Appunti per esame orale di Analisi matematica II

Name: Appunti per esame orale di Analisi matematica II
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Author: alessandro.difelice48

Revisionato il 13/07/2026

di alessandro.difelice48

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Appunti per sostenere l'esame orale di Analisi matematica II. Gli appunti sono stati presi durante le lezioni della prof e rivisti in un secondo momento con l'ausilio delle lezioni online per …

Esame Analisi matematica II

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Papalini Francesca

Università Università Politecnica delle Marche - Ancona

A.A. 2020-2021

107 pagine

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Appunti esame

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Estratto del documento

Serie di Fourier

Funzione periodica

Sia f: A→B, A ≠ ∅, A ⊂ B, si dice che f è periodica di periodo T > 0 se:

f(x+T) = f(x), ∀x ∈ A

Data una funzione f periodica di periodo T, possiamo modificare la scrittura attraverso una dilatazione/contrazione per renderla periodica secondo un altro periodo T' > 0. Poniamo:

g(x) = f(_T⁄_T' x)

E osserviamo che la nuova funzione g è periodica di periodo T', infatti:

g(x+T') = f(_T⁄_T' (x+T')) = f(_T⁄_T' x + T) = f(_T⁄_T' x) = g(x)

Serie di Fourier

Funzione periodica

Sia \(h:A \rightarrow B\), \(A \neq \emptyset\), \(A \subseteq B\), si dice che \(h\) è periodica di periodo \(T > 0\) se:

\(h(x+T) = h(x)\), \(\forall x \in A\)

Data una funzione \(h\) periodica di periodo \(T\), possiamo modificare la struttura attraverso una dilatazione/contrazione per renderla periodica secondo un altro periodo \(T' > 0\). Poniamo:

\(g(x) = h\left(\frac{T}{T'}x\right)\)

E osserviamo che la nuova funzione \(g\) è periodica di periodo \(T'\), infatti:

\(g(x+T') = h\left(\frac{T}{T'}(x+T')\right) = h\left(\frac{T}{T'}x+T\right) = h\left(\frac{T}{T'}x\right) = g(x)\)

Osservazione

Una funzione periodica di periodo T risulta periodica anche di periodo kT, ∀k ∈ N. Pertanto due funzioni periodiche f e g di periodo, rispettivamente T e T' possono considerarsi periodiche di uno stesso periodo m > 0 se esistono:

h, k ∈ N tali che m = hT = kT'

Le funzioni trigonometriche sin x, cos x sono classici esempi di funzioni periodiche, il cui periodo è 2π. Anche le funzioni sin k·x, cos k·x sono funzioni periodiche, con periodo minimo 2π/k. Poiché la combinazione lineare di funzioni periodiche di periodo T è ancora periodica di periodo T e le funzioni costanti sono periodiche di qualunque periodo, possiamo quindi osservare che le seguenti funzioni sono periodiche di periodo 2π:

a₀/2 + ∑_k=1ⁿ (a_k cos kx + b_k sin kx), ∀n ∈ N

Questa funzione viene chiamata polinomio trigonometrico di ordine "n".

Osserviamo che il polinomio trigonometrico di ordine "n" può essere visto come la somma parziale n-esima di una serie che otteniamo considerando il limite per n→+∞. La serie ottenuta è la seguente:

^a₀/₂ + ^+∞∑_k=1 (a_k cos kx + b_k sin kx)

Questa serie prende il nome di serie trigonometrica di coefficienti a_k, b_k ∈ R. Studiare il comportamento di questa serie significa stabilire per quali x ∈ R la serie converge. Dal momento in cui la "x" compare nella serie attraverso funzioni periodiche di periodo 2π, è sufficiente studiare il comportamento della serie in un periodo, come il periodo [-π, π]. Nel caso in cui la serie converga, convergerà ad una funzione f(x) che risulterà periodica di periodo 2π.

Osserviamo

|a_k cos kx + b_k sin kx| ≤ |a_k| + |b_k|, ∀ k ∈ N ∀ x ∈ [-π, π]

Quindi, se le due serie ^∞∑_k=1 |a_k| e ^∞∑_k=1 |b_k|, dette serie dei coefficienti, convergono, allora converge la serie _k=1^∞(|a_k| + |b_k|) e per il criterio del conformo la serie trigonometrica converge assolutamente in [-π, π].

Teorema

Se le serie _k=1^∞a_k e _k=1^∞b_k convergono assolutamente, allora la serie trigonometrica:

α_∞/2 + _k=1^∞(a_kcos kx + b_ksin kx) converge assolutamente in [-π, π].

Cosa possiamo dire quando abbiamo una serie trigonometrica in cui le serie dei coefficienti non convergono assolutamente? In questo caso abbiamo a disposizione altri teoremi che svolgono l’analogo del criterio di Leibniz quando avevamo serie a segno alternato che non convergono assolutamente.

Possiamo intanto dire che, ricordando le proprietà sui limiti, se le due serie _k=1∑^∞a_kcos kx ; _k=1∑^∞b_ksin kx convergono, allora converge anche la serie trigonometrica; se ne deduce quindi, che in alcuni casi conviene studiare separatamente le serie di soli seni e coseni.

Criteri di Dirichlet

(Condizione sufficiente per la convergenza di una serie trigonometrica)

Siano date le serie:_k=1

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