Appunti di Fisica - parte 1

FISICA

Capitolo 1 — introduzione ai metodi della sica

- a * 10^n Con 1≤ a<10

Notazione scienti ca

Serve per poter scrivere in modo chiaro numeri molto grandi e molto piccoli come massa di sole e elettrone

Permette di stabilire l’ordine di grandezza di un numero

- la potenza del dieci che approssima meglio quel numero

Ordine di grandezza

Es 4*10^6 ordine di grandezza 6

8*10^5 ordine di grandezza 6

c=299792458 m/s = 2,99792458 * 10^8 m/s = 3*10^8 m/s e l’ordine di grandezza è 8

Se 1 ≤ a<5 ordine di grandezza è n

Se 5 ≤ a<10 ordine di grandezza è n+1

- cifre che hanno signi cato in un numero

Cifre signi cative

La cifra più signi cativa è la prima che si trova diversa da 0 a partire da sx mentre la meno signi cativa è l’ultima che

si trova a dx anche pari a 0

Per scrivere un numero con meno cifre signi cative si utilizza la notazione scienti ca

- una proprietà di un oggetto o di un fenomeno che può essere misurata

Grandezza sica

La valutazione dei fenomeni deve essere oggettiva: chiunque la misuri deve poterlo fare nello stesso modo

Valutazione oggettiva, qualitativa e quantitativa

Ciò che non è misurabile non è scienza

Una grandezza sica possiede un’unità di misura (stabilita a livello internazionale)

Sono 3 elementi per descrivere una grandezza sica:

1. Valore numerico (modulo) 2. Unità di misura 3. Incertezza (errori)

Le grandezze siche si dividono in:

- fondamentali (misurate in modo diretto)

- derivate (misurate in modo indiretto mediante relazioni tra grandezze siche fondamentali)

- estensive dipende dalla quantità di materia presente (aumenta o diminuisce in proporzione alla dimensione del

campione)

- intensive non dipende dalla quantità di materia presente (sono caratterizzanti)

- scalari per essere de nite necessitano solo di modulo e u.m.

- vettoriali per essere de nite necessitano di modulo, direzione, verso e u.m.

Grandezze fondamentali:

Lunghezza (m) - massa (kg) - tempo (s) - temperatura (K) - intensità luminosa (Cd) - intensità di corrente (A) - quantità

di sostanza (mol)

Grandezze derivate:

Hanno unità di misura che derivano da quelle delle fondamentali coinvolte nelle relazioni che permettono di

misurarle

fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi

Es velocità Δs/Δt s(m)/t(s) quindi l’u.m. è m/s

Δ variazione nita

d variazione in nitesima

Ci sono grandezze siche derivate che hanno unità di misura a denominazione speciale

Es forza F=m*a= kg * m/s2= N (newton)

Es conversione da km/h a m/s si divide per 3,6 e viceversa da m/s a km/h si moltiplica per 3,6

Es grandezza estensiva massa mentre intensiva densità

Es grandezza scalare massa mentre vettoriale spostamento

Rappresentazione di un vettore: la retta indica la direzione, la freccia indica il verso, la lunghezza indica il modulo,

può essere applicato o meno

— permette di comprendere da quali grandezze deriva una grandezza derivata

Analisi dimensionale

Lunghezza [L]

Massa [M]

Temperatura [K]

Tempo [T]

Intensità luminosa [ J]

Intensità di corrente [ I ]

Quantità di sostanza [N]

Es s(t)= s0 + vt

[L]=[L] + [L][T]

[T]

La stessa grandezza sica a seconda dell’eq. in cui è inserita può essere una costante o una variabile, ci sono poi

grandezze che sono sempre costanti

— modo per tradurre in linguaggio matematico una relazione tra grandezze siche

Equazioni

Es y= f(x)

Es F = m*a scritta così non è corretta perchè contiene sia scalari che vettori. Un’equazione per essere corretta in primis deve essere

un’uguaglianza, sia in termini di unità di misura, sia in termini dimensionali

Questa equazione ci dice che:

- è una legge causa-effetto

- m è una costante di proporzionalità

- F e a sono direttamente proporzionali

— alla base delle leggi siche

Equazioni più comuni

- y=kx (proporzionalità diretta - lineare) - y=kx2 (proporzionalità quadratica)

- y=k/x2 (proporzionalità quadratica inversa) - y = a^x (esponenziale)

Es F = k v trovare l’u.m. di k : quindi u.m. di k= kg/s

—funzioni con variabile indipendente un angolo un angolo espresso in radianti (rad)

Funzioni trigonometriche

— ciascuna delle due parti in cui viene diviso un piano da due semirette incidenti

Angolo

I radianti sono adimensionali in quanto de niti dal rapporto tra due lunghezze

(arco sotteso all’angolo e raggio della crf con centro nel punti di incidenza delle

semirette)

fi fi fi fi fi fi fi

Equazione di conversione tra radianti e gradi: αg : αrad = 360 : 2π

Se considero i rapporti:

1) yp/OP = sen α

2) xp/OP = cos α

Noto che questi rapporti dipendono solo dall’angolo α (inclinazione della retta) non dalla posizione del punto

considerato

Considero ora una crf goniometrica (centro nell’origine del SR e raggio unitario:

si possono descrivere le due funzioni come:

- sen α = yp

- cos α = xp — funzione periodica (di periodo 2π) limitata (-1<senα<1)

Sen α — funzione periodica (di periodo 2π) limitata (-1<cosα<1)

Cos α

Stesso grafico traslato di π/2

Prima relazione fondamentale della trigonometria: (cos α)^2 + (sen α)^2 = 1

— funzione periodica (di periodo π) illimitata ma con dominio R\ (π/2 + kπ)

Tan α

Seconda relazione fondamentale della trigonometria : tan α = sen α/cos α

— descrive l’andamento di una funzione nel tempo (velocità di variazione

Derivata di una grandezza sica)

è il coef ciente angolare della retta tangente al gra co in un punto

Es controllo plasmatico di un farmaco gra co normale e in base alla via di somministrazione

— area sottesa al gra co di una funzione (numero)

Integrale de nito

Es usato per calcolare l’effetto totale del farmaco sul paziente

— processo inverso alla derivazione (da una funzione si ricava la primitiva o la famiglia di

Integrale inde nito

funzioni da cui deriva)

— rappresentazione gra ca delle grandezze vettoriali

Vettori

Sono detti:

- concordi se hanno stesso verso e direzione

- opposti se hanno stessa direzione ma verso opposto

- uguali ma opposti se hanno stesso modulo, direzione ma verso opposto

— vettore di modulo unitario (serve solamente per indicare direzione e verso)

Versore

Operazioni con i vettori:

- somma: regola del parallelogramma/metodo punta-coda e modulo dato dal teorema di

Carnot |c|= √ a2 + b2 + 2ab cos α

- differenza: faccio la somma tra un vettore e l’opposto dell’altro (vedi regole somma). La somma è la diagonale

maggiore del parallelogramma, la differenza è la minore e il moduli lo si calcola con la seguente formula

|c|= √ a2 + b2 - 2ab cos α

Somma e differenza si possono effettuare anche tramite le componenti del vettore

fi fi fi fi fi fi fi fi

- prodotto tra scalare e vettore:

Se lo scalare è positivo risulterà un vettore con direzione e verso pari a quella del vettore e modulo pari al prodotto

tra modulo del vettore e lo scalare

Se lo scalare è negativo risulterà un vettore con direzione pari a quella del vettore, verso opposto e modulo pari al

prodotto tra modulo del vettore e lo scalare

- prodotto vettoriale (x) : risultato è un vettore —> modulo : ab* sen α

direzione : perpendicolare al piano dei due vettori

verso : regola mano dx

(se i vettori sono concordi il risultato è 0)

(se i vettori sono perpendicolari il risultato è max)

(se i vettori sono opposti il risultato è 0)

- prodotto scalare (•) : risultato è uno scalare —> ab*cos α (se i vettori sono perpendicolari il risultato è 0)

(se i vettori sono concordi il risultato è max)

(se i vettori sono opposti il risultato è min)

- componenti di un vettore : ax = a cos α

ay = a sin α

Capitolo 2 — meccanica

La meccanica si divide in dinamica (studio del perchè si muovono i corpi) e cinematica (studio del movimento dei

corpi). — studio del moto del punto materiale

Cinematica — corpo adimensionale

Punto materiale — individua la posizione del punto materiale all’interno del SR ( s )

Vettore posizione — differenza tra vettore posizione iniziale e vettore posizione nale (Δs)

Vettore spostamento

Spostamento (differenza tra posizione finale e iniziale) ≠ distanza (distanza percorsa tra posizione finale e iniziale)

Si misura in metri (m)

— rapidità con cui varia la posizione del punto nel tempo

Velocità

Velocità media utilizza una variazione nita mentre la velocità istantanea utilizza uno spostamento in nitesimo (ne

faccio il limite per t che tende a 0)

Unità di misura m/s

— rapidità con cui varia la velocità del punto materiale nel tempo .

Accelerazione

Accelerazione media utilizza una variazione nita mentre l’accelerazione istantanea utilizza una variazione di

velocità in nitesima (ne faccio il limite per t che tende a 0)

Unità di misura m/s2

— successione delle posizioni occupate dal punto nel SR (concetto geometrico)

Traiettoria — come varia la posizione al variare del tempo (relazione matematica)

Legge oraria

Es. s(t) = s0 + vt (unidimensionali avvengono in un’unica direzione che è una retta):

Moti rettilinei

1. Moto rettilineo uniforme

Rettilineo —> traiettoria che segue il corpo è una retta

Uniforme —> velocità è costante (v=cost)

—> s(t) = s0 + vt

Legge oraria

fi fi fi fi fi

v coef ciente angolare della retta (se è negativa è perché il corpo si muove con velocità in direzione opposta a quella

della retta presa come positiva nel sistema di riferimento).

2. Moto rettilineo uniformemente accelerato

Rettilineo —> traiettoria che segue il corpo è una retta

Uniformemente accelerato —> accelerazione è costante (a=cost)

—> s(t) = so + v0t + 1/2at^2

Legge oraria

v in funzione di t —> v(t) = v0 + at

Nell’equazione della velocità al variare del tempo a è il coef ciente angolare della retta, se è negativa signi ca che il

corpo sta decelerando, cosi come se la parabola ha concavità verso il basso.

Risolvendo il sistema di due equazioni si può ricavare come varia lo spostamento al variare della velocità:

s(t) = s0 + ( v2 - v0^2 / 2a )

Caduta libera di un corpo

Un corpo in caduta libera si muove di MRUA: tutti i corpi essendo sulla terra sono soggetti all’accelerazione di gravità

g = 9,8 m/s2 perpendicolare alla super cie della terra e diretta verso il centro della terra.

1. Fisso il sistema di riferimento così per convenzione

2. Se lo pongo cosi la direzione positiva è quella verso l’alto quindi l’accelerazione sarà negativa (-g)

3. So che s0=h

Se v0=0 (corpo inizialmente fermo) —> s(t) = h - 1/2gt^2

v(t) = -gt

Se vo≠0 (corpo lanciato verso il basso) —> s(t) = h - v0t -1/2gt^2

v(t) = - v0 - gt

Se vo≠0 (corpo lanciato verso l’alto da un’altezza h) —> s(t) = h + v0t -1/2gt^2

v(t) = v0 - gt

So che quando raggiunge l’altezza massima il corpo si ferma (v=0) —> tmax = v0/g

hmax = h + (v0^2/2g)

Es 1 un’auto parte da ferma e raggiunge i 100 km/h accelerando con a=4,2 m/s2. Quanto tempo impiega per raggiungere la velocità

nale e lo spazio percorso ?

Il corpo si muove di MRUA con v0=0 _ vf=100 km/h = 27,8 m/s _ a = 4,2 m/s2

s(t) = 0 + 0 + 1/2at^2 —> s=1/2at2 ricavo s —> s=0,5*4,2*6,61*6,61=91,75 m

vf = 0 + at —> vf=at ricavo t —> t=100/(3,6*4,2)=6,61 s

Es 2 il macchinista di un treno che viaggia a 80 km/h (v0) vede un ostacolo sui binari a 250m di distanza. Da quando inizia a frenare

con un ritardo di 1,5s (tempo di reazione) il treno decelera uniformemente con un’accelerazione pari a 1,4 m/s. Riesce a evitare l’ostacolo ?

v0=80 km/h=22,2m/s

Tra 0 e s1 si muove di MRU co v=22,2 m/s

Tra s1 e 250 si muove di MRUA con v0=80 km/h=22,2m/s e a=1,4m/s2

s1=0 + vtr —> s1=vtr ricavo s1 —> s1= 22,2*1,5=33,3 m

s = s1 + v0t+ 1/2at^2 —> ricavo s —> s=33,3+(22,2*15,86)-(0,5*1,4*15,86*15,86)=209,314 m

0 = v0 + at —> v0=- at ricavo t —> t= 22,2/1,4=15,857 s

Riesce a evitare l’ostacolo perchè frena a 209m a circa 40m dall’ostacolo

fi fi fi fi fi

Es 3 un corpo viene lanciato verticalmente con una velocità iniziale di 30m/s. In quanto tempo raggiunge la massima altezza ? Quanto

vale la massima altezza ?

v(t)=v0 + at —> 0=30-gt ricavo t —> t=30/9,81=3,0581 s

s(t)= 0 + v0t -1/2gt2 ricavo s —> s=30*3-0,5*9,81*9=45,86 m

(bidimensionali)

Moti nel piano

1. Moto parabolico

Parabolico —> la traiettoria che segue il corpo lanciato è una parabola

Considero il moto scomposto nelle due direzioni del piano:

Asse x —> il corpo si muove di MRU con v0x costante in tutto il moto

Asse y —> il corpo si muove di MRUA (è soggetto all’accelerazione di gravità negativa rispetto al sistema di

riferimento)

Scrivo le dei due moti:

leggi orarie

x : sx = s0x + v0x*t con v0x= v0 cos α

y : sy = s0y + v0y*t -1/2gt^2 con v0y= v0 sen α

vy = v0y -gt

Per calcolare l’altezza massima del moto (quando vy=0) calcolo prima il tempo e poi l’altezza:

tmax = v0y/g

hmax = s0y + v0y^2 / 2g = s0y + v0^2 sen^2 α /2g

Per veri care che la traiettoria che compie il mio corpo è una parabola devo ricordare che la traiettoria è sy (sx)

quindi devo eliminare il tempo:

t = sx-s0x/vox

sy = s0y + v0y/v0x * (sx-s0x) - g (sx-s0x)^2/2v0x^2 —> equazione di una parabola con concavità verso il basso

— distanza tra il punto di inizio del moto e il punto in cui il corpo ritorna al suolo

Gittata

Intersezioni con l’asse x cioè y=0 —> sy=0 —> s0y + v0y/v0x * (sx-s0x) - g (sx-s0x)^2/2v0x^2=0

Nel caso in cui il moto parta da terra il calcolo della gittata si semplifica e si ottiene che G (sx) = 2 v0y v0x /g

La gittata in questo caso si può anche scrivere come G= v0^2 sen 2α / g cosi da comprendere che la gittata è

massima quando il seno di 2α è massimo quindi pari a 1 cioè è massima quando l’angolo di lancio è 45°.

2. Moto circolare uniforme

Circolare —> la traiettoria che segue il corpo è una circonferenza

Uniforme —> la velocità è costante in modulo

Direzione e verso cambiano in ogni punto perché la velocità è sempre tangente alla traiettoria quindi è presente

un’accelerazione detta accelerazione centripeta anch’essa costante in modulo ma varia direzione e verso in ogni

punto.

È un moto periodico :

— tempo che impiega il corpo a compiere un giro della crf (s)

Periodo T — numero di giri compiuti nell’unità di tempo (si misura in Herz Hz=giri/s)

Frequenza f

Frequenza e periodo sono un il reciproco dell’altro: f = 1/T

Es se T=5s la frequenza sarà uguale a f=1/T=1/5=0,2 Hz

fi — velocità che impiega a compiere il giro — v = 2πr/T = 2πrf

Velocità tangenziale v

— velocità che impiega a spazzare un angolo — ω = 2π/T= 2πf

Velocità angolare ω

Relazione tra v e ω —> v = ωr

Accelerazione centripeta è sempre diretta verso il centro della crf e perpendicolare alla velocità tangenziale

Accelerazione centripeta —> ac = v2/r = ω2 r

—> θ= θ0 + ωt

Legge oraria

3. Moto armonico semplice

- Moto di un punto che oscilla continuamente su una retta tra due punti ssi equamente distanziati dall’origine del

moto

- La proiezione sull’asse x del moto di un punto che si muove su una crf si muove di moto armonico

- Moto circolare rappresentato su una retta

—> s(t) = A sin (ωt)

Legge oraria

— costante del moto ed è la massima distanza dal centro

A — pulsazione (rapidità con cui il ciclo si ripete) ed è costante

ω

È una funzione sinusoidale al variare del tempo

Per ottenere la velocità devo fare la derivata dello spazio rispetto al tempo: v=ds/dt= d(A sin (ωt))/dt

v(t) = Aω cos (ωt) questo implica che quando lo spostamento è 0 (centro del moto) la velocità è massima, mentre agli

estremi (massimo spostamento) la velocità è nulla

Per ottenere l’accelerazione devo fare la derivata della velocità rispetto al tempo: a=dv/dt= d(Aω cos (ωt))/dt

a(t) = -Aω2 sin (ωt) = - ω2 s è proporzionale allo spostamento con ω2 come costante di proporzionalità ma opposta

— studio dei corpi in relazione alle cause che producono il moto

Dinamica

Un corpo si muove perchè c’è una forza che agisce su di esso

— azione che agisce su un punto materiale per modi carne lo stato

Forza

È una grandezza vettoriale (modulo, direzione e verso)

Principi della dinamica:

— affermazione che non ha bisogno di essere dimostrata, presa per vera. Non può essere conseguenza o

Principio

caso particolare di un altro principio e devono essere il meno possibile.

(principio di inerzia) — un corpo non soggetto a nessuna interazione permane

Primo principio della dinamica

ne suo stato di quiete

Se su un corpo non agisce nessuna interazione questo corpo rimane nel suo stato di quiete: se è fermo rimane fermo

se è in moto si muove di moto rettilineo uniforme con velocità costante

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