Appunti di Principi di ingegneria elettrica - Parte XXXV

Appunti Principi di Ingegneria Elettrica:

Parte XXXV

Bilancio energetico sul circuito risonante.

omega = omega_r = 1 / sqrt(LC)

I(omega_r) = Em / R

V_L(omega_r) = j Em / R sqrt(L / C)

V_e(omega_r) = - j Em / R sqrt(L / C)

V_R(omega_r) = Em.

P̂_e^(e)(omega_r) = 1/2 I* E = 1/2 Em² / R

Pot. complessa erogata dal generatore.

P̂_R^(a)(omega_r) = 1/2 I* V̄_R(omega_r) = 1/2 Em² / R = P̂_e^(e)(omega_r).

Pot. complessa assorbita dal resistore.

P̂_e^(a)(omega_r) = 1/2 I* V̄_e(omega_r) = - j Em² / (2R²) sqrt(L / C) = - j Q_e(omega_r)

Pot. complessa assorbita dal condensatore.

P̂_L^(a)(omega_r) = 1/2 I* V_L(omega_r) = j Em² / (2R²) sqrt(L / C) = j Q_L(omega_r)

Dalla conservazione delle potenze complesse si ha che tutta la potenza attiva erogata dal generatore viene assorbita dal solo resistore, mentre alla risonanza il condensatore e l'induttore si scambiano potenza reattiva (condensatore eroga pot. reattiva, l'induttore assorbe pot. reattiva).

Considerando l'energia degli elementi dinamici nel dominio del tempo.

v_C(t) = Em / R sqrt(L / C) sen(omega_rt), i_L(t) = Em / R cos(omega_rt)

Dati dalla rappresentazione del dominio fasoriale.

W_e(t) = 1/2 C v_C²(t) en. elettrica.

W_m(t) = 1/2 L i_L²(t) en. magnetica.

{

w_e(t) = 1/2 Ewm²/R² sen²(w_et)

w_m(t) = 1/2 Ewm²/R² cos²(w_et)

Se W_tot = 1/2 Ewm²/R²

{ w_e(t) = W_tot sen²(w_et) w_m(t) = W_tot cos²(w_et)

w_em(t) = w_e(t) + w_m(t) = W_tot

Energia elettromagnetica risulta essere costante, alla risonanza l'induttore ed il condensatore si scambiano energia elettrica.

Dal grafico e evidente questa conclusione

w_em = W_tot

L'induttore a t = 0 ha w_m massima, quindi w_e = 0. Poi t = pi/2 sqrt(LC)

w_m = 0 e il cond. ha w_e = max => l'energia dell'induttore viene assorbita dal condensatore e si scambiano energia

L' EN. ASSORBITA DAL RESISTORE IN UN GENERICO PERIOD

w_R [0,T] = Re { 1/2 V_R I_R* } T = 1/2 |V_R|²/R T = 1/2 E_em²/R T

CONSIDERIAMO IL RAPPORTO TRA w_R E w_em.

w_R/w_em = 1/2 E_em²RT / 1/2 R E_em² = e w_R² RT = e/2e RT = R T = R 2pi/w_r

= 2pi/Q con T = 2pi/w_r, Q = Lw_r/R

FATTORE DI QUALITA

Q = 2pi w_em/w_R

EQUIVALE A DIRE PER IL RAPPORTO TRA L' EN. IMMAGAZZINATA NEL TEMPO RISPETTO ALL' EN. ELETTRONICA ASSORBITA DAL RESISTORE IN UN PERIODO DATO NE CIRCUITO LC UT E L' EN. ASSORBITA IMMAGAZZINATA NEI BIORDI DINAMICI (INDUTT. E CONT.)

DAL RESISTORE IN UN PERIODO. SE COSI DESSESSI, INOLTRA LE TENSIONI DEL CONDENSATORE E DELL'INDUTTORE:

V_L = I_LZ_L = E_em/R jw w_rL

|V_L| = w w_rL E_em/R = Q E_em.

V_e = I_eZ_e = -j 1/(R w_rC)

POICHE w = 1/sqrt(LC), w² = 1/LC => wL = 1/wC

= -j E_em w_rL/R

|V_e| = E_em w_rL/R = Q E_em.

PIU IL FATTORE DI QUALITA E GRANDE, MAGGIORE SARA LA CADUTA DI TENSIONE SUI BIORDI DINAMICI; QUESTO SPIEGA CHE IL VALORE MASSIMO DELLE TENSIONI DEL CONDENSATORE E DELL'INDUTTORE PUO ESSERE PIU GRANDE DI QUELLO DELLA TENSIONE DEL GENERATORE.

SE NON FOSSE IN CASO DI RISONANZA E ANDREI A STUDIARE V_L(w) = Z_L I_L(w).

|V_L(w)| = |Z_L| |I_L(w)|

I_L(w) = E_em/Z_eq = E_em/(R + j(wL - 1/wC)) => V_L(w) = jwL E_em/(R + j(wL - 1/wC))

=> |V_L(w)| = wL E_em/sqrt(R² + (wL - 1/wC)²).

SE Q > 1, LA CURVA TENDE A STABILIZZARSI CON w PIU ALTO

w → +oo, |V_L(w)| → E_em

w → 0, |V_L(w)| = Q E_em.

CORRE CORRENTI DI RISONANZA.

|I(w)| = Eu / R / sqrt(R² + (wi - 1/wC)²) = Eu / R 1 / sqrt(1 + (w/wr - 1/(wR))²)

w_r = 1 / sqrt(LC) , Q = Cwr / R

= Eu / R 1 / sqrt(1 + (Qw/wr - 1/(wC R))²)

= Eu / R 1 / sqrt(1 + (Qw/wr - wrQ/w)²)

= Eu / R 1 / sqrt(1 + (Qw/wr - wrQ/w)²)

INTRODUCE UNA PULSIONE NORMALIZZATA Ω = w/wr.

= Eu / R 1 / sqrt(1 + Q²(Ω - 1/Ω)²)

SE Ω = 1 => STO IN CORR. DI RISONANZA. |I(wr)| = Eu / R

|I(w)| / |I(wr)| = 1 / sqrt(1 + Q²(Ω - 1/Ω)²)

CORRENTE NORMALIZZATA.

Tale espressione e' numericamente potente. Ω = 1, la curva avra' un max in corror = 1. e |I(w)| = |I(wr)|