Appunti di Principi di ingegneria elettrica - Parte XXXIV

Appunti Principi di Ingegneria Elettrica:

Parte XXXIV

ES

i(t) = -E0

j(t) = J0 cos(omega t + phi)

E0 = 2 V

J0 = V2 A

omega = 1 K rad/s

L = 1 mH

phi = pi/4

R1 = R2 = 1 - e

P1 = ? iL(t) = ?

e' spegnendo il gen. a rel. sinusoidali, essendo solo il gen. di tensione l'induttore diventa un corto circuito.

oss. subito iL' = - i2'

I3 comp. sono in parallelo, stessa tensione,

V1' = E0

V2' = -E0 opposto.

I1' = V1/R1 = E0/R1 = 2A

I2' = V2/R2 = -E0/R2 = -2A

iL' = 2A

P1' = 4W.

e'' passo dominio fasoriale, rileviamo solo ben sinusoidali:

J = J0 e^{i pi/4} = 1 + j.

dato che ZR1 e in parallelo con un corto circuito => v0 => I1'' = 0

iL'' = ZR2/(ZL + ZR2) J = 1.

→ iL''(t) = Re{I L e^{j omega t}} = cos(omega t)

P1'' = 0.

=> P1 = P1' + P1'' = 4W

iL(t) = iL'(t) + iL''(t) = iL + cos(omega t).

Elementi RLC e Risonanza.

RLC in serie.

e(t) = Em cos(we t), con BIR sosp a tempo invariabile.

Passando a dominio fasoriali

Z_R - Z_L - Z_e = Zeq = Z_R + Z_L + Z_C

I = Emu / (R + jwl + 1/jwC)

= Emu / (R + j(wl - 1/wC))

Risulta evidente che I e una funzione della pulsazione w e cio significa che a fissata ampiezza del generatore e possibile per variare la frequenza e quindi la pulsazione variare anche la corrente circolante nel circuito carettalmente vado a studiare la funzione I(w), con w in [0,+oo] poiche la pulsazione non puo essere negativa.

- Modulo: |I(w)| = Emu / sqrt(R² + (wl - 1/wC)²)

1) w -> 0⁺ |I(w)| -> 0

Dal punto di vista fisico sto analizzando frequenze molto basse cioe il generatore tende alla situazione di stazionarieta' poiche il periodo di I(w), idealmente va all oo; essa riesca essere una funzione costante, in tal caso il condensatore viene sostituito da un circuito aperto e il induttore da un cortocircuito -> I(w) = 0

w -> 0⁺ Zeq = Z_R + Z_L + Z_e -> oo poiche Xc -> oo

w -> oo Zeq = - - -> oo poiche Xl -> oo

VILEMERSA

2) w -> +oo | I(w) | -> 0

ASSE w ASINTOTO ORIZZONTALE

DA UN PUNTO DI VISTA FISICO, PER FREQUENZE MOLTO ALTE, I VALORI DI IMPEDENZA CHE DIPENDONO DA w, Z_c E Z_L VENGONO SOSTITUITI RISPETTIVAMENTE DA UN CORTOCIRCUITO E DA UN CIRCUITO APERTO. MA PER FREQUENZE MOLTO ALTE IL MODELLO CIRCUITALE AD UN CERTO PUNTO SI ROMPERA' PERCHE' TUTTI I FENOMENI PROPAGATIVI NON POSSONO ESSERE PIU' TRASCURABILI.

* MAX |I(w)|: PER MASSIMIZZARE LA MIA FUNZIONE RAZIONALE DEVO NECESSARIAMENTE MINIMIZZARE IL DENOMINATORE PERCHE' IL NUM. E' COSTANTE.

cosi,

R² + (wL - 1/(wC))²

IL DENOMINATORE RISULTA ESSERE UNA FUNZIONE COMPOSTA, LA FUNZIONE RADICE STRETTA MONOTONA CRESCENTE, LA FUNZIONE INTERNA ANCH'ESSA MONOTONA CRESCENTE, E' CIO' SIGNIFICA CHE SI PRESERVANO I PUNTI DI MINIMO POTREMO SIA GLI F. HANNO LO STESSO COMPORTAMENTO CRESCENTE.

RIFERIRE I MINIMI DELLA FUNZIONE RADICE EQUIVALE A TROVARE I MINIMI DELL'ARGOMENTO

min_w>0 (R² + (wL - 1/(wC))²) (=>) wL = 1/(wC) (=>) w = 1/sqrt(LC)

(=>) w = 1/sqrt(LC), PUNTO DI MAX DI |I(w)|, w_r = 1/sqrt(LC), DOVE SI CHIAMA LA FUNZIONE IN ARGOMENTO SI DETTO *

PIU' QUESTO

PULSAZIONE DI RISONANZA.

- QUANDO IL GENERATORE E' UGUALE ALLA PULSAZIONE DI RISONANZA, SI DICE CHE ESSO E' IN RISONANZA COL CIRCUITO.

- IN CONDIZIONI DI RISONANZA:

Z_R = R , Z_L(w_r) = jw_rL, Z_e(w_r) = - j/(w_rC)

Z_L = j sqrt(L/C)      Z_e = -j sqrt(L/C)

IMPORTANTE! PER RICONOSCERE CHE IN DIVERGENZA IN CORR. DI RISONANZA RISPETTO OPPOSTE.

=> LA SERIE TRA IL CONDENSATORE E INDUTTORE IN TALE CONDIZIONI SI COMPORTA COME UN CORTO CIRCUITO, CIOE' COME SE NEL CIRCUITO CI FOSSE SOLO LA RESISTENZA R.

CORRENTE IN RISONANZA: I(w_r) = E_m/R

* LA TENSIONE DEL CONDENSATORE

V_e(w_r) = Z_e(w_r) I(w_r) = -j (E_m/R) sqrt(L/C)

|V_e(w_r)| = (E_m/R) sqrt(L/C)

|V_e(w_r)|/E_m = (1/R) sqrt(L/C) > 0 ~ IN AMPIEZZA LA TENSIONE DEL CONDENSATORE PUO' ESSERE MAGGIORE DELL'AMPIEZZA DELLA TENSIONE ERGATA DAL GENERATORE.

Cioe' e' plausibile poiche' vogliamo rimanere le Hp del tuttiDi non amplificazione delle tensioni dato che stiamo trattandonon solo bipoli ai-dissipativi ma anche quelli dinamici.

• Fase di I(w)

∠ I(w) = ∠ Em - ∠ [R + j(ωL - 1/ωC)]= 0 - arctg((ωL - 1/ωC)/R)

∠ I(w) = - arctg((ωL - 1/ωC)/R)     ω > 0.

ω → 0⁺    ∠ I(w) = π/2ω → +∞    ∠ I(w) = -π/2

∠ I(ω_r) = 0