Appunti Matematica applicata

Disequazioni quadratiche

Δ = b² - 4ac -> b ± √ΔN 0 oppure N > 0 e D

Se la funzione deve essere Δx² + bx + c > 0a > 0x₀ x₁ x₂_{a x₀ x₁ x₂}

Disequazioni irrazionali

Disequazioni irrazionali

√A(x) A(x) ≥ 0B(x) > 0A(x) -> Solo se l'argomento della radice è ≥ 0

√A(x) > B(x) -> B(x) > 0 A(x) ≥ 0 ᴜ A(x) > B²(x)

• B(x) A(x) più grande di B(x) perché la radice deve essere positiva
• B(x) ≥ 0 -> A(x) deve esistere e deve essere più grande di B(x)

|x| => Sempre positivo

Dominio

Dominio

Denominatori -> Se ce ne sono vanno posti ≠ 0

Radice di indice pari -> Argomento della radice ≥ 0 (n e d)

Argomento logaritmo -> > 0

Arcsin (x) argomento -> -1 ≤ x ≤ 1

Arco seno (x) argomento -> x ≤ 1

-1 ≤ x ≤ 5 -> -15 ≤ ^x⁄₅ ≤ 1

^x⁄₅ ≤ 1 -> -5 ≤ x ≤ 5

x ⁵ -> x ≤ 5

Δ = b² - 4acb²√Δ2an dax² + bx + c > 0a > 0a < 0

Disequazioni irrazionali

√A(x) < B(x)

A(x) ≥ 0B(x) ≥ 0A(x) < B²(x)

√A(x) > B(x)

B(x) < 0A(x) ≥ 0A(x) > B²(x)

• B(x) Negativo

A(x) più grande di B(x) perché la radice deve essere positiva

• B(x) ≥ 0

A(x) deve esistere e deve essere più grande di B(x)

|x| => Sempre positivo

Dominio

Denominatori => Se ce ne sono vanno posti ≠ 0

Radice di indice pari => Argomento della radice ≥ 0 (n ∊ D)

Argomento logaritmo => > 0

arcsin(x) Argomento => -1 ≤ x ≤ 1

Arcoseno(x) Argomento => -1 ≤ x ≤ 1

-1 ≤ x/5 ≤ 1

d = -5 ≤ x ≤ 5

> -5 x > -5

x/5 ≤ 1

d => x ≤ 5

Traslazioni

Traslazioni

f(x-a)→: x-a←: x+af(x)+b^: +bv: -b

Traslazione vettore (a,b)

Formula funzione

Formula funzione

y-y₀ = m(x-x₀) → x₀, y₀ sono le coordinate di un punto che conosco

mx → Coefficiente angolare

retta passante per 2 punti:

^x-x₁/_x2-x1 = ^y-y₁/_y2-y1

y positiva, retta / → es. y=3x

y negativa, retta \ → es. y=3x

Dominio della tangente

Dominio Tg = tg(x)≠0 → x≠0 → 1

g = 1 → arctg(1)

x≠π/4

tg(x)+1≥0 ≠ N≥0D≥0

a senx cosx tanx 0 0 1 0 π/4 √2/2 √2/2 1 π/2 1 0 ±∞ 3/4 √2/2 -√2/2 -1 π 0 -1 0

_y = senx_x tanx^{| senx}/cosx

Esponenziali e logaritmi

Esponenziali e logaritmi

e⁰ = 1

lim (e^x)x → 0 = e⁰ = 1

lim (e^x+2) = 2x

Esempio dominio di e^x

Dominio di e^x

e^2x - 1 ≠ 0

e^2x ≠ 1

lim (e^2x) ≠ (lm (1))

e non può mai essere uguale ad 1 perché non tocca mai l'asse

Iniettiva, biettiva e suriettiva

Iniettiva, biettiva e suriettiva

Iniettiva: Una retta interseca la funzione al massimo una volta

Suriettiva: Una retta interseca la funzione almeno una volta

Biettiva: Iniettiva + suriettiva

Derivate

Derivate

f(x) 01xⁿ nxⁿ^-1

e^x e^x

a^x log a a^x

log x 1/x

log_ax 1/(log a x)

ln x 1/x

sin x cos x

cos x -sin x

tan x 1/cos²x

arcos x -1/√(1-x²)

arcsin x 1/√1-x²

arctan x 1/1+x²

ax aa xⁿ (a n)x^n-1

e^-x (-1)e^-x

Derivata funzione composta

Derivata funzione composta

g(x) = f(x)ⁿ => n f(x)^n-1 . f '(x)

g(x) = (x-x²) => 2(x-x²)^2-1

g '(x) = (x-x²)(n(x))' = g'(f(x)) . f'(x)

D(x-x³)

Somma o sottrazione di più funzioni

Somma o sottrazione di più funzioni

f(x) = ln x + x⁴

f '(x) = (ln x) + (x⁴) 1/x + 4x³