Appunti di Teoria delle strutture - Parte 4 (problema flessionale di Timoshenko)

Stazionarietà e stabilità dell'equilibrio

Euer_tot = euer_irt + euer_cor + euer_viv; % Stazionarietà
eqnms = sym(zeros (1, mv));
for i = 1: mv
eqnms(i) = diff (euer_tot, um.ks(i));
end
sol = solve(eqnms);
vos = abs (u, sol')
Hos = -ET * diff (vos, z, z)
tos = diff (Hos, z)

Plottaggio e figure

Il plottaggio e le figure si possono copiare dall'esercizio precedente:
% Plottaggio2
o - linspace (g2*k, 40);
xxx = abs (vos, z, 2:6);
ROZ = abs (Hos, z, 2:6);
TOz = abs (Tos, z, 2:6);
figure (4)
hold on
set (xxx, 'yd', 1, 'eren', 1);
plot (tov, uzf, 1, 'b-.');
plot (ou2, uzf, 1, 'b-');
plot (zu2, uzc, 1, 'c:');
title (insidetext titolo 1)
grid on
figure (5)
figure (6)

Stabilità dell'equilibrio

22/03/2023
L'equilibrio è STABILE quando a partire da una configurazione iniziale di equilibrio e a seguito di una piccola perturbazione il sistema ritorna nella configurazione iniziale di equilibrio.
L'equilibrio è INSTABILE quando a seguito di una piccola perturbazione il sistema non ritorna nella configurazione iniziale.
L'equilibrio è INDIFFERENTE se a seguito di una piccola perturbazione il sistema arriva ad una nuova configurazione di equilibrio.

Sistemi ancora rigidi

Siano l'equilibrio della configurazione deformata e identificate de unaprop. Kp*F_1simp = 0 che genera la reactinem phi ^{Locelle Trede*}
F = FL = _sub φ
Equilibrio nella configurazione indeformata
euer_tot = euer_iniz + euer_cor + euer_vin; % Stabilizzazione
eqms = Sym(zeros (1,mv));
for i = 1: mv
eqms(i) = diff (euer_tot, yom.ks(i));
end
sol = solve(eqms);
vos = abs(vo, sol')
Hos = -ET * diff (vos, 2, 2)
Tos = diff (Hos, 2)

Plettaggio e figure

Il plettaggio e le figure si possono copiare dall'esercizio precedente.
% Plettaggio
o_limospec (g2*k ((o))
voo = abs (vos, 2, o5e1);
Roa = abs (Hos, 2, o5e1);
Tos2 = abs (Tos, 2, o5e1);
figura (4)
hold on;
set (gca, {'ydir'}, 'reverse');
plot (tau, voo, 'b-');
plot (tau2, vo2, 'b--');
plot (tau2, vo3, 'r x');
title {'Risposta eventi lungo y'}
grid on;
figura (5)
figura (6)

Stabilità dell'equilibrio

22/03/2023
L'equilibrio è STABILE quando a partire da una configurazione iniziale di equilibrio e a seguito di una piccola perturbazione il sistema ritorna nella configurazione iniziale di equilibrio.
L'equilibrio è INSTABILE quando a seguito di una piccola perturbazione il sistema non ritorna nella configurazione iniziale.
L'equilibrio è INDIFFERENTE se a seguito di una piccola perturbazione il sistema critica ad una nuova configurazione di equilibrio.

Sistemi ancora rigidi

Siano l'equilibrio nella configurazione definita consistente da unapos. F.
Lsp. = 0, lo sluggage della Troide
_F = FLk^φ = φ / simp^{yotta equilibrium}
Do una piccola perturbazione al sistema EQUILIBRIO NELLA CONFIGURAZIONE DEFORMATA
Questo problema ce l'ho solo quando l'asta è compresa? Perché:
φ = 0 φ=0 → EQUILIBRIO STABILE V/F ———→ EQUILIBRIO STABILE

Disegniamo la funzione f

• Se f≦1 ⇒ F≦K ⇒ l configurazione di equilibrio per φ=0
• Se f = FL/K ⇒ FL = K ⇒ F=K/L
• L'unica soluzione affine che f* = 1 è che φ=0 → PUNTO DI BIFURCAZIONE (CONICO CRITICO) f* SOLUZIONE DEL PROBLEMA DELL'EQUILIBRIO ELASTICO
• Se f≧1 ⇒ F≧K ⇒ Modera le possibili soluzioni sono 3.

Per coprire lo spettro delle configurazioni devo studiare l'energia potenziale totale:
Π(φ)=₁/₂ kρ² = FL (1-cosφ)
Imposto la stazionarietà:
_dΠ_dφ = kφ - FLsinφ = 0_φ = ^FL/_k − _φ^simp
La stazionarietà ci ridà l’equazione di equilibrio!

Studio la derivata seconda:
^d2;Π/_dφ² = k - FLcosφ
Se ^d2;Π/_dφ² > 0 → EQUILIBRIO STABILE (Trovo un punto di minimo della funzione Π)
Se ^d2;Π/_dφ² Se ^d2;Π/_dφ² = 0 → EQUILIBRIO INDIFFERENTE (Punto di sella di Π)
Se β = ^FL/_k ≤ 1 e φ = 0 → F_c carico critico → (FL^<k)^d2;Π/_dφ² = k - FLcosφ = k - FL > 0