Appunti 18 ottobre Analisi matematica 2

30 ottobre 2023

f(x,y) = x² + y²

A = { (x,y) ∈ ℝ² : |x| - 2 ≤ y ≤ 0 }

f ∈ C(A), A compatto W ⇒ ∃ max, min. ass. in A

A = A^o ∪ Fr A

A^o ={ (x,y) : -2 Fr A sono i lati del triangolo

A^o f polinomio f ∈ C^∞(A) applico Fermat

f'_x = 2x f'_y = 2y ∇f = (0,0) ⇔ (x,y) = (0,0)

ma (0,0) ∉ A^o

Fermat ⇒ ∅

W ⇒ i max, min. ass. stanno Fr A.

f(x,y) = x²+y² ≥ 0 = f(0,0) ⇒ (0,0) min. ass.

30 ottobre 2023

f(x,y) = x² + y²

A = { (x,y) ∈ ℝ² : |x| - 2 ≤ y ≤ 0 }

f ∈ C(A), A compatto → ∃ max, min. ass. in A

A = A^o ∪ Fr A

A^o = { (x,y) : -2 < x < 2 |x| - 2 < y < 0 }

Fr A sono i lati del triangolo

A^o f polinomio f ∈ C^oo(A) applico Fermat

f'_x = 2x f'_y = 2y ∇f = (0,0) ↔ (x,y) = (0,0)

ma (0,0) ∉ A^o

Fermat → φ

→ i max, min. ass. stanno Fr A.

f(x,y) = x² + y² ≥ 0 = f(0,0) → (0,0) min. ass.

(±2,0) (0,±2) sono di n^es ass. per f ___ ____ ___

Massimi e minimi assoluti

f(x,y)=xy

A = {(x,y) : x² + 2y² ≤ 4}

f ∈ C^∞(A) A compatto ⇒ ∃ max, min. ass.

A^∘ = {(x,y) ∈ ℝ² : x² + 2y² < 4}

∇f in A^∘

{ f_x = y = 0 f_y = x = 0}

(0,0) ∈ A^∘ (sella, si vede con le restrizioni)

⇒ max, min. assolut. stanno Fr A

f(x,y) = f(-x,-y) = -f(x,y) = -f(x,y-y)

{x y = c > 0 x² + 2y² = 4 }

{y = ^c/_x x ≠ 0}

x² + 2 ^c2/_x² = 4

x⁴ + 2c² = 4x²

x⁴ - 4x² + 2c² = 0

Δ = 16 - 4(2c²) = 0   16 - 8c² = 0   c² = 2

c = ±√2

_____ . _______

f(x,y) = y - x

Q = [0,1]²

f(x,y) = y-x

Q = [0,1]

f ∈ C∞(Q)

∇f = (-1,1) + (0,0) in Q^o

-1 ≤ f(x,y) ≤ 1

∀(x,y) ∈ Q

f(1,0) = -1 min. ass.

f(0,1) = 1 max. ass.

f(x,y) = x² + y

{ x² + y² ≤ 1 y ≥ 0 vincolo

min. rel. max. rel. min. rel. max. rel.

Δ^o = {(x,y) ∈ ℝ² ; |x| 0 < y < √1-x²}

Fr ∆ = {(x,0) |x| ≤ 1} ∪ {(cos t, sin t)t ∈ [0, π/2]}

∈ A^o

f_y = 1 ≠ 0 ➔ Fermat non determina candidati.

→ max, min. assoluti stanno Fra A

F(x,0) = x²

f(x,0) = x²

x² = 1-y²

0 ≤ y ≤ 1

f(√(1-y²), y) = g(y_f) = 1-y²+y

g'_(yf) = -2y+1 ≥ 0

y ≤ 1/2

Funzioni su superfici

A = {x₁² + y₁² ≤ 1

z = x

A^o = ø

A = Fr ∩ A

f(x,y,z(x)) = x² + y² + z² = 2x² + y² = g(x,y)

g : B → ℝ

B ⊆ ℝ²

B = {(x,y) : x² + y² ≤ 1 }

q(x,y) ≥ 0 = g(0,0) ⇒ (0,0,0) min. ass. f

∇g = (0,0) ⇔ (x,y) = (0,0) ∪ B^o

W max ass. sta sulle frontiere di B

y² = 1 - x²     |x| ≤ 1

g(x, y(x)) = h(x) = -2x² + 1 - x² = x² + 1

[−1,1] → ℝ

max ass. (±1,0,±1)

(1,0,1)

(−1,0,−1)

Equazioni differenziali

x''(t) = F / m     eq. diff. ordinaria

∂u/∂x + ∂u/∂t     eq. diff alle derivate parziali

u = u(t, x)

∂u/∂t (t, x) = - c ∂u/∂x     eq. trasporto

∂u/∂t = (∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z²) = ∇u     eq. calore

u_tt = c²u_xx

F: I x ℝ^m+1 → ℝ

I ⊂ ℝ

F(t, y, y¹, y^m) = 0

eq. diff. di ordine m in forma implicita

t + y(t) + y¹(t) = 0

I ordine

F − ma = 0

F − m y(t) = 0

f: I x ℝ^m → ℝ

y^m() = f(t, y, y¹, y^(m-1))

eq. diff. di ordine m in forma esplicita.

una funzione ψ : Ĩ ⊂ I → ℝ è una sol. eq. diff. se

∀ t ∈ Ĩ risulta

F(t, ψ(t), ψ⁽¹⁾(t), ..., ψ⁽ⁿ⁾(t)) ≡ 0 ∀ t ∈ Ĩ

Esempi

y¹ − 1 = 0

F(t, y_s, y¹) = y¹ − 1 = 0

F: I x ℝ² → ℝ

F ∈ C (I x ℝ²)

y¹ = 1 se ψ(t) è una soluzione ⇒

ψ⁽¹⁾(t) − 1 ⇒ ∫ψ⁽¹⁾(t) dt = ∫1 dt

ψ(t) = t + c

c ∈ ℝ

ψ(t) = t + C

C ∈ ℝ

∞¹ sol. eq. diff. ordinale

{ t + C, C ∈ ℝ } int. generale della eq. diff.

y^' = f(t)

f: I ⊆ ℝ → ℝ

f(t) = {0       t ≤ 0 2       t > 0

y^' = f(t)

non può avere sol.

f non verifica la proprietà dei valori intermedi.

y^' le derivate verificano sempre la proprietà dei valori intermedi.

F(t, y, y^', y^'₁) ≤ 0

F: I × ℝ³ → ℝ

y = t

y^II - 1 = 0

f(t, y, y₁) = y^II

siano φ(t) una sol. allora

φ^II(t) - 1

φ^I(t) = t + c₁

∫ φ^I(t) dt = ∫ (t + c₁) dt

φ(t) = ^t2/₂ + c₁t + c₂

caduta dei gravi: Δh(t) = v₀t + 1/2 gt²

{^t2/₂ + c₁t + c₂ , c₁, c₂ ∈ ℜ}

y¹ = t

y¹ = f(t, y_f) ; I x ℜ → ℜ

∫ y¹(t) dt = ∫ t dt

y(t) = ^t2/₂ + c

c ∈ ℜ

y¹ = y

f(t,y) = y

y(t) = e^t

e^t + c è sol?

y¹ = e^t

ǫ - e^t + cy(t) = ke^t

k > 0

y¹(t) = ke^t

k < 0 lo stesso.

k > 0

k = 0

k < 0

y¹ = y

y ≠ 0

Φ(t) ≠ 0

è sol.

Φ(t)?

Φ'_(t)= 1

Φ'_(t) dt = ∫f_t dt

lg |φ(t)| = t + c

se ∃ Iy > 0

lg (φ(t)) = t + c

φ(t) = e^t+c = k e^t

Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili

y' = f(x, y)

f(x, y) = ^a(x)/_b(y)

a : I → ℝ cont.

b : J → ℝ cont. con b(y) ≠ 0 ∀ y ∈ J

f : I x J → ℝ

f ∈ C(I x J)

^dy/_dx = ^a(x)/_b(y)

∫b(y) dy = ∫a(x) dx

B una primitiva di b

A d a

B(y) = A(x) + c

c ∈ ℝ

b(y) ≠ 0 ∀ y ∈ J

cont. ⇨ b(y) è di segno cost.

supponiamo che b(y) > 0 ∀ y ∈ J

=> B'(y) = b(y) > 0 => B(y) è crescente => B è invertibile.

y' = ^x+1/_y

f(x,y) = ^x+1/_y

a(x) = x+1

b(y) = y

d_y/d_x = ^x+1/_y

∫y d_y = (x+1) d_x

^u₂/₂ = ^x2/₂ + x + c

y > 0

y² = x² + 2x + c

y = √(x² + 2x + c)

Attenzione!! dove è definita?

x² + 2x + c ≥ 0

Δ = 4 - 4c ≥ 0

Δ > 0

x = ^{-2 ± √Δ}/₂ = -1 ± ^√Δ/₂

&Itilde; ⊂ &reals;

x > -1±^√Δ/₂

opp x < -1±^√Δ/₂

se Δ = 0 &Itilde; = &reals;

se δ < 0 &Itilde; = &reals;

y' = a(x) . c(y)

a(x), c(y) cont.

- c(y) cont.

- c(y) = 0

c(y) = 0

c(y) ≠ 0

se c(y) ≠ 0 ^dy⁄_c(y) = a(x)dx e integro.

se invece c(y) = 0 cerco z_C y₀ sta cost. y = y₀

Modello biologico

N(t) = numero di individui presenti al tempo t

λ = numero di nati per unità di tempo

μ = " " " usciti per unità di tempo.

^{N(t+h) - N(t)}⁄_h = λN(t)•h - μN(t)•h ⁄_h

se suppo. N deriv.

N'_(t) = (λ - μ) N(t)

∫ ^N'_(t)⁄_N(t) = ∫(^{λ - μ}) bio potenziale biologico

lg N(t) = (λ - μ) t + c

lg N(t) = (λ - μ)t + c

N(t) = e^{(λ - μ)t + c} = ke^{(λ - μ)t}

k = e^c > 0

Problema di Cauchy del I ordine

{y' = f(x, y)

y(x₀) = y₀

f: A → ℝ

(x₀, y₀) ∈ A°

f ∈ C(A°)

Lemma

f ∈ C(A)

(x₀, y₀) ∈ A°

y è sol. del problema di Cauchy ⇔ y soddisfa l'eq. integrale

y(x) = y₀ + ∫_x0^x f(t, y(t)) dt

sia y = ẏ(x) sol. problema di Cauchy

y(x₀) = y₀

y'_f(x) = f(x, y_f(x))

∀ x * I

∫_x0^xy'_f(t) dt = ∫_x0^xf(t, y_f(t)) dt

y_f(x) - y_f(x₀) = ∫_x0^xf(t, y_f(t)) dt

y_f(x) = y₀ + ∫_x0^xf(t, y(t)) dt cioé y_f è sol. eq. integrale.

viceversa

se y = y(x) sol. eq. integrale.

y(x) = y₀ + ∫_x0^xf(t, y(t)) dt

in particolare x = x₀

y(x₀) = y₀

& y(x) è la somma tra y₀ e la funzione integrale integranda è cont.

y_f(x) = 0 + ∫^x f(x, y_f(x))

cioé

• Y'_f(x) = f(x, y_f(x))
• Y(x₀) = y₀

→ y è sol. problema di Cauchy.

Teorema di Cauchy (di tipo locale)

Teorema di Cauchy (di tipo locale)

Teorema di Picard-Peano

f: A → ℝ

(x₀, y₀) ∈ A^°

∃ Q = [x₀−a, x₀+a] x [y₀−b, y₀+b] ⊂ A t.c.

• F|_Q ss. continue.
• F sia lip. in y unif. rispetto x in Q

∃ k > 0 : ∀(x, y₁), (x, y₂) ∈ Q ⇒ |f(x, y₁) - f(x, y₂)| ≤ k |y₁ - y₂|

allora

M > max |f(x, y)|(x, y) ∈_Q

posto α = min { a, ^b/_M }

∃! y: [x₀−α, x₀+α] → [y₀−b, y₀+b]

t.c.

y(x) = y₀ + ∫_x0^x f(t, y(t)) dt

eq. integrale.

(y_n)_n

{y₁(x) = y₀

y_m(x) = y₀ + ∫_x0^x f(t, y_m-1(t)) dt

∀ x ∈ [x₀-α, x₀+α]

y₁ : [x₀-α, x₀+α] → [y₀-b, y₀+b]

y₂(x) = y₀ + ∫_x0^x f(t, x₀) dt

|y₂(x) - y₀| ≤ ∫_x0^x |f(t, y₀)| dt ≤M(x - x₀) ≤ Mα

α min {a, b/M}

Mα ≤ b

y₂(x) ∈ [y₀ - b, y₀ + b]

y_n : [x₀-α, x₀+α] → [y₀-b, y₀+b] ∀ m

lim_n→∞ y_n(x) = lim_n→∞ { y₀ + ∫_x0^x f(t, y_n(t)) dt }

Teorema di C del problema di Cauchy

f: A → &reals; (x₀, y₀) ∈ A^o

∃ Q: Q = [x₀ - a, x₀ + a] × [y₀ - b, y₀ + b]

f|_Q è cont.

⇒ posto α = min {a, b/M}

∃ sol. y(x) : [x₀ - α, x₀ + α] → [y₀ - b, y₀ + b]

che soddisfa eq. integrale.

[x₀, x₀ + α]

y_n(x) = &lbrace;y₀,    x₀ ≤ x ≤ x₀ + α/n

y₀ + ∫_x0^{x0 + α/n} f(t, y_n(t)) dt,    x > x₀ - α/n

equicont. equilim. Ascoli-Arzelà

∃ y_nk ⇒ y che è sol. eq. integrale.

Esempio Muller