Appunti Fisica 1 - parte 2

1° cardinale corpi estesi

Q̅ = ∑_i q_i̅ = ∑_i m_i v_i(t) = ∑_i m_i r̅_i(t) == ^d/_dt(m₁ r̅₁(t) + m₂ r̅₂(t) + ...) == ^d/_dt ∑_i m_i r̅_i(t) = ^d/_dt (M_TOT · r̅_CM) = M_TOT · V̅_CM

Dalla 1° cardinale segue una legge di conservazione molto importante secondo la quale se la sommatoria delle forze esterne di un sistema di punti materiali è nulla allora la quantità di moto totale Q̅ del sistema si conserva.

Es. sono ferme Q̅ = 0 poiché v = 0.

Il centro di massa resta fermo quindi la velocità del C.M = 0 quindi la quantità di moto = costante = 0.

^d/_dt Q̅ = ∑_i F̅_i^ext

1° cardinale corpi estesi

Q̅ = ∑_i q̅_i = ∑_i m_i v̅_i(t) = ∑_i m_i r̅'_i(t) == d/dt (m₁ r̅'₁(t) + m₂ r̅'₂(t) + …) == d/dt ∑_i m_i r̅'_i(t) = d/dt (M_TOTr̅'_CM) = M_TOTv̅_CM

Dalla 1° cardinale segue una legge di conservazione molto importante secondo la quale se la sommatoria delle forze esterne di un sistema di punti materiali è nulla allora la quantità di moto totale Q̅ del sistema si conserva.

Es. sono ferme Q̅ = 0 poiché v = 0.

Il centro di massa resta fermo quindi la velocità del C.M = 0 quindi la quantità di moto = costante = 0.

d/dt Q̅ = ∑_i F̅_i^ext

Momento angolare

Momento della quantità di moto rispetto al centro di rid. O

|M| = |mv| · |P-O| · senα

Con direzione e verso di M entrante.

sen α = sen(π-α) = sen β ⇒ |M| = |mv| · |P-O| · sen β

Ma |P-O| · sen(β) = b ⇒ |M| = |mv| · b

Momento angolare di un corpo rigido

Es.

Il fatto che Ko sia risultato ≠0 per un disco in rotazione mi fa capire che il momento angolare è la grandezza fisica che mi dà informazioni riguardo la rotazione dei corpi con massa.

Il cardinale corpi estesi

d_ko/dt = d/dt( Σ_i (Pi-O) x m_iv_i) == Σ_i (Vi-V_o) x m_iV_i + Σ_i(Pi-O) x m_ia_i == Σ_i Vi x m_iV_i - Σ_i V_o x m_iV_i + Σ_i (Pi-O) x m_ia_i == -V_o x Σ_i m_iV_i + Σ_i (Pi-O) x F_i = = -V_o x Σ_i m_iV_i + Σ_i (Pi-O) x F_i^ext = Σ_i (Pi-O) . F_i^int = 0

II° cardinale esteso

d_ko/dt = -V_o x M_TOT . V_CM + Σ_i (Pi-O) x F_i^ext

La forma semplificata della II° cardinale si ha quando scelgo O fisso oppure O ≡ C.M.

• Se O è fisso → V_o = 0 → -V_o x M_TOT . V_CM = 0
• Se O ≡ C.M. → Anche se V_CM ≠ 0 → -V_CM x M_TOT . V_CM = 0

d_ko/dt = M^ext

II° cardinale semplificata

Riassunto Eq. cardinali

I° cardinale corpi estesi

M_tot. ȧ_CM = dQ/dt = ∑ F_i^ext

Se il sistema è isolato, ossia F^ext = 0

Conservazione quantità di moto

dQ/dt = 0 ossia Q si conserva.

II° cardinale forma semplificata

dK_CR/dt = ∑ M_i^ext

Nel caso in cui CR è fisso o coincide con il centro di massa.

Il momento angolare di un sistema cambia a causa delle forze esterne.

Se ∑ M_i^ext = 0 => dK/dt = 0 => K_CR è costante

Conservazione momento angolare

∑ M_i^peso = ∑ [(P_i - CR) × (-m_i g ŷ_y)] = - ∑ m_i(P_i - CR) × g ŷ_y == - [∑ m_i