Appunti Analisi matematica 2, 30 ottobre

30 settembre 2024

Serie trigonometriche

a₀/2 + ∑_n=1^∞ a_n cos nx + b_n sin nx

Serie trigonometriche.

CS. per la conv. tot. ∑_n(|a_n|+|b_n|) < +∞

CS. per la conv. unif. Criterio di Dirichlet

∑f_n(x). g_n(x)   (S_n)_n associato a f_n solo equip. L limitato e  g_n →→ 0

Allora la serie conv. unif.

Applicato quando f_u(x) = sin nx oppure f_u(x) = cos nx   x ∈ [a,b]   con a > 0   b &leq; π.

Caso particolare ∑ a_n sin nx   e   n a_n →_n→∞ 0, a_n &geq; 0

Allora C.U. [0,2π].

Supponiamo che a₀/2 + ∑_n=1^∞ a_n cos nx + b_n sin nx   C.U. e indichiamo con f(x) la sua somma.

Allora a_m = (1/π) ∫_-π^π f(x) cos nx dx   n=0,1,2,...

b_m = (1/π) ∫_-π^π f(x) sin nx dx   n=1,2,...

30 settembre 2024

Serie trigonometriche

a₀/2 + ^∞Σ_n=1 a_n cos nx + b_n sin nx

Serie trigonometriche

CS. per la conv. tot. Σ_n (|a_n|+|b_n|) < +∞

CS. per la conv. unf. Criterio di Dirichlet

Σf_n(x)⋅g_n(x) (S_n)_n associato a f_n solo equ. limite e g_n ⇾ 0

Allora la serie conv. unf.

Applicato quando f_u(x) = sin nx oppure f_u(x) = cos nx x∈[a,b] con a>0 b≤2π

Caso particolare Σ a_n sin nx e a_n ⇾_n→∞0, a_n > 0

Allora C.U. [0,2π]

Sappiamo che a₀/2 + ^∞Σ_n=1 a_n cos nx + b_n sin nx C.U. e indichiamo con f(x) la sua somma.

Allora a_n = 1/π ∫_-π^π f(x) cos nx dx n=0,1,2,...

b_n = 1/π ∫_-π^π f(x) sin nx dx n=1,2,...

Coefficienti di Eulero Fourier

(cos nx)_n (sin nx)_n sono periodiche T=2π ⇒ la somma sarà periodica di periodo 2π

f: [0, 2π] → ℝ si dice continua a tratti.

f ha soltanto un numero finito di punti di discontinuità {x₁, x₂, ..., x_k} tali che ^lim_x→xi^± f(x) = f(x_i^±) ∈ ℝ

f: ℝ → ℝ si dice continua a tratti su ℝ se ∀ [a, b] ⊂ ℝ f è cont. a tratti in [a, b]

f(x) = { 1 x ∈ ℕ 0 x ∉ ℕ cont. a tratti su ℝ.

f 2π periodica e continua a tratti

Scrivo a_n = (1/π) ∫_-π^π f(x) cos nx dx n=0,1, ...

b_n = (1/π) ∫_-π^π f(x) sin nx dx n=1,2,..

f ↦ {(a_n)_n, (b_n)_n} ↦ (a₀/2) + ∑_n=1^∞ (a_n cos nx + b_n sin nx)

Serie di Fourier di f

Chi converge la serie di Fourier.

Sia s(x) la somma (dove esiste) della s di Fourier.

x ∈ [0, 2π]

• (D) x di derivabilità
• (*) x di continuità ma ∃ f_d^l(x) ∃ f_s^r(x) finita
• X di discontinuità tale che lim (f(x-) - f(x^±)) ∈ _x→x̅

Allora la serie di Fourier converge in ogni punto di quest tipo (*) e s(x) = (f(x⁺) + f(x^-)) / 2

OSS se f ∈ C([0, 2π]) allora s(x) = f(x)

Esempio

f(x) = { 1 x ∈ [-π, 0[ 0 x ∈ [0, π[ (onda quadra)

Funzione a tratti e periodica di periodo 2π.

a_n = ¹⁄_π ∫_-π