Appunti Matematica applicata

Es. 1

Da un’urna contenente 10 palline di cui R rosse, si estrae una pallina e si vince 1 € se è rossa, altrimenti se ne perdono 2.

Calcolare il numero minimo di palline rosse contenute nell'urna affinché dopo 100 estrazioni con rimpiazzo la probabilità che il giocatore stia vincendo almeno 10 € sia non inferiore al 50%.

X_i v.a. indip. e identicamente distribuite

1. X_i = vincita (in euro) nell'i-esima estrazione

• R/10
• 1 - R/10

Es. 1

Da un’urna contenente 10 palline di cui R rosse, si estrae una pallina e si vince 1€ se è rossa, altrimenti se ne perdono 2. Calcolare il numero minimo di palline rosse contenute nell’urna affinché dopo 100 estrazioni con rimpiazzo la probabilità che il gio- catore stia vincendo almeno 10€ sia non inferiore al 50%.

\[\sum_{{i=1}}^{100} X_i\]

con \(X_i\) = vincita (in euro) nell’ i-esima estrazione

\[X_i = \begin{cases} 1 & \frac{R}{10} \\ -2 & 1 - \frac{R}{10} \end{cases}\]

\(X_i\) v.a. indip. e identicamente distribuite

TLC

\[ \sum_{i=1}^{100} X_{i} \approx N \left( m \mu , m \sigma^2 \right) \]

con \( m = 100, \quad \mu = E[X_{i}] , \quad \sigma^2 = Var(X_{i}) \)

Cerchiamo \( R \) per cui

\[ P \left( \sum_{i=1}^{100} X_{i} \ge 10 \right) \ge \frac{50}{100} \]

\[ \boxed{\text{TLC}} \]

\[ 1 - P \left( \sum_{i=1}^{100} X_{i} \lt 10 \right) = 1 - \Phi* \left( \frac{10-100\mu}{\sqrt{100} \sigma} \right) \]

\[ 1 - \Phi* \left( \frac{10-100\mu}{10\sigma} \right) \ge \frac{50}{100} \]

\[ \Phi* \left( \frac{10-100\mu}{10\sigma} \right) \le \frac{50}{100} = \Phi*(0) \]

\[ \frac{10-100\mu}{10\sigma} \le 0 \quad \Rightarrow \quad 10-100\mu \le 0 \]

\[ \mu = E[X_{i}] = 1 \cdot \frac{R}{10} - 2 \left( 1 - \frac{R}{10} \right) = \frac{3R}{10} - 2 \]

10 - 100 [ ^3R⁄₁₀ - 2 ] ≤ 0

10 - 30R + 200 ≤ 0

30R ≥ 210   R ≥ 7

Es. 2

La durata in giorni di una lampadina segue una legge exp di media 10.

Non appena smette di funzionare una lampadina viene sostituita con una nuova.

Qual è la prob. che 40 lampadine siano sufficienti per un anno?

X_i = durata (in giorni) dell'i-sima lampadina   X_i ~ Exp ( ¹⁄₁₀ )

v.a. indipendenti, identicamente distribuite, μ = 10 , σ² = 100

P ( ∑_i=1⁴⁰ X_i ≥ 365 )

∑_i=1⁴⁰ X_i ≈ N ( 40 ⋅ 10, 40 ⋅ 100 )

P ( ∑_i=1⁴⁰ X_i ≥ 365 ) ≈ 1 - ϕ ( ^{365 - 400}/_{√40 ⋅ 100} )

= 1 - ϕ ( ^-35/_{20 √10} ) = ϕ ( ⁷/_{4 √10} ) ...

Es.3

Gli impiegati di un'azienda per recarsi alla mensa e tornare in sede impiegano un tempo X (espresso in minuti);

con distribuzione normale di media 10 min. e varianza 1 min².

Il tempo trascorso in mensa è una v.a. con distribuz. normale di media 30 min. e varianza 2 min².

Supponendo che i due tempi siano ind.,

calcolare la prob. che su un campione di 200 impiegati non più di 10 si assentino complessivamente dal lavoro per più di 43 minuti.

Z = numero di impiegati che si assentano dal lavoro per più di 43 minuti

P(Z ≤ 10) = ?

Z ~ B(200, p)

p = prob. che un impiegato si assenti dal

Lavoro per più di 43 minuti

P = P(X + Y > 43)

X ~ N(10, 1)     Y ~ N(30, 2)   v.a. indip.

\[⬇\]

X + Y ~ N(40, 3) (visto in teoria)

P = P(X + Y > 43) = 1 - Φ^*(\(\frac{43 - 40}{\sqrt{3}}\)) =

= 1 - Φ^*(\(\sqrt{3}\)) ≈ 0,04

\[⬇\]

Z ~ B(200, \(\frac{4}{100}\))

\[⬇\]

Z ≈ N(8, 200 ⋅ \(\frac{4}{100}\) ⋅ \(\frac{96}{100}\))

P(Z ≤ 10) ≈ Φ^*(\(\frac{10 - 8}{\sqrt{200 ⋅ \frac{4}{100} ⋅ \frac{96}{100}}}\)) ...

Es. 4

La durata in ore di un certo tipo di lampadina X si distribuisce secondo una legge incognita con deviazione standard σ_X=8.

Supponendo di estrarre un campione casuale di 36 lampadine e sapendo che

P ( X₃₆ ≤ 1400 ) = 0,9332

calcolare il valore medio di X.

TLC : X_n ≈ N ( μ_X , σ²_X / m )

m = 36    σ²_X = 64

P ( X₃₆ ≤ 1400 ) ≈ Φ ( (1400 - μ_X) / (8 / √36) )