Appunti di Principi di ingegneria elettrica - Parte XIX

Appunti Principi di Ingegneria Elettrica:

Parte XIX

3)

MAGLIA FORMATA

CON UN LATO DEL

GRAFO

4)

OGNI INSIEME DI TAGLIO PUO' CONTENERE UN SOLO LATO DELL'ALBERO.

INSIEME TAGLIA FONDAMENTALE L'IM. INDIP BENE CON UN LATO DI GRAFO APPARTIENE AD UNA ED UNA SOLA MAGLIA DELL'INSIEME E QUINDI OGNI MAGLIA HA ALMENO UN LATO IN COMUNE DI CONSEGUENZA NON E' MAI POSSIBILE ESPRIMERE UNA QUALSIASI MAGLIA DI UN INSIEME FONDAMENTALE ATTRAVERSO L'UNIONE DI ALTRE MAGLIE DELLO STESSO INSIEME.

GRAFO PLANARE

SE PUO' ESSERE DISEGNATO SU UN PIANO SENZA CHE NESSUNA COPPIA DI LATI SI INTERSECHINO IN UN PUNTO CHE NON SIA UN NODO.

PLANARE.

NON PLANARE.

ANGOLO DI GRADO PLANARE = E UNA MAGLIA DI UN GRADO PLANARE CHE POSSI CONTENERE AL SUO INTERNO ALCUN CAMPO.

NON E' UN ANELLO

ANELLI.

MATRICE D'INCIDENZA - relazione di incidenza tra nodi e cat.

G(N,L) connesso, orientato

N = {1, ..., n}, L = {l₁, ..., l_e}

A_q = matrici n x e = A_q

Cons. l'elemento a_ij dove i indica la riga, j indica la colonna

• +1 caso j incide in i con verso uscente al nodo
• -1 caso j incide in i con verso entrante
• 0 caso j non incide in i

Es

Siccome con lato e connesso A_q per soli nodi, solo due elementi di ciascuna colonna della matrice di incidenza sono diversi da zero, +1, -1, ne segue che la somma di tutte le righe della matrice e la riga identicamente nulla.

0 = (0, ..., 0)

e cio' significa che A_q ha righe linearmente dipendenti, e il rango sara' minore < n.

La matrice di incidenza e importante soprattutto perche attraverso di essa e possibile scrivere le eq. di Kirchhoff per le correnti.

Cosi, c.e. pure.

LKC ai nodi

1. - i₁ + i₂ + i₆ = 0
2. i₁ + i₃ = 0
3. - i₂ - i₃ + i₅ = 0
4. - i₄ + i₅ - i₆ = 0.

Questo insieme di eq. puo essere scritto utilizzando il prodotto righe per colonne. A tal proposito introduciamo un vettore riga:

i̅ = (i₁, ..., i_e)^T

Il sist. di eq. puo essere scritto cosi:

A_a i̅ = 0

Si dimostra che per ogni si avra una indipendenza lineare per (n - 1) eq. di Kirchhoff.

Dim

P_l(i₁, ..., i_e) = 0      ∑_j^e a_ij · c_j = 0,      i = (1, ..., n - 1)

n-1 eq. c.n. ind. (=) L'unica combinazione possibile per avere il vettore nullo e quella in cui hanno tutti i coeff. nulli.