Appunti Fondamenti di automatica

Problema di controllo

Sia Σ: un sistema fisico.

• y(t): uscite (variabili di interesse/controllate)
• u(t): ingressi (o variabili di controllo)
• d(t): disturbi: agiscono influenzando l’andamento delle uscite (come gli ingressi, tuttavia sono casuali e non controllabili)

Problema di controllo: progettare u(t) t.p.c. y(t) abbia un andamento desiderato anche in presenza di disturbi.

Notazione: indichiamo l’andamento desiderato con y_o(t).

Controllo automatico: u(t) è sintetizzato da un dispositivo automatico: controllore.

Se y_o è costante — regolazione.

y_o è variabile — asservimento.

Esempi

• Pancreas artificiale (Problema di Diabete Mellito)
• Peacemaker per cuore artificiale
• Cultura batterica
• Stato ipnotico

Problema di controllo

Sia Σ: un sistema fisico.

• y(t): uscite (variabili di interesse/controllate)
• u(t): ingressi (o variabili di controllo)
• d(t): disturbi: agiscono influenzando l'andamento delle uscite (come gli ingressi, tuttavia sono casuali e non controllabili)

Problema di Controllo: progettare u(t) t.p.c. y(t) abbia un andamento desiderato anche in presenza di disturbi.

Notazione: indichiamo l'andamento desiderato con y_d(t).

Controllo automatico: u(t) è sintetizzato da un dispositivo automatico: controllore.

Se y_o è costante — regolazione.

Se y_o è variabile — asservimento.

Esempi

• Pancreas artificiale (Problema di Diabete Mellito)
• Peacemaker per cuore artificiale
• Cultura batterica
• Stato ipnotico

Modelli matematici

Processi: Astrazione → Estrarre dalla realtà fisica solamente le variabili di interesse.

Approssimazione → necessariamente un'approssimazione.

Feedback

σ^* = σ(t) costante t.p.c. y(t) ⟶ T_o (> T_e).

y(t_o) = T_i.

Equazioni del calore: Ṫ = 1/C_TP_TOT.

P_e = σ²(t) /R, P_d = 1/R_T(T(t) - T_e).

Ṫ = -1/C_TR T(t) + [v²(t)/C_TR_T + T_e/C_TR_T] con V(t).

Sia 𝜏 = C_TR_T: Ṫ = -1/𝜏 T(t) + V/𝜏 C V^*.

Con V^* = (r^-1)² /C_TR + T_e/C_TR_S.

T(0) = T_i.

La soluzione di questa equazione differenziale risolta con Cauchy sarà:

{T(t) = T_∞ + (T_i - T_∞)e^-t/𝜏}

T_∞ := V.

Impongo: V^* τ = To, ovvio: Alcuna ottiene: Nel caso la temperatura ext cambi il controllore riscontra un problema dal momento in cui non può misurare Te.

v(t) = Vmax se T(t) < To.

0 se T(t) ≥ To.

Feedback o retroazione a catena chiusa

Modelli di stato

Ingresso e uscita sono legati dalle equazioni:

Sia un modello matematico, equazione di stato.

ẋ(t) = f₁(x(t), u(t)) ẋ = derivata rispetto al tempo.

Eq. di uscita: y(t) = f₂(x(t), u(t)).

La prima equazione, essendo differenziale va pensata con la condizione iniziale x_o(0) = x_o.

Consideriamo: u(t) ∈ ℝ^l ∀t; x(t) ∈ ℝⁿ n = ordine di Σ.

y(t) ∈ ℝ ∀t.

x(t) si dice stato di Σ e n si dice ordine di Σ.

f_h, ℓ ∈ C¹; f₁: ℝ^n+l → ℝⁿ.

f₂: ℝ^n+l → ℝ.

X(t).

x₁(t) x₂(t) … x_n(t) → ẋ_i(t) = f_i(x(t), u(t)), i = 1, …, n.

Eq. di stato

Proprietà di invarianza → x^Α(t) = x^Ω(t) ∀ t ≥ t₀.

Proprietà fondamentale dello stato

Avendo: {x^Α(t), u^Α(t), y^Α(t) x^Ω(t), u^Ω(t), y^Ω(t) se risiede Σ, avrò anche: y^Α(t) = y^Ω(t) ∀ t ≥ t₀.

Per determinare l'evoluzione futura dello stato è sufficiente conoscere l'informazione lo stato del sistema a t₀.

Proprietà di separazione dello stato

Sistemi lineari

Def. Σ si dice lineare sse f e h sono f lineari di x e u; Σ è lineare f(x,u).

A: matrice di stato di Σ_L.

b: vettore di ingresso di Σ_L.