Analisi matematica II - Appunti

Serie numeriche

Data una successione \(\{a_k\}\) la serie è la somma di tutti i termini: \(a_0 + a_1 + \ldots + a_k + \ldots = \sum_{k=0}^{\infty} a_k\)

Da questa è possibile definirne un'altra:

\(S_0 = a_0\)

\(S_1 = a_0 + a_1\)

\(S_k = a_0 + a_1 + \ldots + a_k\)

\(\lim_{n \to \infty} S_n = S\)

• Se \(S \in \mathbb{R}\), la serie converge
• Se \(S = \pm \infty\), la serie diverge positivamente
• Se \(\neg \lim_{n \to \infty} S_n\), la serie è indeterminata

Esempi

Serie geometrica: \(\sum_{k=0}^{\infty} q^k\)

• Converge a \(\frac{1}{1-q}\) per \(|q|
• Diverge a \(+\infty\) se \(q \geq 1\)
• È indeterminato se \(q = -1\)

\(S_n = 1 + q + \ldots + q^n \rightarrow\) moltiplico per \((1-q)\)

\((1-q)S_n = (1+q+\ldots+q^n)(1-q) = 1-q^{n+1}\)

Da cui: \(S_n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}\)

Facendo i limiti:

Con \(q \neq 1\)

• Se \(|q|
• Se \(q \geq 1\): \(\lim_{n \to \infty} \frac{1-q^{n+1}}{1-q} = +\infty\)
• Se \(q = -1\): \(\lim_{n \to \infty} \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \nexists\)

Caso particolare: \(q = 1 \rightarrow S_n = 1+1+ \ldots +1 = n+1\) facendo il limite: \(\lim_{n \to \infty} n+1 = +\infty\)

Le serie \(\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\) è indeterminato

Serie di Mengoli: \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\)

Serie numeriche

Data una successione {a_k} la serie è la somma di tutti i termini: a₀ + a₁ + ... + a_k + ... = ∑_k=0^∞ a_k

s₀ = a₀

s₁ = a₀ + a₁

s_k = a₀ + a₁ + ... + a_k

Esempi

Serie geometrica: ∑_k=0^∞ q^k converge a ¹/_1-q per |q| < 1

• Diverge a +∞ se q > 1
• È indeterminato se q = -1

S_n = 1 + q + ... + qⁿ → moltiplico per (1-q)

(1-q) S_n = (1 + q + ... + qⁿ)(1-q) = 1 - qⁿ⁺¹

Da cui: S_n = ^{1 - qn+1}/_1-q

Facendo i limiti: con q ≠ 1

• Se |q| < 1, lim_n (1-qⁿ⁺¹) / (1-q) = ¹/_1-q
• Se q > 1: lim_n ^1-qn+1/_1-q = +∞
• Se q = -1: lim_n ^1-qn+1/_1-q

Caso particolare: q = 1 → s_n = 1 + 1 ... = n+1 facendo il limite: lim_n n+1 = +∞

Le serie ∑_k=0ⁿ (-1)^k è indeterminato

Serie di Mengoli: ∑_k=1^{∞ 1}/_k(k+1) = ∑_k=1^∞ (¹/_k - ¹/_k+1)

Criterio del confronto

- Criterio del confronto (per le serie a termini positivi)

Siano ∑_k=0^∞ a_k = s e ∑_k=0^∞ b_k = t. Se a_k ≤ b_k ∀ k:

• Se ∑_k=0^∞ b_k converge → ∑_k=0^∞ a_k converge
• Se ∑_k=0^∞ a_k diverge → ∑_k=0^∞ b_k diverge

Dim.: ∑_k=0^∞ a_k k=0^∞ b_k poiché q_k ≤ b_k ∴ s_n n ⇒ lim_n s_n ≤ lim_n t_n

2) Se per assurdo b_k converge anche per la 1^a dim.

Esempi

∑_k=1^∞ 1/k → Serie armonica

La confrontiamo con la serie telescopica poiché 1/k ≫ log(1 + 1/k) ∀ k → ∑_k=0^∞ 1/k diverge

Serie armonica generalizzata

∑_k=0^∞ 1/k^α

• Diverge se α ≤ 1
• Converge se α > 2

Criterio del confronto asintotico

- Criterio del confronto asintotico: (per le serie a termini positivi)

Se le serie sono equipotenti (ovvero lim_k→+∞ a_k/b_k = l, l ∈ R \ {0}) le due serie hanno lo stesso comportamento.

Dim: Per le ipotesi: le successioni {a_k/b_k} e {b_k/q_k} convergono per cui ∃ M₁, M₂ > 0: a_k/b_k ≤ M₁, b_k/q_k ≤ M₂

a_k ≤ M₁ b_k e quindi, b_k ≤ M₂ q_k se b_k diverge anche q_k diverge

S₁ = 1 - 1/2 = 1/2, S₂ = 1/2 + 1/2 - 1/3 = 1 - 1/3

S₃ = 1 - 1/3 + 1/3 - 1/4 = 1 - 1/4, S_n = 1 - 1/n+1

Da cui: lim 1 - 1/n+1 = 1 - -> la serie di Mengoli converge a