Appunti Fondamenti di automatica - Parte 1

Automaticafondamenti di 25/26AA

.BIBO STABILEGUYSERRORE FOUR ::: eftxo !yo ]Xitye = =- greideceAtto)FOR YultNORM5) ST DIN : =.. . 「) STABILITA)fjl ( tx :u '= zcait,. - Buiride)( tン _F Re(X) semplice0, t <(y , .t >-g= u ℃。 'ait - asintoticaRe(X)e Buleid Dultで >c = 0Yet にUNEARESTEMA5) ) + >-: 「 LINEARIZAZZIONEf B(t)uA(t)xl = + IMPULSO : Sx Alin Blince)CLEJATDIE xUg = = +Sp(t)imp(t) lins= Sy+ CeinXh DlinkSISTEMA INVARIANTE 0=: += Zuf2xf BeinAlinu)f(xf[ ALL'IMPULSORISPOSTA ==, := Ceft 2xgg(t) Dimp(t) Dug) DlinClingla B +g = =u == , OSSERVABILITAPRODOTTO CONVOLUZIONEPROPRIOSIST DISTR. ::. 「/ 1)ranklindr)) clulr( ( ) (1 git) tt( gtut Yp =agg = -= , n=% -LAGRANEEFORMULA DI : MOVIMENTI :← RAGGIUNGIBILITA℃ sulaidr-: (t)x(t)) e X(t)t( 。 x+ 10 +) 「 == + 2B]1n -...rank[B n=- yelt )) )lt( t Yy += .FDT INTERCONNESSI-CANCELL5)VISIBILI STEMIO SCLLAZIONI .2 BA) TacCISIG(s) D poli zjb+ serie= ·- a;T ロMATRICE EXP GA GB> > >COMPLPOLI CONIUGATIFORMA FDTは .ett J2L [ ( ') GA} 10GBSI A NRE Pa-= ;p(s)( )G dib)PROPRIETÀ di Ge R/NOGaL zs = p ;Wi5 23 WnS ++f(t) f(0) paralleloSF(s)= ·- FREQUENZARISPOSTA INeatfit )) 15F GA ' -oa→ - 4)u(t) sen(cut2 += .f(o) sF(s)lim GB,= 4 >/) (1 GGly 4) )( t seniatySeg yω ω+ += NR/NOpoli comuni =4f(a) 1 |limsF(s) GlsGljw ) )Glsw ) ω== retroazioneSeO · GAAPPROX GAASSESTAMENTO POLITEMPO DOMINANTIDI ~> ≥∞ GAG어 1 + B(s zn)(S) GB <z,+ += ..G(s)Tas poli azjb; =n (s di(s) Pn) diGa Gi NR/NOp z =+ + p;.., STABILITÀPERIODO gOSCILLAZIONI =Gls ) Re(X)AS O<th :·case:whatTo poli tjbi a G : (Re)) poli)) yl )Glo Gl0 O( BIBOS ∞=). = :·SOVRATIONGAZIONE }{CdderTac )polo (5 Itsctipoinantepoerπ2 .=I :こ- poliazjb-100eSy = ;土山山

Elementi sistema costitutivi

CONTROLLOUN DIDIdescritto dasistemaOgni è :Processo controllosottoal desideratoComportamentob) elementiConsideriamo seguentii :variabili controllatey· = controllodivariabiliu· = divariabili riferimentoyo· = disturbid· =Consideriamo schemi controlloditreora :Anello apertoal das duyo √ √V yUCAA P, ,L'obbiettivo quello Inchefar disturbidianchedi eventuali il taracontrolloreAAè yosi iny presenza un.valore basandosidi duil solo yosuu echiusob Anello das duyo : "p yuCa, É.^questo dipade des ancheIn notiamo da da retroazione/grazieche yosia y unaeu macaso aDefiniamo l'errore comeora :yo ye = - idealenel avrà 0si ecasoe = .Definiamo due all'errorecollegateprecisioni :grandezzastatica dell'erroreal regimea:dinamica bontà del6) transitorio:Mistoc das du ad Popia alloraSe avendodudunomP y cosìriesco y= eyo aves =" " ΨuC, . che comportacontrollo AA ACad .siun come un^ di quindiincertezzasoloQuesto realtàvale nellaΨ .in maiassenza ePCOPlA ?^adu durouinale11

Esempio meccanico

Esempio MECCANICOFAv< Fuu~ ?≡ M리 Fe<Feb yBasandoci dellasulla dinamicaII legge :Mij(t) hyj(t)Fult) ky(t)-Fe(t)= -- la scritturaottengo equivalenteXzEyXIEyuna se eporgo :Xil X= 2 +、 奇味- 喜求I 、Tsy =volendoche matricialeformapuò riscriveresi in .Calcoliano derivatel'equilibrio ponendo le 0 :ora aFue-Fa-y di calcoliamocontrollotranite sistema Fus yoy =unora Anelloal aperto :(Mkhin hFeFen Mk. VV vV wv Vyo yFur PƩ >> >一長 FerFm dilegge controlloKnyo At+ -=ricalcolo l'equilibrio :Fen°kny0 Fe kij 0= + - --FeoFegoko -+ FiFen≡y kr ,yo ≡ay e: ≡ kKquindi l'errore : Fi+: ^(yoe -yo )=y= chiusoAnellob) : Fe n,VK Fe h2, MK3 …yo V yFue~ P· - > Me On >⑧^ u(yo y)syo y --In (schemalproporzionalecontrolloquesto avremo concaso :,Fue knyo y)u(yFe += + -n,l'equilibrioquindie : FeFénknyo myo -++i = k u+l'erroree : FerFayo(k kn) + --i = k u+chenotiamo = 0e .seé u -0.2

Definizioni varie

normaledinamico formasistema in· :(8{ )i t1 0= ,, )( ty × 0g= ,, _lineateSistema :· BuAxf{ {B(t)( XA(t)x + += =tempoLTI/lineare invariante)-) DuCLE Ca)DLE Yg UZT += =Sistema dipendono datfeinvariante· g non: dipende daSistema strettamente Uproprio nong· :Sistema SISO 1se pn· : ==stato ER2componentiX Xn= = ImcomponentiU UEingresso -= un yERPcomponentiuscitay p==Fissando statoto dell'uscitadellomovimentoUlt) trovare XIt) movimentoylt)Xo posso· e,,La del chiamamovimento traiettoriaproiezione siassesu un· del ditrovare l'eq LagrangePer formulamovimento lasi usa· :. ℃( 'ett it- --)( yuleldet 510 )e+ = t 。derivatala suae :λ +λi wx= - (nmovimentoIl statodi dimensionesistema 1ingiace spaziosempreun nuno + =33

Sistemi invariante tempo

Consideriamo sistemaun :×= ){ (8 5 a, )(y ug 5= . l'equilibrioponendo f(xtrovareto cost u)=i=0 0u por pongoe == , .x2X(u x) yx ux+:es = = -= -hyp calcolo equilibri1 glii =: - π어equilibri+[2 20u ==- 원ㆀ xaquindi { F (t)1 Vtzo00xose =xpongo >-= =, ItJ ttzO) L1 =, =→= 50 1traiettoriele saranoe :π 3aㆀ XQ >deducono delle derivateguardando ilsi segnoe .Consideriano ult)che prendoIl movimento toi)i) x(0)sviluppaf(x f(x èisi =x 0o se = =e == = . ,, ,,inizialePerturbiano stato to ult)(t) avendolo ottengoSxo =*E Xp(t)x(0)0X = +==. .,,stabile allora#E-0 IlXp-IlkEDiremo SxollSeche 7820 detale Il Xtz0> .sese ,,de asintotisamente stabileDiremo èE se :stabileè1 nXI nX 1. lim (1xp | Illt)2. 0=- ≈~ ~_~ts " .∞ δε _↳ {x tASINTOTICAMENTESTABILE STABILEσ ←X X2 2Considerico quanto segue :{Ax Bu to ) )(( tx { tao{ t℃ Te: + =+= , liberimovimenti+ 1 YE* Xccon。 ,」 ,y(t) 1t)ult) twoDe twoCat 0, yφ= == , ,yit{1050 t ,=× E trO)] F( ( forzatimovimenti{ YaXf=>→ con ,u(t) ,yeltt tro, - )0= ettettiApplichiamo deglila sovrappora :.{=to xFlt )) )(5 JiltX0 += =+ 10 0=u(t) )( ) Yultltyplttr, to y =quindi forzatimovimento dalladato parametri liberiil deiè sonce e .i

Proprietà del sistema lineare

Studiamo guys"4ora :proprietà stabilitàdi difondamentale sistema linearecaratterizzaXIt)· : unproprietà osservabilitàdicaratterizza(t)y· :, proprietà raggiungibilitàcaratterizzaXf(t) :· controlloilIt) caratterizzay· :+Studiano la soluzione diXIt) ovvero :(con numeroAriL X{ ax a== =、 eatyo= adt -0 = rultto. ) -( [9c0] alloraAuo = , ea1tXI X1(0)Xa(t)aexI == > eaztXI ) )( (t +X oazte == 2 zquindi : jeantt/x0 +et(t) xox ==definiano : + 、eAt 登 段ピピ …ItAt ++= chedireda possiamoqua :eft)t(te to:Studiano It)y :ora ,Ax{ X = CeAt( )t )CtiltY 」> = = o_Cxy =Consideriano XF(t) :ora )Ax Bux{ + Alt 2)= - Bulelde(t)X· = =)tio o=dimostrarla calcoliano XFper :( 2)Bule)deAlt -XF Bu(t)Bu(t) Ax (t)+ += = =Vediamo y(t)ora :1 x Ax BU+= c) -2) Bule)deAltyF(t) Du(t)CatDe +y =·= )( o0X = [impulso implt))didistribuzioneutilizzando la Dira SIt)manipoliano ya ::δ ]klta definiauo Shltlim simp(t)글을 =兰= xt* β을consideriamo :1ㅣ emplt)dt th1= ,·rit1implt]dt↓ r(0)=quindi y(t)visaiviano : p)impc)ealt 2)Bu(t)de- e(ule)de| t(t)y += -+ -(Tett-B -el(u(e)deDimplt+definiamo : Ceftg(t) Dimp(t)B +=chiarata all'impulsorisposta .In conclusione :(gt (g u((t)e(u(z)de(t) -y x=== prodott diconvoluzioneperché ?all'impulsochiama rispostaMa glt) si)1 ( )) tt(Yp gtu= ottenendoconsidero imp(2)u(2) := g(t) dig(t(u(t) colona g(t)yf(t) i-esima= == che movimenti dati daSappiamo i :sono 'eftrotf ( )eeoA - dwultft 2)It )- telt Buic1 - . -g(t1txocef e(u(t)d)y(t) (t) (t),y y ++ = -= +

Stabilità esterna BIBO

Introduciano esternamentela stabilità esterna l'uscitasistema fingressostabile quandoè spazioin unoin:nello stabilitàlaA interessastessoè BIBOnoispazio ..Prediano ult) M Ft 0>< : Tglt-2)1det (gedeel(u(211de))(g)t(y (t)) M m= =.-+Igielde limitato allora stabilesistemail èè BIBOe 닌∞ LaPrediano sgolght-2))ule) t)FCETO sarà yfora = :, ., t「 =|) 1gle dc01 )de)) cIsgrlgitgit( t a )Yo = _-。 Iglesideallorail sistema stabileBIBOè 0se .Nel nostro caso : veraDimp(t)c)9g1t)1de