(x,g(x)) ∀x ∈ U_x0

Se invece f’_x(x₀,y₀)≠0 ∃U_y0 ∃h:U_y0→ℝ

h(y₀)=x₀

f(h(y),y)=0 ∀y ∈ U_y0

h’(y)=-f’_y(h(y),y)/f’_x(h(y),y) ∀y ∈ U_y0

Applicazione del teorema di Dini

f∈C¹(A) insieme di livello

f(x,y)=c

f(x,y)-c=0

Z_f-c

(x₀, y₀) ∈ Z_f-c e supponiamo ∇f(x₀, y₀) ≠ (0,0)

f(x, y)_c - c = 0 è esplicitabile

(diseg) T tangente al grafico di f-c in (x₀, y₀)

∂²/_∂τ (f-c) = ∂²/∂_τ (x₀, y₀) = ∇f(x₀, y₀) • τ

Siccome Z_f-c è cost. ∂f/∂_τ (x₀, y₀) = 0 => ∇f ⊥ τ

Massimi e minimi vincolati

max min. vincolati: f ∈ C¹(A)

max min. liberi f|_B

B = B^o ∪ FrB

B = { (x, y) ; y = g(x) }

[esempio (x, y) ; y = x²]

max min. liberi f(x, g(x)) = G(x)

B = { (x, y) ; x = h(y) }

Idem. H(y) = f(h(y), y)

B = { x = x(t) , y = y(t) } f(x(t), y(t))

Caso generale B g(x,y)=0

max min vincolato f: A ->R f∈C¹(A)

Sotto il vincolo g(x,y)=0 g∈C¹(A)

CN affinché (x₀,y₀)∈A sia di max/min vincolato per f rispetto al vincolo g(x,y)=0 (f, g ∈ C¹) è che (x₀,y₀) soddisfi il sistema

{g(x,y)=0 f’_x(x,y) f’_y(x,y) g’_x(x,y) g’_y(x,y) } |J|=0

Metodo dello Jacobiano

dim(x₀,y₀) sia di max, min vincolato -> g(x₀,y₀)=0 (x₀,y₀)∈Z_g)

∇g(x₀,y₀)≠(0,0) (1)

g’_y(x₀,y₀)≠0

g’_x(x₀,y₀)+0 (2)

∇g(x₀,y₀)=(0,0) (3)

(x₀,y₀)∈Z_g g∈C¹ g’_y(x₀,y₀)≠0

dim: ∃ U_x0 ∃ y: U_x0 -> R t.c. y∈C¹(U_x0)

y(x₀)=y₀

g(x,y(x))=0 ∀ x∈U_x0

y’_g(x)= -g’_x(x,y(x))/g’_y(x,y(x))

f(x,y) f(x,y(x))=F(x)

F: U_x0 -> R F è deriv:

F'¹(x) = f_x¹(x, y(x)).1 + f_y'(x, y(x)). y'(x)

F'¹(x) = f_x¹(x, y(x)) - f_y¹(x, y(x)). q_x'(x, y(x)) / q_y'(x, y(x))

F'¹(x) = f_x' g_y' - f_y' g_x' / g_y'

x_o ∈ U_xo ∀ di max/min.

f'_xg_y' - f'_yg_x' = 0

det | f_x' f_y' |   | g_x' g_y' |

Caso (2) si fa allo stesso modo x = x(y)

Caso (3) ma si può usare Diru!!

J ( | f_x' f_y' | ) → det J = 0

oss. J deve essere una matrice quadrata

F(x, y, z) sotto il vincolo g₁(x, y, z) = 0

g₂(x, y, z) = 0

J = ( | f₁' f₁' f₂' | )   ( | g₁' g₁' g₁' | )   ( | g₂' g₂' g₂' | )

Metodo dei moltiplicatori di Lagrange

f ∈ e¹

g ∈ e¹   g = 0

F(x, u, α) = f(x, u) + α. g (x, u)

F(x,y,) = f(x,y) + g(x,y)

(x₀,y₀) è di max min vincolato se ∇F(x₀,y₀,a₀) = ̲ (Fermat)

g(x₀,y₀) = 0

∂f/∂τ (x₀,y₀) = 0 ⇔ ∇f (x₀,y₀)⋅τ = 0

∇f ⊥ τ ⊥ ∇g ⇒ ∇f//=∇g

f'ₓ = c g'

f'ᵧ = c g'ᵧ

∇F = { f'ₓ = f'ₓ + g'ₓ = 0         f'ᵧ = f'ᵧ + g'ᵧ = 0 F'ₐ = g(x,y) = 0

Esercizi

f(x,y,z) = x + 3y - z       sotto i vincoli

x² + y² - 1 = 0    e    z - x - y = 0

f∈C∞(ℝ³)

g₁(x,y,z) = x² + y² - 1        g₁∈C¹(ℝ³)

g₂(x,y,z) = z - x - y       g₂∈C¹(ℝ³)

∇g₁ = (2x, 2y, 0)

∇g₂ = (-1, -1, 1)

g₁(x,y,z) = 0     cilindro

q₂(x₁, x₂, z) = 0 piano

q₁ = 0 ∩ q₂ = 0 ellisse (compatto)

q₂ = 0 x = x + y

ℱ(x, y₁, x₂^*) = x + 3y - x - y = 2y = F(x, y)

x² + y² = 1

F(x₁, y) = 2y

y = 1 x = 0 z = 1

(0, 1, 1) max ass.

(0, -1, -1) min. ass.

Oppure.

ℱ(x, y₁, z) = x + 3y - z

x² + y² - 1 = 0

z = x + y

x² + y² = 1

J022x2y

det J > 0 vinc

x = 0

y = ±1

z = x + y

z = ±y

Vincolo sferico

ℱ(x, y₁, z) = y - 2x - 2z

vincolo x² + y² + z² - 1 = 0

(sfera)

compatto

f ∈ C^∞(ℝ³)

metodo delle Jacobiane non è utilizzabile.

x²+y²+ z² = 1 → coord. sferiche

Usiamo metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

g(x,y,z) = 0

x²+y²+ z² -1= 0

g ∈ C^∞(ℝ³)

∇g= (2x,2y,2z) = (0,0,0) ⇔ (x,y,z) = (0,0,0)

g(0,0,0) = -1

(0,0,0) ∈ Z_g ⇒ ∇g ≠ 0 in tutti i punti del vincolo.

F(x,y,z, a) = y - 2x - 2z + a(x² + y² + z² -1)

applichiamo Forcard a F per determinare i candidati

F_x' = -2 + 2ax = 0   2ax = 2   x = ¹/_a

F_y' = 1 + 2ay = 0   2ay = -1   y = -¹/_2a

F_z' = -2 + 2az = 0   2az = 2   z = ¹/_a

F_a' = x² + y ² + z² -1 = 0   x² + y² + z² = 1

a ≠ 0   (x = a = 0   -2 = 0)

¹/_a² + ¹/_4a² + ¹/_a² = 1

⁹/_4a² = 1

a² = ⁹/₄   a = ± ³/₂

a = ³/₂   →   ( ²/₃ , - ¹/₃ , ²/₃ )   P₁

a = -³/₂ → (-²/₃, +¹/₃, -²/₃) P₂

f(P₁) = f(²/₃, -¹/₃, ²/₃) = -¹/₃ + ⁴/₃ - ⁴/₃ = -3

f(P₂) = f(-²/₃, ¹/₃, -²/₃) = ¹/₃ + ⁴/₃ + ⁴/₃ = 3

f ∈ C vincolo compatto   ⇔ max min ass.

⇒ P₁ min (ass)   P₂ = max (ass)

Proviamo che P₂ è di massimo vincolato

Senza usare W

P₂ = (-²/₃, ¹/₃, -²/₃)

∇g(-²/₃, ¹/₃, -²/₃) = = (⁴/₃, ²/₃, -⁴/₃)

ad esempio q₁(-²/₃, ¹/₃, -²/₃) + 0

Dunque ∃ U_(-²/3,¹/3)   ∃ z = z(x₁, y₁): U → ℝ t.c. ζ(-²/₃, ¹/₃) = -²/₃

x² + y² + z²(x₁, y₁) = 0

z_x¹ = -^{g_x (x₁, y₁, z(x₁, y₁))}/_{qz (x1, y1, z(x1, y1))} = -^2x/_{2z(x1, y1)} = -^x/_{z(x1, y1)}

z_y¹ = -^{g_y (x₁, y₁, z(x₁, y₁))}/_{qz (x1, y1, z(x1, y1))} = -^y/_{z(x1, y1)}

f(x₁, y₁, z(x₁, y₁)) = y - 2x - 2z(x₁, y₁) = F(x₁, y₁)

F: U_(-²,¹) → ℝ   f ∈ C^∞   g ∈ C^∞ ⇒ F: U → ℝ

F ∈ C²(U)

∇F = (-2 - 2z z_x¹, 1 - z z_y¹) =(-2 + 2x/z(x, y), 1 + 2y/z(x, y))

∇F(-²/₃, ¹/₃) z(-²/₃, ¹/₃) = -²/₃

∇F(-²/₃, ¹/₃) = (-2 + 2.(-²/₃) / -²/₃), 1 + 2.(¹/₃) / -²/₃)= (0, 0)

F_x¹ = -2 + 2x/z(x, y)

F_y¹ = 1 + 2y/z(x, y)

F ∈ C²

F_xx¹¹ = 2z(x, y) - x z_x¹(x, y) / z²(x, y) => F_xx¹¹(-²/₃, ¹/₃) = 2 - ²/₃ - (-²/₃).(-1) == 2.(⁹/₄)(²/₃ - ²/₃) == 2.3/4(-⁶/₃) = -6

F_xy¹¹ = +2x. -_{zy(x, y) / z²(x, y) =>} F_xy¹¹(-²/₃, ¹/₃) = 2(-²/₃) + ¹/₃/-²/₃ ⁴/₉ =

F_yx¹¹(-²/₃, ¹/₃)(- ³ /₂)

F_yy¹¹(x, y) = 2z(x, y) - y z_y(x, y) / z²(x, y)

y/z = +¹/₃ - ¹/₂

f_yy(x, y) = 2 - z³(x, y)z²(x, y)

F¹¹_yy(-²/₃, -¹/₃) = 2. [ - ²/₃ + ¹/₃ (¹/_-2x)] = 2. [³/₄ - ²/₉] = 2. q⁴ -¹/₆(........)

H (-²/₃, -¹/₃) = ( -⁵/₃ - ³/₂) - (⁹/₄) = - ²/_q^-9/₄ .   -(³/₆)(.....) + ⁵⁴/₄ -⁹/₄ > 0

⇒ (-²/₃, -¹/₃)   max ass. F (.......)(.......)

Compattezza dell'insieme B

B = { (x,y) ;   ((x²-1)²  +  4y^q             ≤ q }

• 0 ≤ ((x²-1)² + 4y^q) ≤ q
• Se (x²-1)² = 0        ⇒        4y^q ≤ q       |y| <  ³/₂
• Se invece y = 0 (x²-1)² ≤ q

-3 ≤ x²-1 ≤ 3    (....) ⇒   |x| ≤ 2

B ⊂ Q ⇒ B è limitato

h(x,y) = (x²-1)² + 4y²     h ∈ C(IR)

C = [0, 9]     chiuso

B = h^-1(C)     B è chiuso per il teorema di cont. globale.

⇒ B completo     f ∈ C CB ⇒ ammette max min. ass.

B^o ∪ Fr B

B^o = { (x, y) : (x²-1)² + 4y² < 9 }

Fr B = { (x, y) : (x²-1)² + 4y² - 9 = 0 }

B^o     f ∈ C¹(B^o)     ∇f = (1, 0) + (0, 0) ⇒ non ci sono punti critici in B^o

⇒ max, min. ass. si trovano Fr B

(±2,0) ∈ Fr B

(4-1)² + 0 = 9

⇒ (2,0) max vinc. (-2,0) min. vinc.

Volume dello scaldabagno

V delle scaldabagno sia fissato

costo di pulire è diritto proporzionale alla sup. tot. dello scaldabagno.

minimizzare la funzione costo.

V = πr²h ← vincolo

costo = 2πr² + 2πr h → funzione da minimizzare

r > 0   h > 0

f(r, h) = 2 (πr² + πr h)   f: (ℝ⁺)² → ℝ

V = πr²h    h = _V/^πr2

f(r, _V/^πr2) = 2πr² + 2πr _V/^πr2 == 2πr² + 2_V/^r = g(r)

g: ℝ⁺ → ℝ   g ∈ e¹(ℝ⁺)

g'(r) = 4πr - 2_V/^r2 = _{4πr³ - 2V}/^r2 ≥ 0 ↔ 2πr³ - V ≥ 0

r³ ≥ _V/^2π

r ≥ ³V/_2π

La funzione costo raggiunge il min.

Distanza dall'origine

B = { (x,y) ∈ ℝ² : 2 ≤ (x²-1)² + y² ≤ 9 }

(x,y) ∈ B per i quali è minima la distanza dall'origine

f(x,y) = √(x² + y²)   studio f²(x,y) = x² + y²

f ∈ C^∞(ℝ²) ⇒ f ∈ C(CB)

provato che B è un compatto

g(x,y) = (x²-1)² + y²   g ∈ C(ℝ²)

B = g^-1([2,9])

dove   chiuso

2 ≤ (x²-1)² + y² ≤ 9