Appunti di Principi di ingegneria elettrica - Parte XXXVIII

Appunti Principi di Ingegneria Elettrica:

Parte XXXVIII

Risposta in frequenza di un circuito sinusoide.

Cons. un circuito tempo invariante in regime permanente con un solo generatore ideale e consideriamo il tutto come un sistema ingresso->uscita, e(t) ingresso e v(t) uscita

v(t) e la risposta a regime del circuito al segnale e(t).

Proprio perche' storica fleure + generatori = ingressi.

e(t) = sum₁ⁿ k E_k cos(w_kt + phi_k)

somma finita di cosinusoidi a pulsazioni diverse.

Studiando separatamente ogni contributo v^k(t) e poi sommandoli cosi da estendere la sovrapposizione degli effetti:

v(t) = sum₁ⁿ k V_k cos(w_kt + phi_k)

N.B. nel dominio fasoriale devo trascrivere ogni singolo contributo, non posso sommare niente perche' se tengo acceso un generatore gli altri sono spenti.

Es w = w₁

E₁ = E₁ e^{j phi₁} V₁ = V₁ e^{-j phi₁}

→ V₁/E₁ = V₁/E₁ e^{j(phi₁ - phi₁)}

H(w) = V(w)/E

Funz. di trasferimento o di rete.

Attraverso di essa si descrive la risposta in frequenza del circuito.

F.s.: H(w) = V(w)/E = A(w) e^{j delta(w)}

Risposta in ampiezza

Risposta in fase.

Permette di caratterizzare il comp. in freq. del sist considerato.

ESSENDO LA FUNZIONE DI RETE COMPLESSA, NE POSSO STUDIARE MODULO E FASE, INIZIERE SE PARTI OLARIZZASSIVO IL TUTTO CIOE' CONSIDERASSI UN U1 :

|H(w1)| = |V1(w1)| / |E1| = V1 / E1 = A(w1)

t(H(w1)) = tV1 - tE1 = d(w1)

=> t1 - q1 = d(w1).

=> v(t) = sum v₁ A(wn) En(cos wn t + d(wn) + qn).

GRAFICAMENTE.

LE AMPIEZZE DI e(t), v(t) POSSONO ESSERE RAP. GRAFICAMENTE ATTRAVERSO UNA SEQUENZA DI SEGNALI VERTICALI DOVE LA LUNGHEZZA DI CIASCUN SEGMENTO E' UGUALE ALL' AMPIEZZA DELL' ARMONICA CORRISPONDENTE

SPETTRO DI AMPIEZZA DEL SEGNALE DI INGRESSO

A(w)

RISP. IN AMPIEZZA

SPETRO DI AMPIEZZA DEL SEGNALE IN USCITA.

Filtri passa-basso.

Con circuito RE serie.

e(t) = Em cos(ωt)φ = 0

H(ω) = Vc / Em

Usando il partitore di tensione:

Vc = E Zc(ω) / (ZR(ω) + Zc(ω)) = Em 1 / (1 + jωRC)

=> H(ω) = Vc(ω) / e = 1 / (1 + jωRC)

A(ω) = |H(ω)| = 1 / 1 + (ωRC)²

Banda passante

0 < ω < ω_3dB

Banda oscura.

ω > ω_3dB

Data una grandezza A, il corrispondente valore in decibel si definisce frequenza di taglio di frequenza per la quale la risposta vale 1 di suo valore massimo o equival. di -3dB.

A_dB = 20 log₁₀ A

P_dB = 10 log₁₀ P

P ∝ A²

A(ω_3dB) = 20 log₁₀ 1/2 = 10 log₁₀

ω → 0Zc → ∞Cond. circuito aperto.

ω → +∞Zc → 0Cond. corto circuito.

Componenti = ampiezze

ω_3dB = 1/π

La funzione funzione è quella di sopprimere tutte le componenti armoniche del segnale di ingresso ad alta frequenza, cioè tutte le componenti con pulsazioni maggiori si ha un'attenuazione di taglio, ωlim.

La pulsazione ω_3dB prende il nome di pulsazione di taglio bassa.

In corrispondenza di ω_3dB avrò una potenza dimezzata rispetto al suo valore iniziale.

La topologia del filtro passa-basso viene usata per la analisi, valori in uscita inalterati.

Il filtro passa-basso è un circuito RC serie.

FILTRO PASSA ALTO

ASSORBO I E COME GRANDEZZA IN USCITA DEL MIO CIRCUITO RC SERIE:

I = E / (Z_R + Z_C) = E / (R + 1/jwC) = E jwC / (1 + jwRC)

H(w) = OUt / IN ~= jwC / (1 + jwRC)

A(w) = |H(w)| = wC / _√(1 + (wRC)²)

w -> 0 A(w) -> 0

w -> ∞ A(w) -> 1/R

RICHIESTA DI BANDA RISPETTO A QUELLA FREQUENTE

PER VERIFICARE IL VALORE DI PULSAZIONE IN CORRISPONDENZA DEL QUALE L'AMPIEZZA SI RIDUCE DI 1/RISPETTO AL SUO VALORE DI 1/sqrt(2) MAX.

A(w_3dB) = 1/_√2 · 1/R = w_3dBC / _√(1 + (w_3dBRC)²)

2R²(e^jw_3dB)² = 1 + (w_3dBRC)²

R²e² w²_3dB = 1 => w_3dB = 1/RC

LA SUA FUNZIONE E QUELLA DI SOPPRIMERE TUTTE LE COMPONENTI A BASSA FREQUENZA DI UN SEGNALE UN PO' DI TIPO IN UNA PULSAZIONE DI TAGLIO CON 3DB