Appunti di Principi di ingegneria elettrica - Parte XVI

Appunti Principi di Ingegneria Elettrica:

Parte XVI

CIRCUITO RC DEL I ORDINE

L'ORDINE DEL CIRCUITO DIPENDE DAL NUMERO DI BINOLI DINAMICI PRESENTI AL SUO INTERNO.

LKC. i_e = i_R = i_C

LKT e(t) = v_R(t) + v_e(t)

v_R(t) = i_R R

i_C(t) = C dv_e/dt

=> e(t) = R C dv_e/dt + v_e(t)

dv_e(t)/dt + v_e(t)/RC - e(t)/RC = 0.    PR. DI CAUCHY

e = e₀    v_e(t) = V₀.    COND. DI CONTORNO

EVOLUZIONE LIBERA.

Una particolare situazione in cui i generatori o sono spenti o sono assenti, e a diff. che nei bipoli A-DYNAMICI in questi dinamicali le tensioni e le intensita di corrente possono essere f.e. cio significa che l'energia immagazzinata all'istante iniziale nei bipoli conservativi produce le correnti del circuito.

Le condizioni iniziali sono diverse da zero!

d v_EE(t) / dt + v_EE(t) / RC = 0.

v_EE(t) = V₀

v_EE(t) = A e^-t/tau

tau = RC => [V/A * A/V = s = s] cos. di tempo

Per determinare l'unica soluzione che mi soddisfi la condizioni di costante.

v_EE(t₀) = A e^-t/tau |_t0 = V₀.

=> A = V₀ e^t0/tau

=> v_EE(t) = V₀ e^-(t-t0)/tau

Dal punto di vista fisico tau, da una misura all'intervallo. Di tempo necessario affinche il condensatore si scarichi.

W_e = 1/2 C v²(t₀) ev. min. nel comp. piu istante t₀ con t -> +oo essa si dissipa in R.

Escribo la retta t passante per V₀

w_l = d v_EE(t)/dt |_t=t0 = - V₀ / tau

v_EE(t) - V₀ = - V₀ / tau (t - t₀)

TALE RETTA n e in t≥ : v_c(t)=0.

⇒ γ = t - t₀. ~ DISTANZA TRA t₀ E t t = γ + t₀. PUNTO IN CUI SI ANNULLA v_c

⇒ v_c(t+t₀) = V₀/e ~ LA TENSIONE SI RIDUCE DI UN FFATTORE RISPETTO AL VALOREINIZIALE.

ANCHE SE IN PRINCIPIO IL CONDENSATORE SI SCARICA DOPO UN TEMPO t → +∞ IN REALTA' E' POSSIBILE DIRE CHE ESSO SI SCARICA DOPO COSTANTI DI TEMPO. IN PARTICOLARE DIRE CHE IL CONDENSATORE SI SCARICA SIGNIFICA DIRE CHE L'EN. IMMAGAZZINATA NEL CONDENSATORE PRIMA ISTANTANEAMENTE VIENE INTEGRALMENTE ASSORBITA DAL RESISTORE.

DIM

W_c(t₀) = 1/2 e V₀²

W_a[t₀,+∞] = ∫_t0^+∞ R i²(t) dt = ∫_t0^+∞ v_R²(t)/R dt = ∫_t0^+∞ v_c²(t)/R dt =

POICHE' v_c + v_R + v_e = 0. ⇒ v_R = -v_e.

= ∫_t0^+∞ V₀²/R e^{-2(t-t₀)/τ} dt = V₀²/R [ - τ/2 e^{-2(t-t₀)/τ} ]_t0^+∞ =

= 1/2 e V₀² che significa che il resistore ha assorbito tutta l'ener. immagazzinata dal cond. all'istante t₀.

EVOLUZIONE FORZATA.

SITUAZIONE IN QUI LE GRANDEZZE DI STATO DEL CIRCUITO SONO TUTTE NULLI (QUELLE DEI BIPOLI) E EN +M = 0, LE INT. E LE TRANS. DEL CIRCUITO VENGONO PROPRIE SONO DA CAPIRE DEI GENERATORI.

LA SOLUZIONE PARTICOLARE DELL'EQ. DIFFERENZIALE PERTINENTE ANDANDO NELLE, DOVRANNO ESEGUIRE LA FUNZIONE e^(?)(t).

L'INT. GENERALI DELLA SOLUZIONE FORZATA

v_p(t) = v₀(t) + v_p(t) = A e^-t/T + v_p(t)

v_p(t₀) = A e^-t₀/T + v_p(t₀) = 0.

A = -v_p(t₀) e^t₀/T

v_p(t) = -v_p(t₀) e^-(t-t₀)/T + v_p(t)

RIPORTANDO IL PROBLEMA DI CALCOLI PRECEDENTEMENTE TRATTATO.

dv(t)/dt + v(t)/RE = e(t)/RE

v(t₀) = V₀.

v(t) = v₀(t) + v_p(t) = A e^-t/T + v_p(t)

t = t₀.

v(t₀) = A e^-t₀/T + v_p(t₀) = V₀

A = [V₀ - v_p(t₀)] e^t_R

v(t) = [V₀ - v_p(t₀)] e^-(t-t₀)/T + v_p(t)