Appunti di Principi di ingegneria elettrica - Parte XXXI

Appunti Principi di Ingegneria Elettrica:

Parte XXXI

PASSANDO AL DOMINIO FASORIALE.

T = Iu e^-jphi1

V = Vu e^-jphi2

P^ = 1/2 V I^*

compresso complesso del valore corrente.

Pot. espressa associata dal generico bipolo in regime sinusoidale.

N.B. non vale la scomposizione degli effetti x la potenza espressa cosi per quella istantanea.

P = Re{1/2 V I^*} = Re{1/2 Vu e^-jphi2 Iu e^jphi1} = Re{1/2 VuIu e^(phi1-phi2)j}

Pot. media dissipata

Pot. attiva

= 1/2 Vu Iu cos(phi2-phi1) = 1/2 Vu Iu cos phi

equivale con quella nel dominio temporale

Q = Im{P^} = Im{1/2 Vu I^*} = 1/2 Vu Iu sen(phi2-phi1)

Volt. - amper. reattivo.

la pot. reattiva non ha alcun significato fisico a diff. pot. attiva.

=> P^ = P + jQ

POTENZA APPARENTE

Pa = |P^| = sqrt(P² + Q²) = 1/2 Vu Iu = 1 VA.

Pot. attiva (o media) dei bipoli elementari.

• Resistenza

i_R = I_m cos(omega t + phi) ↔ I_R = I_m e^jphi

V_R = R I_R = R I_m e^jphi

P̂ = 1/2 V_R I_R^* = 1/2 R I_m²

P = Re{P̂} = 1/2 R I_m², Q = Im{P̂} = 0

• Condensatore

Z_C = 1/(j omega e) = -j/(omega e) = j X_C

i_C = I_m e^jphi

V_C = Z_C I_C = -j/(omega e) I_C

P̂ = 1/2 V_C I_C^* = 1/2 I_m² (-j/(omega e))

P = Re{P̂} = 0, Q = Im{P̂} = -1/2 I_m²/(omega e)

~ cos. eroga pot. reattiva.

• Induttore

Z_L = j omega L

P̂ = 1/2 V_L I_L^* = 1/2 V_L(V_L/E_L^*)

= 1/2 |V_L|²/Z_L = 1/2 |V_L|²/(j omega L)

P = 0

Q = -1/2 |V_L|²/(omega L) > 0. ~ ind assorbe pot. reattiva.

e(t) = 2√2 cos(wt - pi/4)

w = 1 k rad/s.

R1 = R2 = 1 -2

C1 = C2 = 1 uF

L = 1 uH

INC Z_eq = ? i₂(t) = ? i₁(t) = ? P_t(t) = ?

Essendo in regime sinusoidale tutti i transitori sono nulli e quindi passare al dominio dei fasori.

N.B. Z_eq = E/I se pilotato in tensione

Z_eq = V/J se pilotato in corrente.

E = 2√2 · e^-jπ/4

Z_R1 = R1

Z_R2 = R2

Z_C1 = - j/(wC1)

Z_C2 = - j/(wC2)

Z_L = jwL

Z_eq⁽¹⁾ = Z_R2 - Z_L = R1 + jwL = 1 + j

Z_eq⁽²⁾ = Z_eq⁽¹⁾ // Z_C2 = ((R1 + jwL)(-j/(wC2)))/(R1 + jwL + -j/(wC2))

= -((1 + j)(-j))/(1 + j - j) = 1 - j.

Z_eq⁽³⁾ = Z_R1 - Z_C1 - Z_eq⁽²⁾ = 1 - j + 1 - j = 2(1 - j).

I₁ = E/Zeq = 1 <-> i₁(t) = Re {I e^jwt} = cos(wt)

I₂ = Zc₂/(Zeq² + Zc₂) · I₁ = - > i₂(t) = Re {I₂ e^jwt} =

= Re {e^-jpi/2 e^jwt} =

= cos(wt - pi/2) =

= sen(wt).

P_L = Re {1/2 V_R I^*} = 1/2 R|I|² = 0,5 W.