Appunti esame: Analisi matematica II

Name: Appunti esame: Analisi matematica II
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Author: AlessioGolini

Revisionato il 14/07/2026

di AlessioGolini

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Appunti totalmente sufficienti per sostenere la prova scritta ed orale al meglio. 100 pagine di spiegazioni, dimostrazioni, esempi ed esercizi svolti che coprono tutto il programma del secondo …

Esame Analisi matematica

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Paoli Maria Gabriella

Università Università degli Studi di Firenze

A.A. 2022-2023

101 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

Analisi II

Successioni funzioni definite sui numeri naturali (dominio N)

notazione: a_n (a con n)

valore che la successione assume in n

(n indice) termine n-esimo

a_n=¹/_n {a_n}_n∈N scrittura giusta ma pesante (rappresentazione insiemistica)

E_s

Rappresentazione grafica

grafico a punti orizzontale

E_s

disporre i valori della successione su una retta ordinata

In N non ci sono punti di accumulazione (sono tutti punti isolati) ma è illimitato superiormente, quindi l'unico limite sensato è

convergente

divergente

irregolare

a_n=n!

b_n=(-1)ⁿ

+1 n pari

-1 n dispari

ANALISI II

Successioni

funzioni definite sui numeri naturali (dominio ℕ)notazione: a_n (a con n)valore che la successione assume in n (n indice), termine n-esimoa_n=¹/_n

{a_n}_n∈ℕ scrittura giusta ma pesante (rappresentazione insiemistica)

Rappresentazione grafica

a_n=¹/_n e n≠0grafico a punti orizzontale

disporre i valori della successione su una retta ordinata

In ℕ non ci sono punti di accumulazione (sono tutti punti isolati) ma è illimitato superiormente, quindi l'unico limite sensato è

L∈ℝ convergente
±∞ divergente
∉ irregolare

lim_n→+∞ a_n

Le successioni create da restrizioni di funzioni alle note mantengono lo stesso limite, la monotonia e la limitatezza (come per sen(n))

lim_x→+∞ ¹/_x = 0
lim_n→+∞ ¹/_n = 0

lim_x→+∞ 2^x = +∞
lim_n→+∞ 2ⁿ = +∞

lim_x→+∞ -x² = -∞
lim_n→+∞ -n² = -∞

lim_x→+∞ ^{ln x}/_x² = 0
lim_n→+∞ ^{ln n}/_n² = 0

a_n=n!

b_n=(-1)ⁿ

+1 n pari
-1 n dispari

Ogni numero naturale ha il suo successivo

SUCCESSIONI PER RICORRENZA: il primo termine è definito e poi definisco chi è il termine successivo e così via

E₁

a₁ è definito
a_n+1 = f(a_n)

a₁ = 2
a_n+1 = 2a_n, n > 1

E₂

Successione di Fibonacci (definita partendo da più termini precedenti)

a₀ = 1
a₁ = 1
a_n+1 = a_n + a_n-1, n > 1

a_n è crescente se ∀n < m ⇒ a_n ≤ a_m

∀n ∈ ℕ ⇒ a_n ≤ a_n+1

Si usa definitamente per certe proprietà se esse partono da un certo limite. a_n ha definitivamente la proprietà P(n) se ∃n̅ ∈ ℕ t.c a_n ha la proprietà P(n) per n ≥ n̅

E₃, b_n = n - 5 è definitivamente positiva da n̅ = 6 ∀n ≥ n̅ b_n > 0

lim _n→+∞ a_n = 0 ⇔ {a_n}_n∈ℕ è una successione infinitesima
lim _n→+∞ a_n = 0 (⇒) lim _n→+∞ |a_n| = 0
Teorema del confronto c_n ≤ a_n ≤ b_n definitivamente lim _n→+∞ c_n = L ⇒ lim _n→+∞ a_n = L
lim _n→+∞ a_n L < lim _n→+∞ f(x) = L se a_n cresce
lim _n→+∞ a_n < -∞ se decresce lim _n→+∞ a_n = -∞

Confronti tra infiniti:
lim _n→+∞ lnn < n^a < n^b < n! < nⁿ a > 0, b > 1

E₄

lim _n→+∞ n²/(2ⁿ) → lim _n→+∞ n²/(2ⁿ)

lim _n→+∞ n²/(2ⁿ) = 0

_n lim_{n → +∞}

Es ^(−2)ⁿ/_n² lim_{n → +∞} ^(−1)ⁿ/_n² ^2ⁿ/_n² ^2ⁿ/_n² > 0 n pari

^−2ⁿ/_n² < 0 n dispari

Per la per

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