Appunti lezione Analisi matematica 2, 23 ottobre 2024

3 novembre 2023

y' = f(x, y)

y(x₀) = y₀

: A → ℝ

f ∈ C(A)

(x₀, y₀) ∈ A° ⊂ ℝ²

y'' = f(x, y, y')

y(x₀) = y₀

y'(x₀) = y₁

: A ⊂ ℝ³ → ℝ

f ∈ C(A)

(x₀, y₀, y₁) ∈ A°

y⁽ⁿ⁾ = f(x, y, y', y'',... y^(n-1))

y(x₀) = y₀

y'(x₀) = y₁

...

y^(n-1)(x₀) = y_n-1

f ∈ C(A)

A ⊂ ℝⁿ⁺¹

(x₀, y₀, y₁, ...,y_n-1) ∈ A°

Pendolo di Peano

y' = √|y|

y(0) = 0

∀ a < 0

∀ b > 0

y(x) = {

  (x - b)²/2        x ≥ b

  0        a < x < b

  -(x - a)²/2  x ≤ a

0° srl.

a ∈ ℝ⁻

b ∈ ℝ⁺

3 novembre 2023

_y'=f(x,y)_yy(x_o)=y_o

^{f:A     →ℝf∈C(A)}(x_o,y_o)∈A^o∈ℝ²

_y''=f(x,y,y')y(x_o)=y_oy'(x_o)=y₁

^{f:A⊂ℝ3 →ℝf∈C(A)}(x_o,y_o,y₁)∈A^o

_y⁽ⁿ⁾=f(x,y,y',y'',...y^(n-1))y(x_o)=y_oy'(x_o)=y₁...y^(n-1)(x_o)=y_n-1

^{f∈C(A)A⊂ℝn+1}(x_o,y_o,y₁,...y_n-1)∈A^o

Pennello di Peano

^{(Muller)f(x,y)=√|y|f∈C(ℝ2)}(a variabili sep.)

∀a<0        ∀b>0y(x)={  (x-b)²/2        x≥b             0              a<x<b- (x-a)²/2     x≤a

a^o→se  a∈ℝ  b∈ℝ⁺

Proviamo che y è una sol. del prob. di Cauchy.

y(0) = 0

calcoliamo y'(x)

x > b

y'(x) = 2 ⁡ ( ^x-b/₂ ) ⁡ ¹/₂ = ^x-b/₂ = √|y|

√|y(x)| = √( ^(x-b)/₂ )² = ^x-b/₂

a < x < b

y'(x) = 0

x < a

y'(x) = -2 ⁡ ( ^a-x/₂ ) ⁡ ( -¹/₂ ) = ^a-x/₂

x = b?

x = a?

x = b

^lim/_h→0 (^{f(b+h) - f(b)}/_h)

^lim/_h→0⁻ (^{f(b+h) - f(b)}/_h) = ^lim/_h→0⁻ ⁰/_h = 0 = y'_s(b)

^lim/_h→0⁺ (^{f(b+h) - f(b)}/_h) = ^lim/_h→0⁺ (^(x+h-x)/₂)² /_h = 0 = y'_d(b)

y'(b) = 0

{

y' = √|y|

y(x_o) = 0

(x_o, 0) ∈ ℝ²

{

y' = √|y|

y(x_o) = y_o

(x_o, y_o) ∈ (ℝ⁺)²

f_y' è limitata in Q

Eq. lineari del primo ordine

y' = α(x) y + β(x)

α(x), β(x) funzioni continue

α, β ∈ C(I)

f(x,y) = α(x)y + β(x)

f ∈ C(I × ℝ)

α(x) cont. ⇒ ammette una primitiva

φ(x) = ∫ α(x) dx.

y' - α(x) y = β(x)

moltiplichiamo ambi i membri per

e^-φ(x)

y' e^-φ(x) - α(x) e^-φ(x) y = e^-φ(x) ⋅ β(x)

d/dx ( y e^-φ(x) ) = y' e^-φ(x) + y e^-φ(x) ⋅ (-α(x)) =

^d⁄_dx (y e^-φ(x)) = e^-φ(x) β(x)

y e^-φ(x) = ∫β(x) e^-φ(x) dx + c

y(x) = e^φ(x) [∫β(x) e^-φ(x