Appunti esame: Analisi matematica II

Name: Appunti esame: Analisi matematica II
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Author: AlessioGolini

Revisionato il 28/07/2026

di AlessioGolini

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Appunti totalmente sufficienti per sostenere la prova scritta ed orale al meglio. 100 pagine di spiegazioni, dimostrazioni, esempi ed esercizi svolti che coprono tutto il programma del secondo …

Esame Analisi matematica

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Paoli Maria Gabriella

Università Università degli Studi di Firenze

A.A. 2022-2023

101 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

Analisi II

Successioni

Successioni funzioni definite sui numeri naturali (dominio N).

Notazione: a_n (a con n).

Valore che la successione assume in n (n indice), termine n-esimo.

a_n=¹/_n

{a_n}_n∈N scrittura giusta ma pesante (rappresentazione insiemistica).

E_s

Rappresentazione grafica

Rappresentazione grafica.

Grafico a punti orizzontale.

E_s

Disporre i valori della successione su una retta ordinata.

In N non ci sono punti di accumulazione (sono tutti punti isolati) ma è illimitato superiormente, quindi l'unico limite sensato è.

Convergente.

Divergente.

Irregolare.

a_n=n!

b_n=(-1)ⁿ+1 n pari -1 n dispari

Analisi II

Successioni

Successioni funzioni definite sui numeri naturali (dominio ℕ).

Notazione: a_n (a con n).

Valore che la successione assume in n (n indice), termine n-esimo.

a_n=¹/_n

{a_n}_n∈ℕ scrittura giusta ma pesante (rappresentazione insiemistica).

Rappresentazione grafica

a_n=¹/_n e n≠0

Grafico a punti orizzontale.

Disporre i valori della successione su una retta ordinata.

In ℕ non ci sono punti di accumulazione (sono tutti punti isolati) ma è illimitato superiormente, quindi l'unico limite sensato è.

L∈ℝ convergente

±∞ divergente

∉ irregolare

lim_n→+∞ a_n

Le successioni create da restrizioni di funzioni alle note mantengono lo stesso limite, la monotonia e la limitatezza (come per sen(n)).

lim_x→+∞ ¹/_x = 0

lim_n→+∞ ¹/_n = 0

lim_x→+∞ 2^x = +∞

lim_n→+∞ 2ⁿ = +∞

lim_x→+∞ -x² = -∞

lim_n→+∞ -n² = -∞

lim_x→+∞ ^{ln x}/_x² = 0

lim_n→+∞ ^{ln n}/_n² = 0

a_n=n!

b_n=(-1)ⁿ+1 n pari -1 n dispari

Ogni numero naturale ha il suo successivo.

Successioni per ricorrenza

Successioni per ricorrenza: il primo termine è definito e poi definisco chi è il termine successivo e così via.

E₁

a₁ è definito

a_n+1 = f(a_n)

a₁ = 2

a_n+1 = 2a_n, n > 1

E₂

Successione di Fibonacci (definita partendo da più termini precedenti).

a₀ = 1

a₁ = 1

a_n+1 = a_n + a_n-1, n > 1

Monotonia e proprietà definitive

a_n è crescente se ∀n n ≤ a_m

∀n ∈ ℕ ⇒ a_n ≤ a_n+1

Si usa definitivamente per certe proprietà se esse partono da un certo limite. a_n ha definitivamente la proprietà P(n) se ∃n̅ ∈ ℕ t.c a_n ha la proprietà P(n) per n ≥ n̅

E₃, b_n = n - 5 è definitivamente positiva da n̅ = 6 ∀n ≥ n̅ b_n > 0

Limiti e teoremi

lim _n→+∞ a_n = 0 ⇔ {a_n}_n∈ℕ è una successione infinitesima

lim _n→+∞ a_n = 0 (⇒) lim _n→+∞ |a_n| = 0

Teorema del confronto c_n ≤ a_n ≤ b_n definitivamente lim _n→+∞ c_n = L ⇒ lim _n→+∞ a_n = L

lim _n→+∞ a_n L n→+∞ f(x) = L se a_n cresce

lim _n→+∞ a_n n→+∞ a_n = -∞

Confronti tra infiniti

Confronti tra infiniti:

lim _n→+∞ lnn a b 0, b > 1

E₄

lim _n→+∞ n²/(2ⁿ) → lim _n→+∞ n²/(2ⁿ)

lim _n→+∞ n²/(2ⁿ) = 0

_n lim_{n → +∞}

Es ^(−2)ⁿ/_n² lim_{n → +∞} ^(−1)ⁿ/_n² ^2ⁿ/_n² ^2ⁿ/_n² > 0 n pari ^−2ⁿ/_n² Per la per

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