Appunti di Principi di ingegneria elettrica - Parte XXIX

Appunti Principi di Ingegneria Elettrica:

Parte XXIX

PROPRIETA' UNICITA' DELLA TRASFORMAZIONE FASORIA.

a₁(t) = a₂(t) <=> A₁ = A₂

cos DUE FUNZIONI SINUSOIDALI ESSE SONO UGUALI SSE E SOLTANTO SE SONO UGUALI I CORRISPONDENTI FASORI RAPPRESENTATIVI.

a₁(t) = A_m1 cos(wt + phi₁)

a₂(t) = A_m2 cos(wt + phi₂)

A₁ = A_m1 e^jphi₁

A₂ = A_m2 e^jphi₂

DIM

(<=) A₁ = A₂ moltiplicando per una stessa quantita' l'uguaglianza continua ad essere vera.

e^jwtA₁ = e^jwtA₂ <=> Re { e^jwtA₁ } = Re { e^jwtA₂ }

Im { e^jwtA₁ } = Im { e^jwtA₂ }

=> a₁(t) = a₂(t) per la regola di antitrasformazione

(>=) a₁(t) = a₂(t)

A_m1 cos(wt + phi₁) = A_m2 cos(wt + phi₂) Vt

Devo riuscire a dimostrare che A₁ = A₂ <=> { Re A₁ = Re A₂Im A₁ = Im A₂ }

cioe' { A_m1 cos phi₁ = A_m2 cos phi₂A_m1 sen phi₁ = A_m2 sen phi₂ } * Porre in equazione

Allora dato che 0 e' valida Vt allora scelgo dei valori istanti di tempo t = 0; A_m1 cos phi₁ = A_m2 cos phi₂

w t = -pi/2 P t = -1/4 => A_m1 cos(pi/2 - phi₁) = A_m2 cos(pi/2 - phi₂)

A_m1 sen phi₁ = A_m2 sen phi₂

e.v.d.

PR. LINEARITA TRASFORMAZIONE FASORIALE

a₁(t) = A_u1 cos(wt + phi₁) ↔ A₁ = A_u1 e^jphi₁

a₂(t) = A_u2 cos(wt + phi₂) ↔ A₂ = A_u2 e^jphi₂

d₁, d₂ ∈ R

LA TRASF. FASORIALE DELLE COMBINAZIONI LINEARI TRMITE I COEFFICIENTI REALI SARA' DATA COME COMBINAZIONE LINEARE DEI RISULTATI FASORI ASSOCIATI AD a₁(t), a₂(t)

_DIM

d₁ A₁ + d₂ A₂ ↔ d₁ a₁(t) + d₂ a₂(t)

principio la regola di additivita

Re { (d₁ A₁ + d₂ A₂) e^jwt } = Re { d₁ A₁ e^jwt + d₂ A₂ e^jwt } =

= Re (d₁ A₁ e^jwt) + Re (d₂ A₂ e^jwt) = d₁ Re(A₁ e^jwt) + d₂ Re(A₂ e^jwt)

= d₁ a₁(t) + d₂ a₂(t)

DERIVAZIONE

a(t) = A_u cos(wt + phi) ↔ A = A_u e^jphi

d a(t) / dt ↔ j w A

_DIM

d a(t) / dt = d/dt A_u cos(wt + phi) = - A_u w sin(wt + phi) =

= - A_u w cos(-pi/2 + (wt + phi)) ↔ - A_u w e^-jpi/2 e^jphi

= A_u w j e^jphi = jw A

METODO DEI FASORI

Σ (+/-) Uk = 0

Σ (+/-) Vk = 0

Σ (+/-) Ik = 0.

Σ (+/-) Vk = 0.

combinazioni lineari, ip sinusoidali ~ sinusoidali => teoremi di CCEP.

di = t al di fasori

=> le leggi di Kirchhoff vengono verificate anche dai fasori rappresentativi.

EQ. CARAT. DEI BIPOLI

i(t) = Im cos(wt+phi) ⇔ I = Im e^jphi

v(t) = Vm cos(wt+phi) ⇔ V = Vm e^jphi

Z (IMPEDENZA) = V / I

Y (AMMETTENZA) = I / V

v(t) = R i(t) ⇔ V = R I, Z = R, Y = 1 / R = G

i_c(t) = C dv(t) / dt ⇔ I_c = j w C V_c, Z_c = 1 / (j w C), Y = j w C

v_L(t) = L di / dt ⇔ V_L = L j w I_L, Z_L = j w L, Y = 1 / (j w L)

e(t) = Em cos(wt + phi) ⇔ E = Em e^jphi

j(t) = Jm cos(wt + phi) ⇔ J = Jm e^jphi

CONSIDERANDO UN CIRCUITO

C

Z_R = R

Z_C = 1 / j omega C

E = E_m

PASSANDO AL DOMINIO DEI FASORI

IL VANTAGGIO E' CHE PASSANDO AL DOMINIO FASORIALE NON HO PROBLEMI CON LA RICERCA DELLA SOLUZIONE DI REGIME PERCHE' NON E' PRESENTE IL SEGNO DI DERIVATA NELLA TENSIONE DEL CONDENSATORE.

=> V_C = Z_C / (Z_R + Z_C) E

PARTITORE DI TENSIONE.

N.B. = VALGONO TUTTE LE PROPRIETA' DEL DOMINIO DEL TEMPO.

V_C = 1 / j omega C · 1 / (R + 1 / j omega C) E_m = E_m / (j omega C R + 1)

ANTITRASFORMANDO, CI RIPORTIAMO NEL DOMINIO DEL TEMPO

v_C(t) = Re { V_C e^{j omega t} }

|V_C| = E_m / sqrt(1 + (omega C R)²)

X_VC = 0 - areg(omega CR)

V_C = |V_C| e^{j X}

=> V_C e^{j omega t} = |V_C| e^{j(omega t + X)t} =

= E_m / sqrt(1 + (omega C R)²) [cos(omega t - areg(omega CR)) - j sen(omega t - areg(omega CR))]

Re { V_C e^{j omega t} } = Re { |V_C| e^{j(omega t + X)t} } = E_m / sqrt(1 + (omega C R)²) cos(omega t - areg(omega CR))