Appunti lezione Analisi matematica 2, 23 ottobre 2024

3 novembre 2023

Venerdì 3 novembre 2023 08:44

Problemi di Cauchy

{ y' = f(x,y)
y(x₀) = y₀ }

f : A -> R
f e C(A)
(x₀,y₀) e A^o c R²

{ y'' = f(x,y,y')
y(x₀) = y₀
y'(x₀) = y₁ }

f : A c R³ -> R
f e C(A)
(x₀,y₀,y₁) e A^o

{ y⁽ⁿ⁾ = f(x,y,y',y'', ... , y^(n-1))
y(x₀) = y₀
y'(x₀) = y₁
...
y^(n-1)(x₀) = y_n-1 }

f : e C(A) A c Rⁿ⁺¹
(x₀,y₀,y₁, ... , y_n-1) e A^o

Pennello di Peano

Pennello di Peano (Muller)

{ y' = sqrt(|y|)
y(0) = 0 }

f(x,y) = sqrt(|y|) f e C(R²)
(a variabili sep.)

forall a 0
y(x) = { ((x-b)/2)² x >= b
0 a 2 x 0 (f(b+h)-f(b))/h

lim h->0- (f(b+h)-f(b))/h = lim h->0- 0/h = 0 = y'_s(b)

lim h->0+ (f(b+h)-f(b))/h = lim h->0+ ((b+h-b)/2)²/h = 0 = y'_d(b)

y'(b)=0

{y' = sqrt(|y|)
y(x₀)=0
(x₀,0) e IR²

{y' = sqrt(|y|)
y(x₀) = y₀
(x₀,y₀) e (IR⁺)²

Q ⊂ R²
che sta lontano dall'asse delle x

f(x,y) = √|y|

Q è deriv. in Q con derivato cont.
f¹_y è limitata in Q

Equazioni lineari del primo ordine

Eq. lineari del primo ordine

y' = α(x) y + β(x)

α(x), β(x) funzioni continue
α, β ∈ C(I)

f(x,y) = α(x)y + β(x)     f : I x R → R
f ∈ C(I x R)

α(x) cont. ⇒ ammette una primitiva
φ(x) = ∫ α(x) dx.

y' - α(x) y = β(x)

moltiplichiamo ambo i membri per e^-φ(x)

y' e^-φ(x) - α(x) e^-φ(x) y = e^-φ(x) · β(x)

d/dx (y e^-φ(x)) = y' e^-φ(x) + y e^-φ(x) · (-α(x)) =

∫ d/dx (y e^-φ(x)) = e^-φ(x) β(x)

y e^-φ(x) = ∫ β(x)e^-φ(x) dx + c

y(x) = e^φ(x) [ ∫ β(x)e^-φ(x) dx + c ]

Esempio con y'(x) = 1/x y + 1

y'(x) = 1/x y + 1

α(x) = 1/x
β(x) = 1

α,β : IR⁺ -> IR

φ(x) = ∫ 1/x dx = lg x

e^φ(x) = e^{lg x} = x

y(x) = x [ ∫ 1/x dx + c ] = x [ lg x + c ] = x lg x + cx

c ∈ IR

Esempio con condizione iniziale

{x y'(x) + y + 1/x = 0
y(1) = 0}

senza perdita di generalità supponiamo x > 0

x y'(x) = - y - 1/x

dividiamo per x

y'(x) = - 1/x y(x) - 1/x² -> eq. lineare del I ordine

L(x,u) = - 1/x u - 1 : IR⁺ x IR -> IR
1 ordine

f(x,y) = -1/x y - 1/x² ; IR⁺ x IR → IR

f in C(IR⁺ x IR)

alpha(x) = -1/x       beta(x) = -1/x²

phi(x) = int alpha(x) dx = int -1/x dx = - lg x

y(x) = e^{- lg x} [ - int 1/x² . e^{lg x} dx + c ]

= 1/x [ - int 1/x dx + c ] = -1/x lg x + c/x

y(1) = 0            y(1) = c = 0

y(x) = - lg x/x

Esempio con x diverso da zero

x y' - 2y + 2x = 0       x != 0

y' = 2/x y - 2

y(x) = e^{2 lg|x|} { -2 int e^{-2 lg|x|} dx + c }

= x² { -2 int 1/x² dx + c }

= x² { +2/x + c } = 2x + c x²

attenzione x != 0

Equazioni differenziali lineari di ordine n

Eq. differenziali lineari di ordine n

y^(m) + a₁(x) y^(m-1) + a₂(x) y^(m-2) + ..... + a_n(x) y = B(x)

a_i, B e C(I)     I intervallo di R

se B(x) = 0     eq. dice OMOGENEA

se B(x) != 0     eq. COMPLETA.

y⁽ⁿ⁾ = f(x, y, y', ...., y^(n-1))

f = - a₁(x) y^(n-1) - a₂(x) y^(n-2) .... - a_n(x)y + B(x)

f: I x R^m --> IR     f e C(I x Rⁿ)

v i = 1,..., m     a_i sono cont. I

L = max { max |a_i(x)| }         i ≤ n     x e I

proviamo che f e lip. su (y, y', ... , y^n-1) uniformemente rispetto a x

(x, y₁, y₁', y₁'' .... y₁^n-1)        e I x R^m

(x, y₂, y₂', y₂'' .... , y₂^n-1)

| f(x, y₁, .... , y₁^n-1) - f(x, y₂, .... , y₂^n-1) | ≤

|a_n(x)| |y₁-y₂| + |a_n-1(x)| |y₁'-y₂'| + .... + |a₁(x)| |y₁^n-1-y₂^n-1| ≤ L ( |y₁-y₂| + ... + |y₁^n-1-y₂^n-1| )

distance in R^m

Equazioni differenziali lineari omogenee di ordine n

Eq. diff. lin. ordine n omogenee

y⁽ⁿ⁾ + a₁(x) y^(n-1) + ... + a_n(x)y = 0

y = 0 e sicuramente una sol.

supponiamo che y₁(x), y₂(x)... y_n(x) siano n sol. eq. omogenea.

proviamo allora che y(x) = ∑ a_iy_i(x) e anche lei sol. eq. diff. omogenea.

a₁[y₁⁽ⁿ⁾ + a₁(x) y₁^(n-1)(x) + ... + a_n(x)y₁(x)] = 0

a₂[y₂⁽ⁿ⁾ + a₁(x) y₂^(n-1)(x) + ... + a_n(x)y₂(x)] = 0

...

a_n[y_n⁽ⁿ⁾ + a₁(x) y_n^(n-1)(x) + ... + a_n(x)y_n(x)] = 0

(c₁y₁ + ... + c_ny_n)⁽ⁿ⁾

a_n-1(x)[c₁y₁' + ... + c_ny_n']

a_n(x)[c₁y₁ + c₂y₂ + ... + c_ny_n]

=> c₁y₁ + ... + c_ny_n e una sol. eq. omogenea.

devo determinare y₁, y₂, ..., y_n che siano una base per lo spazio delle sol. eq.diff. lineare omogenea di grado n.

dobbiamo trovare n "vettori" indipendenti.

Indipendenza lineare

cosa vuol dire che f₁, f₂, ..., f_n : I -> R sono linearmente indipendenti?

se c₁f₁(x) + c₂f₂(x) + ... + c_nf_n(x) = 0 in I <=> (c₁, c₂, ..., c_n) = (0, 0, ..., 0)

f₁(x) = x      f₂(x) = sin x      f₃(x) != x + sin x

c₁ = 1      c₂ = 1      c₃ = -1

c₁f₁ + c₂f₂ + c₃f₃ = 0      (c₁, c₂, c₃) != (0,0,0)

f₁, f₂, f₃ sono lin. dipendenti.

f₁(x) = x      f₂(x) = x²

c₁x + c₂x² = 0      c₁x = -c₂x²      divido x != 0

c₁ = -c₂x      x = -c₁/_c2

f₁(x) = sin x      f₂(x) = cos x

c₁f₁ + c₂f₂ = 0

c₁sin x + c₂cos x = 0      divido per cos x != 0

c₁tg x + c₂ = 0   => tg cot !!

f₁, f₂, ..., f_n sono deriv. fino all'ordine (n-1)

w(x) =

W(x)=

Teorema del Wronskiano

Teorema

f₁, ..., f_n : I --> IR deriv fine all'ordine (n-1)

sono linearmente dip. => W(x)=0 V x e I

n=2

f₁(x)=x²      f₂(x)=x|x|      I=[-1,1]

f₁'(x)=2x

f₂(x)=x²     x>0
-x²     x<0

x>0     f₂'(x)=2x

x<0     f₂'(x)=-2x

x=0 ?

(f₂(x)-f₂(0))/x = x|x|/x = |x| --> 0

f₂'(x)=2|x|

| x²      x|x| | = 2x²|x| - 2x²|x| = 0
2x      2|x|

V x e [-1,1]

c₁ f₁(x) + c₂ f₂(x) = 0     V x e I

c₁ x² + c₂ x|x| = 0     x=1

{  c₁ + c₂ = 0     x=1
  c₁ - c₂ = 0     x=-1}

c₁=c₂ => 2c₁=0 => (c₁c₂) in (0,0)

x² e x|x| sono lin. indip.

<=> vale se f₁, f₂, ..., f_n sono sol. eq. omogenea lineare di ordine n

w =
y₁ y₂ : y_n
1 0 ... 0
0 1 ... 0
0 0 ... 1

Costruzione di una base

y⁽ⁿ⁾ + a₁(x) y^(n-1) + ... + a_n(x)y = 0

y(x₀) = 1
y'(x₀) = 0
y^(n-1)(x₀) = 0
-> y₁(x)

y⁽ⁿ⁾ + a₁(x) y^(n-1) + ... + a_n(x)y = 0

y(x₀) = 0
y'(x₀) = 1
y^(n-1)(x₀) = 0
-> y₂(x)

Int. gen. eq omogenea

y(x) = c₁y₁(x) + ... + c_ny_n(x)

quando (y₁, ..., y_n) sono una bare.

Caso particolare: equazioni lineari omogenee a coefficienti costanti

CASO PARTICOLARE

Eq. diff. lineari di ordine n omogenee a coeff. cost.

y⁽ⁿ⁾ + a₁y^(n-1) + a₂y^(n-2) + ... + a_ny = 0

cerchiamo delle sol. del tipo y = e^ax

y' = ae^ax y'' = a²e^ax ... y⁽ⁿ⁾ = aⁿe^ax

e^ax{aⁿ + a₁a^n-1 + a₂a^n-2 + ... + a_n} = 0

eq. di grado n

eq. caratteristica associata alle eq. omogenee

a = z

zⁿ + a₁z^n-1 + ... + a_n = 0

dobbiamo determinare gli zeri (le sol.) della eq. caratteristica.

n sol. in R opp. in C

z = a₁ sol. reale con molteplicità 1.

y₁(x) = e^a₁x sol. eq. omogenea

z = a₁ sol. eq. contr. >>1

y₁(x) = e^a₁x y₂(x) = xe^a₁x ... y_v(x) = x^v-1e^a₁x

z = p + iq allora anche z̅ = p - iq è sol.

y₁ = e^px sin qx y₂ = e^px cos qx

Esempio: y" + 4y' + 5y = 0

ESEMPIO

y" + 4y' + 5y = 0

eq. diff. lin. II ordine a coeff. cost. omogenea

z² + 4z + 5 = 0

Delta = 16 - 20 = -4 < 0

z = (-4 ± 2i) / 2 = -2 ± i    p = -2   q = 1

y₁(x) = e^-2x sin x      y₂(x) = e^-2x cos x

y(x) = e^-2x { c₁ sin x + c₂ cos x }

c₁, c₂ ∈ R

Esempio: y""" - 4y' = 0

y""" - 4y' = 0

z³ - 4z = 0

z = 0 → y₁ = 1

z = 2 → y₂ = e^2x

z = -2 → y₃ = e^-2x

z(z² - 4) = 0

y(x) = c₁ + c₂e^2x + c₃e^-2x

c₁, c₂, c₃ ∈ R

Esempio: y"" - 2y' + 4y = 0

y"" - 2y' + 4y = 0

z³ - 2z + 4 = 0

(z+2)(z² - 2z + 2) = 0

z = -2 → y(x) = e^-2x

z² - 2z + 2 = 0

Δ = 4 - 8 = -4 < 0

z = (1 ± i)/1

p = 1
q = 1

y₂(x) = e^x sin x

y₃(x) = e^x cos x

y(x) = c₁e^-2x + c₂e^x sin x + c₃e^x cos x.

Equazioni differenziali lineari complete di ordine m

Eq. diff. lineari di ordine m complete

y⁽ⁿ⁾ + a₁(x)y^(n-1) + ... + a_n(x)y = β(x)

ỹ₁(x) e ỹ₂(x) sol. eq. completa

ỹ₁⁽ⁿ⁾ + a₁(x)ỹ₁^(n-1) + ... + a_n-1(x)ỹ₁^' + a_n(x)ỹ₁ = β(x)

ỹ₂⁽ⁿ⁾ + a₁(x)ỹ₂^(n-1) + ... + a_n-1(x)ỹ₂^' + a_n(x)ỹ₂ = β(x)

ỹ₁⁽ⁿ⁾ - ỹ₂⁽ⁿ⁾ + ... + a_n-1(x)[ỹ₁ - ỹ₂]^' + a_n(x)(ỹ₁ - ỹ₂) = 0

[ỹ₁⁽ⁿ⁾ - ỹ₂⁽ⁿ⁾] = [ỹ₁ - ỹ₂]

ỹ₁ - ỹ₂ è sol. eq. omogenea.

Allora y sol. eq. completa.

V y sol. eq. completa

y = [y - ybar] + ybar

sol. omogenea.

y(x) = c₁ y₁(x) + ... + c_n y_n(x) + ybar(x)

sol. omogenea

Come determinare ybar sol. eq. completa?

Caso particolare con beta polinomio

CASO PARTICOLARE

y⁽ⁿ⁾ + a₁ y^(n-1) + ... + a_n y = beta(x)

supponiamo che beta(x) polinomio grado m

1) beta(x) grado m

eq. di grado m

s = max { i , a_i != 0 }

k = m + n - s

trovare come sol. particolare un polinomio di grado k.

y'' + y = x + 2

n = 2
m = 1

y'' + a₁ y' + a₂ y --> a₁ = 0 a₂ = 1

s = 2

k = 1 + 2 - s = 1

{ybar(x) = ax + b
ybar'(x) = a
ybar''(x) = 0

0 + ax + b = x + 2

a = 1     b = 2

ybar(x) = x + 2

y'' + y = 0     z² + 1 = 0     z = +-i

y(x) = C₁ sin x + C₂ cos x + (x + 2)

int. gen. omogenea     sol. eq. completa.

Caso con beta esponenziale

2) β(x) = e^αx

α non e sol. eq. caratteristica.

y'' + y = e^x

in questo caso cerchiamo sol.

ybar = a e^αx

ybar' = a α e^αx

ybar'' = a α² e^αx

y'' + y = e^x

α = 1 non e sol. eq. caratt.

sin x     cos x

ybar(x) = a e^x     ybar' = a e^x     ybar'' = a e^x

a e^x + a e^x = e^x

2a e^x = e^x ⇒ 2a = 1     a = 1/2

u = + a = c

2a e^x = e^x => 2a = 1 a = 1/2

y = 1/2 e^x

int gen. eq. completa

y(x) = C₁ sin x + C₂ cos x + 1/2 e^x

beta(x) = Q(x) e^{alpha x}

polinomio di grado m

non e sol. eq. cond.

y = P(x) e^{alpha x}

grado m.

Esempio con Q(x)e^{alpha x}

y'' + y = x e^x     Q(x) = x     alpha = 1

y = (ax + b)e^x

y' = ae^x + axe^x + be^x = e^x(a + b) + axe^x

y'' = e^x(a + b) + ae^x + axe^x = e^x(2a + b) + axe^x

e^x(2a + b) + axe^x + axe^x + be^x = xe^x

e^x(2a + 2b) + 2ax e^x = xe^x

=> { 2a = 1
2a + 2b = 0 }

{ a = 1/2
b = -a }

y(x) = (1/2 x - 1/2) e^x

Caso con alpha soluzione dell'equazione caratteristica

3) B(x) = Q(x) e^αx

grado m

α e^ sol. eq. caratt.

v > 1

y = P(x) . x^v . e^αx

grado m

y'' - y = 2e^x

z² - 1 = 0    z = ±1

eq. omogenea ha sol.

y(x) = C₁e^x + C₂e^-x

y = a . x . e^x

y' = a e^x + a x e^x

y'' = a e^x + a e^x + a x e^x = 2a e^x + a x e^x

2a e^x + a x e^x - a x e^x = 2 e^x

2a = 2     a = 1

y = x e^x

int. gen. eq. completa

y(x) = C₁e^x + C₂e^-x + x e^x,

Caso con esponenziale e funzioni trigonometriche

4) B(x) = e^px cos qx . Q(x)