Appunti di Teoria delle strutture Parte 11 (metodo degli elementi finiti problema flessionale di Timoshenko)

Trave inflessa con deformazione a taglio (Timoshenko)

A_S-KA → forza di coesione e τ_o

Spostamenti e parametri cinematici

Spostamento:

u_x=-yφ(x) in direzione asse trave

u_y=q(x)γ=φ^’(x)γ=-∂v + ∂u τ=q(x)-φ(x)

Introduco i parametri cinematici:

V₂^(e)=V_Bφ₂^(e)=φ_BU₂^(e)=U_Bφ₂^(e)-φ_B

Le forze nodali sono:

Q₂^(e)=-T_BS₂^(e)=-M_B

Le forze nodali sono connesse con le caratteristiche delle sollecitazioni!

Faccio un passaggio di coordinate:

Coordinate globali e naturali

Coordinate globali coordinate naturali (sistema di riferimento el modulo dell’elemento)

Trave inflessa con deformazioni attraverso (Timoshenko)

A_s-K_A → flessione di curvatura e torsione

Spostamenti e parametri cinematici

Spostamento:

u_x = -yφ(x) in direzione asse trave

v_y = φ(x)γ = φ₁(x)γ = ^∂v/_∂x + ^∂u/_∂y = φ'(x) - φ(x)

Introduco i parametri cinematici:

V_A^(e) = V_AV_B^(e) = V_Bφ₂^(e) - φ_Bφ₂^(e) - φ_Bφ₂^(e) - φ_Bφ₁^(e) - φ_Au₂^(e) - u_Bu₂^(e) - u_Bu₂^(e) - u_B

Le forze nodali sono:

s_z^(e)₁^(e) ₂^(e) q₂^(e) - t_Aq₂^(e) - t_Bs₁^(e) - h_As₂^(e) - m_B

Le forze nodali sono connesse con le caratteristiche della sollecitazione!

Faccio un passaggio di coordinate:

Coordinate globali e naturali

Coordinate globali coordinate naturali (sistema di riferimento del curvo dell'elemento)

Calcolo del cambio di coordinate

X=XA     ⟹   ζ=-1

X=X0     ⟹   ζ=+1

X=xA  1-ζ/2 + x0 1+ζ/2

x(ζ=-1)=xA ⋅1+x0 ⋅0

x(ζ=+1)=xA ⋅0+x0 ⋅1

Ψ1x(ζ) = xA ω1 (ζ)+x0 ω2(ζ)

Definisco:

J=- dx/dζ      ⟶ dx = Jdζ ⟶ d&zeta/dx = J^-1 Giacobino

Π _{(u 1, Φ)} = 1/2 ∫_XA^X0 EI x²dx + 1/2 ∫_XA^X0 GA χ (xy)² dx - ∫_XA^X0 qudx

Mi ricordo che: X=^dψ/_dx e _x=dvᵍ/dx

Vogliamo riscrive l'integrale da "in dx" a "in d" d/d²−J−−−→ −−−→dx=Jd^d²−^Jd/d²X=dψ/ =^dψ(3)/d^d² --> Allora

Π= ¹/_{2 J¹}∫ ₋₁¹ ([] d)¹/J^[1∫ gA /−  − 20₂− 5₂ϕ₂

Ho trasfondato gli integrali in un nuovo sistema di riferimento.

Che ritroviamo le approssimazioni:

u₂=∑³₂ v^(e)ϕϕ₂= ∑³₂ ϕ^(e) (3)ϕϕ − − − − ϕ₁=ϕ₁−μ₄ϕ₂=ϕ₂−μ₂

Sostitico probabilità concordance dell'energia

Suppongo lo stati unito:− _{0 − - -}  r²= _{0 − ∫[1] ∫[4]}¹e trovo le equazioni di equilibrio approssimato sapendo che

• t = 1 ϕ₁(-1) = 1 ϕ₁(1) = 0
• t = 2 ϕ₂(-1) = 1 ϕ₂(1) = 1
• t = 1 ψ₁(-1) = 1 ψ₁(1) = 0
• t = 2 ϕ₂(-1) = 1 ϕ₂(1) = 0

Trovo un sistema di 4 equazioni in 4 incognite {u₁, ϕ₁, ϕ₂, ϕ₂}

1000, fino sera il sistema....eq_e...K^(e)...µ^(e)F^(e) Matice di rigidezza

1000 Soluzione analitica (esatta) U₂=+ Moltiplica per h³.

σ_L = v_Lh^{3 4FL3}/_Eb ^{FL2 -> 0 per h->0}/_6Gb³

MATLAB: Euler Bernoulli Timoshenko m_v = m_f = 2% totk = 5/6; b = 1; syms xi xa h ee φ₂ Lhe = L; psi₁ = 1/2*(1-xi); psi₂ = 3/2*(1+xi); X₀ = xa + the; X = XA + psi₁ + tx₀ a + psi₂;% backwards

J = diff(x, xi); syms u₂ U₂ phi₁ phi₂ FF uuu_S = U₂ + ψ₁ + ψ₂; phi = phi₁ + psi₁ + phi₂ + psi₂; chi = diff(phi, xi) / J; gamma = collect(diff(u, xi) / J - phi, xi);% energia potenziale totale

sy = hEI = b*h³/12*ee; GA_s = b*h*k+gg; em_γ = 1/2 * ET * xi * int(chi^2 * J * xi, -1, 1); em_φ = 3/2 * GA_s * int(gamma^2 * J * xi, -3, 1); em_iut = em_ψ + em_φ; em_cσξ = -FF + sd(xs, x1); em_tot = em_iut/hn3 + em_cσξ;

• eq₁ = diff(em_tot, σ₁);
• eq₂ = diff(em_tot, phi₁);
• eq₃ = diff(em_tot, U₂);
• eq₄ = diff(em_tot, phi₂);
• eq₅ = sd(eq, {sub, phi₁}, {0, 0});
• eq_4m = sd(subs(eq₄, {sub}, {0, a1}));

ssl = solve (eq_5m, Sσ, v₂, phi₂); expand(sd, v₂)

Per h che tende a zero:

• FF primo termine $ funzione del tipo h² posto α=1 e quindi, come mostra il grafico, per h che tende a zero il primo termine tende a zero
• Il secondo termine tende a zero per h che tende a zero.

Quindi, al contrario della soluzione analitica, la soluzione FEM fa tendere a zero lo spostamento quando h tende a zero. Si ha così il fenomeno del LOCKING che consiste in una struttura degli spostamenti troppo snervante (rapp rigida). La struttura resta "stessa" contro le deformazioni. Orthoticamente l'origine del Locking è dovuta ad un'adozione errata del sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali. All'interno delle equazioni ci potrebbero essere dei parametri molto piccoli (parametri critici) che portano ad elevati coefficienti nel sistema discretizzato di equazioni.

Marce di ricerca: calcolo autovalues e autovectors

eq: [eq1, eq2, eq3, eq4]; mmks:= [v2, phi1, v3, phi2]; kk:=sym({eqs},{g,l}); for i:=3:4; for j:=3:4; kk(i,j)=aol(i/pn*(diff(cs(i),uins(j)।)); eudEud[V,D]=eig(kk); lambda=diag(D)

Perché usare il backing?

Si considera l'energia potenziale per il singolo elemento:

Π=½∂φ ∂d₂ ++--

Si escludono i termini flessionali ed a seguito dell'energia con h³:

Π^u=∂φ ∂d₂ - 1-;(o_xσ_x^(e)+o_zσ_z^(e)+s_xφ_x^(e)+s_zφ_z^{(e) )}

Facendo riferimento per semplicità alla sezione rettangolare di dimensioni bxh si ha:

H^u=1∂φ ∂d₂ - 11--

Poiché in elastico, per ogni valore di h l'energia potenziale deve risultare finita, deve accadere in particolare che:

1∂x jd₂ finita per ogni h

Se ne deduce che: per per h In altri termini, quando h Tende a zero, deve accadere che il Tendo a zero, e quindi l'ugual di fare coi deflessione e taudi Timosenko Tendo di ugual di fare senza deflessione a tefidi Ebero-Bemioli Imporendo la condizione fo= nel tutto della opminione catortà si ha:

= dydx, ɸ = 12J {(u2(eL) - u2(eL)) - ρ2(eL) (1 - x) - ɸ(et)12 (1 + x)} - ɸ = 1He {(u2(eL) - u1(eL)) - 12 (ɸ1(eL) + ϕ2(eL)) + 12 (ρ1(eL), ρ2(eL))}=O

dovendo essere vera per ogni &, si ha:

112 (p1(eL) +p2(eL))= ɸ1(eL) - ϕ2 (eL) = O da cui si deduce ⏡1(eL)⪱1(eL)

La cinematica dell’elemento si riduce ad un udi rigido.

lintera stnimma si ottanca canno strenellepco di diversi delermi, fmti, ed qui deueulo occurre pen h che Tende a ro so ucl upidi, seue deduce che la unmatica delli °tera selium caninie in soli mat rigidi.

Pentek sopofiikaa ale. ammua viela elv pem.au. lecditoiyu telastanza ne monument donis mèneuenuticanic e uon ete ma fe option dnondanum deplorckup

Come aitiare il lockup?

Per odvitie? t problem del locktup si cnadenieh el campi_EXPORTATION deli su-lospoitumorti

Si puntaure si cancillato le spepetle epicqpaniazione

σ = σ₁^(e) Φ₁(ζ) + σ₂^(e) Φ₂(ζ) + σ₃^(e) Φ₃(ζ)

φ = φ₁^(e) Φ₁(ζ) + φ₂ Φ₂(ζ)

X = (X_a Φ₁(ζ) + X₃ Φ₂(ζ))

Φ₁(ζ) = -1/2 (1 - ζ) Φ₂(ζ) = +1/2 (1 + ζ) Φ₃(ζ) = 1 - ζ²

d₁(ζ) = 1/2  Φ₂(ζ) = 1/2 ,  Φ₃(ζ) = -2ζ J = 1/2 he

In questo caso, la condizione di zero per h che tende a zero diventa:

γ = dU/ Jdζ - φ - 1/2 J (u₅^(e) - u₅^(e)) - 2/5 (u₅^(e)) - φ₁^(e) 1/2 (1 - z) - φ₂^(e) 1/2 (1 + ζ)= 1/he (u₂^(e) - u₅^(e)) - 1/2 (φ₂^(e) + φ₂^(e)) + 1/2 (φ₁^(e) φ₂^(e)) 8/ he u₃^(e)) ζ = 0 e quindi:

0 = 1/he (u₅^(e) - u₅^(e)) - 1/2 (φ₂^(e) + φ₂^(e)) Θ = φ₁^(e) - φ₂^(e) + 8/ he u₃^(e)

La soluzione del sistema non riduce la cinematica dell'elemento ad un moto rigido.

MAT03β: 3 = 1 x ^ 2,u = u₁ + φ₁ + u₂ + φ₃ 2 + u₃ x φ₃.

Scrivete lo sbilanciato: uno s.o.q. di equilibrio approssimati nei 4 parametri cinematici incogniti, i/o termini di natura auol.

Mi determina ū2

Per h >> ū2 tende ad un valore finito, qui la trave si continua a deformare(ū3 non rappresenta lo spostamento ma è un parametro interno dell’elemento. ū3 compare solo nell’equazione di equilibrio dell’elemento che sto considerando)

L’equ. di ū3 è un’equazione locale, quindi non ho senso condurre equa. che univoche al livello locale. Esegui una particolare

ū^e = (_ŪS) → _{PARENTI LIBERI PARENTI VINCOLATI} [_{Kuu kusksu kss}] (_ŪS) (_FuFs)_{parametri globali} {_{ū1 ū2 ū3 ū4 ū5}} _{Ф1 Ф2 Ф3 Ф4 Ф5}

Faccio un processo di CONDENSAZIONE STATICA:

KuuŪ + kus S = Fu ksuŪ + kss S = Fs => kss S = Fs - ksu Ū => S = kss^-1 (Fs - ksu Ū ) Le sostituisco nella 1^° equazione Kuu Ū + kus kss^-1 (Fs - ksu Ū ) = Fu Raccolgo i termini in cui c’è Ū [_{Kuu - kus kss^-1 ksu}] Ū = [_Fu - kus kss^-1Fs → * _{nuova matrice di rigidezza del trito condensato} k^* E^* = nuovo carico finale {_{Ū1 Ū2 Ū ^*} Ū5 } MATLAB & contrazione statica

estraggo la matrice di rigidezza. (Ricorda che kus = kur^T)

Applico la definizione di K* e calcolo gli autovalori e autovettori. I primi 2 sono nulli (perché solo rot rigide)

• 1° traslazione rigida
• 2° rotazione rigida
• 3° deformazione flessionale
• 4° deformazione tortionale

NON È AFFETTA DA LOCKING!

Problema assiale e flessionale

Nel problema assiale + problema flessionale avrò:

[    U₁    U₄    ψ₁    U₂    ψ₂]=    [    F₁    F₂    F₃    F₄    F₅    F₆]← eq assiale← eq flessionale← eq flessionale

ESERCIZIO ✱

Continuo...

% nd numero di nod nd = size (coord, 1); % ne numero degli elementi ne = size (elem, 1); % ndof numero di gradi di libertà per nodo ndof = 2; % mndof numero di gradi di libertà vincolari mndof=size(aust,1); % mdf numero di vincoli con forze mdf=size(frice,1); % mnot numero di storici mnot=size(mot,1); platea.m_plot la geometria della platea (le cui funzioni separate) % Matrice delle equazioni associate a GDL totali QQT=zeros(md,mdgf); % Matrice delle equazioni associate a GDL liberi QQ=zeros(md,mdgf); QQZ=zeros(md,mdgf); zoè calcola la matrice di rigore dell'elemento (le cui funzioni separate) % Ciclo sugli elementi per la valutazione delle singole matrici di rigidezza for e=1:memT=elem(e,mdt); [R,Le]=rzl(mdgef,mef,e,elem,coord); % matrice di rigore del singolo [ke, Fe]=stf.truss(Le,mt,mot); % dato funzione separate Kge=R'*ke*R; Fe=R'*Fe; Faccio cose sulle opere" " Inverte la matrice prima di e la moltiplica per il valore che segue esserci nodo verticale nodo 1 -> osl 5,12,13,14,8 nodo 2 -> osl 1,3,3,4 nodo 3 -> 6,7,8,10 senso sia corretto della ngf