Appunti lezione Analisi 2

Equazioni differenziali L1

"yi) F( ' ) ordinarie (1) ( y y ot =. . .,, ,[ 'f' "( )Y'F )cflt )) ) Yletylt ( o-T.cosalvarla t= )trovare= -cecara . --una , ,,,' incognitanovitala = dadono. dipende daFunzioneuna serauna ordinarievariabili" "di → ordine rox ordinequeste n conapparecui loincognitagunz . .① generaleIntegrale soluzioniinsieme deve(1) equazionedell' 'N ENcrescita (e) )popolazione lete → = -- ---- --- - -f )( ')t ) o(yce =y t, , diffeq ..F-' iylt)) →(e) in formale=y normate/' Ricerca (e))) flt jctglt )diy y =delle= tevivemamiseparabilivariabili.

Problema di Cauchy

Equazioni A'y actb (y)= problema di Cauchy di ))(b{ ylt)Y' ) altit =)premesse Ylto yo--: DEGLI)J)(ae yo, f-J IJ c-toc Jg. - i > insieme deveIio guerrieriJ soluzione "del [una "% " "derivabile .µ_jcj edi eproblema e derivataCauchy yovvero, , continuaE curva perche yotopossouna ebuqsoddisfae . condizioniUnicitàl'Richiede anchesi trovi→ ci apag 6posso↳ avere 2non .soddisfanodistinte chesei diproblema Cauchyil.

.ÌÌÌÌ• "autonome"→ cosiy' =' b ( y)y = ti IRbis ) o> c-y↳ miho 'devesoluzionese 0una yaver > derivano), by positiva deve)Questa equazione ( y = ,quindi esserecrescentescrivano cosi .[ derivatalaDI bit )=dt -4Me .,m%É )(Y c- + c=✓Ésto biy )visto oche >' ¥☒ crescente(g) so= , "Io integrale]c)(y →= c- + generaledell' zequob .differenziale' ' bigablog )y o ) o= =y =di differenzialedell' soluzione ep . singolareD= ho dettacostantequando so soluzioneoche una.

Risolvere✗ DI #e Q ..calcolare→ decinala vederefar→ lavorachesoddisfatta'e .qouaoj÷ Daes fare. )(d'{ yi=3 -)ylo - yo )SIG dealtiY' bly ) =)act= , intervallinell'→ cuiin si-blydj )Act) invertirepuò= genzianauna valoreilottengoydellaott soluzionedelladit)§§_, ale) Salt= ☒ )(y = > dtFormuli ×narisolverediproblemaCauchy' bcy ){ )actY =y (to ) YO=eta tI Tan→ JaceJIE µ= de>, €yo .T t§☒ =( ) dtY )considero a Ltèinteg .definito }{ 6,8115 daES fareRenziani lineari.

Equazioni lineari

Equazioni lineari è ordinedi #e{° (E) }[ continue Igunz= in.È)( finoaronneal qualedannatehocontinuetutte= operatorecontinue Differenzialee④È ')( )I )ae y y yalt+=Lapplicazionedache va C° )(' )LI I→cL : C°c' '=D)CIje c-y a ÈLcy ) = +'L linearee : " () )) tace( g. yayr +y- +.È ' ji =) (e).gr alt+C- +yi= yy a+ <y, ,'' (e)+(e) jzgia ya++ a= ag.d-l%n+-lL(ty)=d(_-generica → lineareequazione digg . f- continuaaordinea- ,fyitau-sg-g-ct-uaclianeo.

GE' at) Oy omogenea=) y- o +- =/ areooeneaNOIOse→ ✓ W& L)Lly →= :con, \ /spaziventanniLcy ) o= Sansoniletranne spaziosadell' emoglobina → ariani amolotrovaresignifica hard=)il Ker ( nucleotrovarebasta soluzlatieneparicolareSan euna→ .eqdelleEl(f) .£ dellaL → dote= sonnoomogenea }=/ cftylgevojda vo +La dimane validati liberequante hodiceke mi .unanimi rive afunzione→ della=)' Act(f) ) )>i. alt dey ale= y+Ale) Act))Act' ho(g)e →)y e( variamentee act g.+=- ~ losviatoderivato derivazione"'ladi ) di un(☐ prodottofaccio casocise.

Quindi se : Alti=DL ao(g) = (g)L o=e 'derivano euna"""" o )< Act= è una)(y o=e - costante Cyegiura =:. integrale)alee-CY = = generaledell' eeg .digger .omogeneaabbiano chedetto : .' (E)d-/'"è( e=D=p) =•lly )fctyintegrando→ . . . '" )" geact fct )e dey = §%c"a 'e- dey =passata risolverexseguireDa oneste② calcolo Equazioniuno fissoloprimitiva e② gomminalausoEssington )IR( in sianotorace/' yy ✗✗ o sonesioui+ =-'Y >✗ acxy✗+ ✗ fcx= ) ×== . "" ÈJè)(FONNÙNAscritturaRicorda → die)→ calcolo unarivamini fissoloe 0E-=/=/)( DXd- × ✗) dx =acx + c ¥ACX) =risolvoadesso→ integralel' : duoi Cdi inore2 JRJean / di= forniscemiJex edi ✗ c) = e , tintequeste eeÈ¥ e-( c)e-quindi =→ c.+→ dell'e + Sansoni equazionedifferenziale.

ED 'IIIy --' oy --d )( ×a '→ questa omogeneae{ | DX1 acx) di = == -1×2 il C= log +. -quindi II.INlaghi hoil cheavi tic quando= ✗ •+ e- - .." =/' ! '!t )c-✗sec e no i-, .verificare✗ l' dellaesattezza sostituirebastatrovatasoluzione nell'la derivanosua equazionesoddisfatta'vederee ese . LZ'{ I(e)y iny o intervallo=a+ )glio) Igo- c-to. c- ""°" °③ "SOWUNICA l)yrisolverlo =(t✗ problemadel: è ,gayputtini ca,,☐1) prendo riva[(e)d- )als da= tesanzionileesaranno ceffoni: as)Yle = unicitàL'DIMOSTRO soluzioneDELLA :è )I(c-yzya , jetyiÈ (e) =ya+jet ,alti {yi+ ={ Jo( ) =yz toYi ( )to Io=differenzase lafaccio { U' altri = yayz yo+y oµce - -= - ,, )Ctoµ 0=E/A 'dell'= tuteda(E) soluzioni =p(a) )ya le yequazione t a l ito ' dato dare formulae : e °È Sacro c-da④ )da -> ".ae £9 '§"+ gco da>e e÷II ordine.

Equazioni lineari di II ordine

Equazioni lineari II ordine'" bitty =p(e) (e)yay + + costantiba.quindibif eai → convincere -'"( fctbce ))y + )y+ alt =yyoy )to =( Problema di' y( )y to = , ozuciayTeorema : C'C° ) !( J (E)g I EEa. delsovvieney diproblemaConey .scrivereposso :④ " 'g) bettyalti ++y= ydoperatore c' C° )(E)L (lui :anche che → I "c'c' )II CTI' )(E) y eec- yyL ' continuaquindie Illy )Llyityz )) ()Hy ()→ lineare L ( (poi =anche +e ya= y .--- --- raccoglieinsieme 'L o(g) ]e dato= uno→ -dell' omogenea sposo tutele→ Kerassociate soluzionivettoriale di dainoQuindi loscrivere .posso : chiamo omogeneaf(y )L tutte V0le= )Soluzioni↳⑦ wc-vo.it④ va+col ↳ Sandell' omogeneasolparticolareteorema 1.6V0 ha dimensione 2LlyiYzYi ) o=,- Llyrein ) = oinaip. }}{ I EIRV0 CzyzCiy C .cz+= , ,- - --LURONSKIANO 1,722- ))( alt) 2-ZiltW = @(E) et '' )Ltz2- )ict ,teorema 1.7 linearmente2-2- sono2i , =/indipendenti W )se 0Ctosolose eTUTTO ILpacchetto Ùdelle soluzioni CzCsai -22t t:DATO DA.

Equazioni a coefficienti costanti

Equazioni a coefficienti costanti aICIENTI COSTANTICoe# eri" '' byLlg) y + +ay y =: zeri'y = ieri" -y -È" b)Hart)< ( =e b-2<+92di +2=21 radice oè ""' ritorna( b))lle o= + =→↳ b22si ar tchiama +polinomio → ↳ caratteristicacamerieri rico eq> .quindi quando vado a coeoetensricoeho l'considerarecostcoegg eq. . . d 3 casi)si a > o2) a < o3° ) O=ea.ie)si gradoSoluz2ammette .=/reali↳ =/ 22r , sonosevedereè[ t' → linearmente, inolip .d bossovedereautil sviano :iura è " " "" )( )+22( c-l r , =/)(e) haW o-2dei raèrt == e ,erita. ehi'"e ,sonolinearmenteindipendentiIt I" " "(9)L O= creec ,'" 3g oy zy =+-:o)è 1di22 2+1--9-8>0 32 = o_2--3+-2-978=-2 letutesoluzioni\no • Ma 'csètczè)2° → ,→<0 complesse date dareali sonoconiugate Lsr" ' edby IR0 anchey ci.czay c-+ =+ coming22 suoartb+ o= e- saiil}2=2 + B)Oti( × in] ¢B IR8 ec- dubito, )is ×eco -ambitoin reale :e.is?coobxi-ioenBX parteReale )( )t.lyletutte -0OXDATESOW C Cale semda ×cos: ,dell' leg . |omogenea immaginaria?⃝ Et oW >" uiy oy + -- La Moroarmonicopannolino :canoa utè. in2 ±o=+ ._ IRChe CiCz Cz C-×simu+soluztinte le cosa ✗ ,eo '"y 2g oy + =+> +2 1-2 2 d- 8 -7<0+ o == = èo = -i☒±' _--1,1=-72 _= 2- E → ¥=È- E- f- EIR§ Cz( e cos sine Ci .cz+ ✗=2=+92) b30/1=0 1- o= ammettosolauna cantata voltesoluz 2.E 'e- insieme(e)[ Eome 'e-(sanaE ⇐'e- -c'' g- ceg. = - È£ <:-( Ee-'e- e-" 'c'" g)y e= c •<- 7-]E;Èì"ij e-bc o+SÉ at-¥£ ]" #C oe- =e•e-"C1=0 Tuttec' le sol dallasono dateformula #EI catè Ècsè a)(oppure→ +ED '" oug =uy +y -'2 ce o-42 =-A- 0=unica 2=2soluzsediequindi letinte : ""Cs Catyce ) e= e + --- --- -.

Soluzione particolare

ParticolareSOWZUNATROVIAMOADESSO6fino ad oraabbiamotrovatoquele associatadell' omogeneatrovounatrovo , tutte-METODO VARIAZIONE ARBITRARIEcostantidella delle.

• ( ) quello cheSIMILITUDINE → metodo Hocad.
• METODO DI 'si reseropiùdi .① '" =pyy ++ ay↳ considero " '' anos bye 0ayy =++.osso c . considero Indlinesontle : IRCi (2- zt2- EitZ icz2- Ci2z,," "fasi giuro checseczaianofema.CICI ci (e) O{ )2- ((E) t =1-Zs(e) 2 IZÌ )feCilec' (E)(e) ))Lt =+ 2-~cici )i Zz ){ ) cecez , 'i )2- (t)2- Lt 2 uno→(e))) -22(e) Lt2- tCI CzLt Semainei paricolareELM " )jet=yy - 'si risolve e era airag : 22-1--0" 22 12 1oy ==y = -- , ècikieI-cau-ie-eytlins.IM :c :(':{ oc' e% e =alla . Ècicciciuiè f-risolvo sistema : itci e-{ cis (e)(e) = -èiè Èc' f(e)ce )ca =-- <E-e ree-cici (e){ (e) = {- ci '{ e- )per=È èc' cif-(E) J2 )CE{- z = = -e| °è(E) )t dagiàce I( e= i oto t •|ÈCz dagià( ) =t - eoc- c- [§ è }]e e'giàÈ' èe- {(e)ci= corda{( da+ e=« -to totjè% ) gioioso= =TO t| daa) fco)ltsenti -=RICAPITOLANDO : c- osoluzionile saranno : e{Èè +ci cz + a) dsgeun >gia(t -toSOMIGLIANZA2° METODO DI 25" "t ey =y yt =y +tu qui cercher&