Fondamenti di automatica - Appunti

Fondamenti di automatica

Matilde Simonini Ingegneria Informatica anno 2021/2022

Indice

• Introduzione al corso 2.................................................................................................................................................
• Sistema 2.....................................................................................................................................................................
• Sintesi degli argomenti 4..............................................................................................................................................
• Esempio riassuntivo 5..................................................................................................................................................
• Azione integrale 10......................................................................................................................................................
• Il sistema matematico 11..............................................................................................................................................
• Come viene assegnato? 11.........................................................................................................................................
• Movimento, traiettoria, equilibrio 12.............................................................................................................................
• Esempio – pendolo 13.................................................................................................................................................
• Sistemi dinamici lineari 14............................................................................................................................................
• Movimento di sistemi del primo ordine 15....................................................................................................................
• Sistemi di ordine diagonali 17 ...................................................................................................................................
• Cambiamento di base 17.............................................................................................................................................
• Il movimento dei sistemi lineari – formula di Lagrange 22...........................................................................................
• A non diagonalizzabile – forma di Jordan 26..............................................................................................................
• Linearizzazione 28.......................................................................................................................................................
• Stabilità 31......................................................................................................................................................................
• Stabilità e sistemi lineari 33..........................................................................................................................................
• Quando un sistema è stabile?................................................................................................................................. 35
• Quiz e commenti 35.....................................................................................................................................................
• Quando è stabile un polinomio caratteristico? 37........................................................................................................
• Interconnessione dei sistemi 38...................................................................................................................................
• Stabilità dell’equilibrio 41..............................................................................................................................................
• Stabilizzazione del pendolo inverso 44........................................................................................................................
• Proprietà strutturali 46..................................................................................................................................................
• Raggiungibilità 47.........................................................................................................................................................
• Criterio per il calcolo di 50 ......................................................................................................................................
• Scomposizione di Kalman per la raggiungibilità 52.....................................................................................................
• Osservabilità............................................................................................................................................................ 55
• Forma di Kalman per l’osservabilità 58........................................................................................................................
• Funzioni di trasferimento 60.........................................................................................................................................
• Trasformata di Laplace 60............................................................................................................................................
• Antitrasformate di razionali fratte 63............................................................................................................................
• Funzioni di trasferimento 64.........................................................................................................................................
• Interconnessione dei sistemi 66...................................................................................................................................
• Struttura della f.d.t 67...................................................................................................................................................
• Relazione: rappresentazione nel tempo e trasformate 69...........................................................................................
• F.d.t e stabilità 74..........................................................................................................................................................
• Risposta dei sistemi del 1° e 2° ordine 77...................................................................................................................
• Risposta in frequenza 84..............................................................................................................................................
• Osservazioni empiriche 85...........................................................................................................................................

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• Risultati generali 87......................................................................................................................................................
• Risposta in frequenza e segnali non periodici 92........................................................................................................
• Diagrammi di Bode 93..................................................................................................................................................
• Diagrammi polari (e Nyquist) 100.................................................................................................................................
• Controllo 104..................................................................................................................................................................
• Introduzione e semplificazioni 104...............................................................................................................................
• Stabilità del sistema di controllo 108............................................................................................................................
• Prestazioni statiche 118...............................................................................................................................................
• Prestazioni dinamiche (comportamento in transitorio) 124..........................................................................................
• Sintesi del controllore 131............................................................................................................................................
• Movimentazione di un carrello 131..............................................................................................................................
• Posizionamento testina di lettura 135..........................................................................................................................
• Esercizi al calcolatore 141............................................................................................................................................
• Esercitazione 1 141......................................................................................................................................................

Introduzione al corso

Premessa: questo corso potrebbe anche prendere nome di “Fondamenti di Teoria dei Sistemi”.

L’Automatica studia soprattutto il concetto di sistema, ossia una porzione della realtà che viene vista come a sé stante. Per fare un esempio, facciamo riferimento ad una rete ferroviaria: all’interno di questa vi sono più convogli ferroviari, che possono essere in diverse posizioni; un sistema in questo caso potrebbe essere un singolo convoglio, ossia una parte ⇒ del tutto.

È evidente che nella realtà vi sono più sistemi, i quali hanno un legame reciproco; esiste una mutua interazione ⇒ tra i vari sistemi.

In relazione al disegno a destra, la rete ferroviaria è rappresentata dal complesso dei 3 sistemi, le 3 sotto parti.

Il corso si occupa di studiare:

• I sistemi
• Le interazioni fra i sistemi

L’approccio sistemistico, ossia basato sul concetto di sistema e sulle interazioni fra i sistemi, è alla base di tutta l’ingegneria moderna. Vengono infatti descritte le sotto parti di una realtà e le interazioni fra di esse.

Il corso di Fondamenti di Automatica studia l’approccio sistemistico alla descrizione della realtà.

Sistema

Porzione di realtà che viene estratta dal suo contesto e vista come a sé stante.

È l’oggetto fondamentale del corso. Il sistema è un oggetto in evoluzione, che modifica il proprio stato interno con il passare del tempo.

L’evoluzione dipende da stimoli esterni.

Ingressi o variabili di ingresso, per essere tali, devono avere due caratteristiche:

1. Devono influenzare il sistema
2. Hanno un valore che viene stabilito (istante per istante) dal resto del mondo, ossia ciò che sta al di fuori della porzione identificata come sistema (il complementare del sistema che stiamo considerando).

Nota: una variabile di ingresso non è necessariamente legata a qualcosa che entra fisicamente nel sistema.1

Uscite o variabili di uscita permettono di comprendere come il sistema influenza il mondo esterno. Anche queste hanno due proprietà:

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1. Influenzano il mondo esterno
2. Il loro valore è stabilito dal sistema

Esse sono molto soggettive: l’osservatore decide cosa gli interessa come uscita. Il concetto di uscita prescinde dall’interesse ma il fatto di indicarle in esplicito è lasciato al soggetto che osserva il sistema. Dunque, è possibile evidenziare delle uscite piuttosto che altre a seconda dell’interesse che viene riposto nell’influenza del mondo esterno da parte del sistema stesso.

Per chiarire, il sistema è definito dall’osservatore stesso.

Esempio – scambiatore di calore

Compare una valvola per regolare l’afflusso di acqua (quella indicata in giallo), e una serpentina (indicata in nero).

Si ha poi una portata di ingresso definita dall’apertura della valvola: più viene aperta la valvola e più passa acqua (= maggiore portata). Inoltre c’è anche una temperatura di ingresso.

La portata di uscita dell’acqua è indicata con, che sarà uguale a, data l’incomprimibilità dell’acqua e la temperatura di uscita sarà diversa da quella in ingresso in quanto il sistema scambia (cede) calore con l’ambiente esterno (indica la temperatura dell’ambiente esterno).

Noi in quanto osservatori siamo tenuti a definire il sistema che vogliamo considerare. In questo caso il sistema potrebbe essere il solo tubo, lasciando fuori dal sistema la valvola.

Data questa scelta andiamo a indicare le variabili di ingresso e quelle di uscita dal sistema.

Ingressi

• È un ingresso. Influenza l’evoluzione del sistema in quanto fa cambiare la temperatura dell’acqua interna  al sistema. Vale anche la proprietà 2. in quanto è definita dal mondo esterno.
•  È un ingresso. Essa dipende da quanto è aperta la valvola e dunque è definita dal mondo esterno (proprietà 1) incide sull’evoluzione del sistema. Per comprendere, a parità di temperatura in ingresso, a seconda che l’acqua scorra più o meno rapidamente, troveremo una temperatura più o meno alta in un certo punto del tubo.
• È un ingresso. È determinata dal mondo esterno e influenza il sistema: se la temperatura dell’ambiente  esterno è elevata, l’acqua dentro il tubo subirà un abbassamento della temperatura meno elevato mentre scorre lungo il tubo.

In riferimento alla Nota la portata entra fisicamente nel sistema. In generale qualcosa che entra fisicamente nel1 sistema è generalmente un ingresso, tuttavia non è sempre così: è una variabile di ingresso ma non entra fisicamente nel tubo; essa influenza il tubo attraverso dei processi di conduzione; non c’è uno scambio di materia.

Uscite

  Potremmo, ad esempio essere interessati a descrivere come evolve la temperatura della stanza nel corso del tempo, e per questo è possibile indicare come uscita anche.

Esempio – carrello

Abbiamo a che fare con un carrello posto su un piano orizzontale. In questo caso come sistema consideriamo solo il carrello.

Sul carrello operano due forze:

• → ←  1 2

Gli ingressi del sistema sono:

• 1
• 2
• Dell’aria
• Forza di attrito, che a sua volta può essere dovuto alla pressione

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• Massa del carrello
• …

Si noti che nei sistemi fisici ci sono moltissimi ingressi. Nella descrizione del sistema se ne trascura una gran parte in quanto si ritiene che non siano abbastanza significativi nel loro effetto da tenerne conto. In generale, la realtà è sempre più complessa della descrizione che se ne fa. È compito dell’ingegnere determinare ciò che conta.

Esempio – carrello con molla

In questo caso, riprendendo l’esempio precedente, viene specificato che la forza viene2 generata da una molla.

In questo caso nel sistema comprendiamo anche la molla e non solo il carrello. Anche in questo caso gli ingressi sono infiniti ma dobbiamo sceglierne solo alcuni.

Dato il sistema preso in considerazione, non rappresenta più un ingresso. Tale forza influenza ovviamente2 l’evoluzione temporale del carrello ma non è definita dal mondo esterno. Il valore di è determinato a partire2 dalla posizione del carrello stesso. Anche come nel caso precedente è una variabile interna al sistema e non è un ingresso.

Sistema matematico e sistema fisico

Il sistema (fisico) di cui abbiamo parlato fino ad ora è definito come una porzione del reale.

Il sistema matematico è un altro tipo di sistema. Esso è definito come un descrittore del sistema fisico.

Sistema fisico e sistema matematico sono due concetti completamente diversi.

In riferimento al sistema costituito dal carrello, il carrello con la molla costituisce il sistema fisico. Mentre la2 seguente espressione rappresenta il sistema matematico: forza totale = somma delle() ⋅ () = − ()12 forze agenti sul carrello.

L’immagine dell’esempio superiore rappresenta quindi una porzione del mondo reale, mentre nella riga appena sopra è presentata un’equazione matematica che descrive tale porzione.

Entrambi sono sistemi: il primo fisico e il secondo è un sistema matematico o modello matematico.

Entrambi i sistemi possono essere rappresentati nello stesso modo. In riferimento al sistema fisico rappresenta l’ingresso al sistema e la posizione, 1 del carrello, rappresenta l’uscita di interesse per l’osservatore.

Dal punto di vista del sistema matematico invece, abbiamo a che fare con un’equazione differenziale del secondo ordine, in cui è il termine noto, che deve essere assegnato per poter integrare l’equazione.1

Da sempre l’uomo si è confrontato con il mondo dei sistemi fisici, adottando un approccio empirico.

L’approccio usato nel caso dei sistemi matematici è del tipo scientifico – moderno, che ha portato enormi vantaggi rispetto all’approccio empirico.

Se in un modello matematico viene captata la descrizione di un sistema, si ottiene un modello che comprende tutti i comportamenti associati all’oggetto fisico.

Se il sistema matematico è un buon descrittore del sistema vero, permette di fare