Appunti Matematica applicata

Matematica applicata

Unione

A ∪ B → elementi che stanno sia in A che in B.

Operazioni A ∪ B = B ∪ A.

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).

Commutativa associativa.

Intersezione

A ∩ B → parti in comune.

Operazioni A ∩ B = B ∩ A.

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

Commutativa associativa.

Leggi di De Morgan

(A ∪ B)^C = A^C ∩ B^C.

(A ∩ B)^C = A^C ∪ B^C.

Definizione

Lo spazio campionario è l'insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento.

S: lancio di una moneta → S = {T,C}.

Lo spazio campionario si verifica sempre → è chiamato evento certo.

Ø non si verifica mai → evento impossibile.

Due eventi A e B sono incompatibili o mutuamente esclusivi se A ∩ B = Ø.

Assiomi di Kolmogorov

S: spazio campionario finito.

P: A → P(A) tale che:

1. P(A) ≥ 0.
2. P(S) = 1.
3. Se A ∩ B = Ø tali che A ∪ B = S.

Allora P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Proprietà

1. P(A^C) = 1 - P(A) → Dim.

   A ∪ A^C = S.

   A ∩ A^C = Ø.

   P(S) = P(A ∪ A^C) = P(A) + P(A^C) 2^° ass.

   1 = P(S) 1^° ass. → 1 = P(A) + P(A^C) → P(A^C) = 1 - P(A).

   Se A ⊆ B allora P(A) ≤ P(B) → Dim.

   A.

   S.

   B = A ∪ (B ∩ A^C).

   P(B) = P(A) + P(B ∩ A^C) → P(B) ≥ P(A).

Matematica applicata

Unione

A ∪ B → elementi che stanno sia in A che in B.

Operazioni.

A ∪ B = B ∪ A.

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).

Commutativa.

Associativa.

Intersezione

A ∩ B → parti in comune.

Operazioni.

A ∩ B = B ∩ A.

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

Commutativa.

Associativa.

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

Leggi di De Morgan

(A ∪ B) = A ∩ B.

(A ∩ B) = A ∪ B.

Definizione

Def → lo spazio campionario è l'insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento.

Es: lancio di una moneta.

Lo spazio campionario si verifica sempre → è chiamato evento certo.

∅ non si verifica mai → evento impossibile.

Due eventi A e B sono incompatibili se A ∩ B = ∅.

Assiomi di Kolmogorov

S: spazio campionario finito.

P: A → P(A) tale che:

1. P(A) ≥ 0.
2. P(S) = 1.
3. Se A ⟂ B tali che A ∩ B = ∅ allora P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Proprietà

1. P(A) = 1 - P(A) → Dim.

   A ∪ A = S.

   A ∩ A = ∅.

   P(S) = P(A ∪ A).

   = P(A) + P(A) → per 3º assioma.

   1 ‣ per il 2º assioma.

   1 = P(A) + P(A) → P(A) = 1 - P(A).

   Se A ⊆ B allora P(A) ≤ P(B) → Dim.

Formula di probabilità

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) → Dim.

A ∪ B = A ∪ (B - A)_B.

P(A∪B) = P(A) + P(B - (B∩A)).

B - (B∩A) = B∩Ā.

P(B) = P(B ∩ Ā) ∪ (B ∩ A)).

P(B ∩ Ā) + P(B ∩ A).

P(B ∩ A) = P(B) - P(B ∩ Ā).

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).

A ⊂ A ∪ B ⇒ P(A) ≤ P(A ∪ B).

B ⊂ A ∪ B ⇒ P(B) ≤ P(A ∪ B).

P(A ∪ B) ≥ max {P(A) , P(B)} disuguaglianza di Bonferroni.

P(A ∩ B) ≥ P(A) + P(B) - 1.

Dim.

P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A ∪ B).

⇒ P(A ∩ B) ≥ 1.

⇒ P(A) + P(B) - 1.

P(A ∩ B) ≤ min {P(A), P(B)}.

Def 4

Dato uno spazio campionario S, si chiama σ-algebra degli eventi una famiglia α di eventi tale che:

S ∈ α.

A ∈ α ⇒ Ā ∈ α.

∀i ∈ I A_i ∈ α ⇒ ⋃_i=1^∞A_i ∈ α.

∩_i=1 A_i ∈ α.

Se S è discreto α = P(S) = insieme delle parti.

Es: Lancio di una moneta.

P(Ω) = S, P, {T₁, T₂}.

Assiomi di Kolmogorov

Sia S uno spazio campionario e α una σ-algebra di eventi allora la prob è P: {a, b} → ℝ tale che:

1. P(A) ≥ 0 ∀ A ∈ α.
2. P(S) = 1.
3. Se I A_i, A_j ∈ α, con A_i ∩ A_j = 0 x ≠ j allora.

P(⋃_i=1 A_i) = ∑_i=1 P(A_i).

Def 5

S₁ definisce spazio di probabilità (S, α, P) dove.

S = spazio campionario.

α = σ algebra di eventi.

P = probabilità su α.

S = {S₁, S₂, ..., S_n} spazio campionario finito.

[S₁, S₂, ..., S_m] eventi elementari.

P(A) = ^k⁄_m = casi favorevoli⁄_{casi possibili}.

Probabilità condizionata