Appunti di Fisica 1

Lavoro - potenza - energia

Compiere un lavoro significa realizzare un processo che si svolge nel tempo ed implica un moto.

E una quantita scalare e alla forza e allo spostamento

Lavoro per unita di tempo - rapidita con cui il lavoro viene erogato

Pmed = DeltaW / Deltat = Delta s / Delta t . F = F . vmed Pist = F . vist

W = F . s

Vale solo se si spinge l'oggetto esattamente nella direzione in cui si muove.

W = F . Delta s . cos theta

Tre casi fondamentali:

1. theta < 90 = > W > 0
2. theta > 90 = > W < 0
3. theta = 90 = > W = 0

Energia cinetica

E legata alla variazione di velocita o mezzo al movimento.

Il lavoro e strettamente legato all'energia cinetica

E = 1/2 mv²

Teorema dell'energia cinetica o delle forze vive

Il lavoro compiuto dalla risultante delle forze nello spostamento di un punto materiale dalla posizione A alla posizione B e uguale alla variazione dell'energia cinetica del punto materiale stesso

Ltot = DeltaE

Lavoro della forza peso

Consideriamo un S.D.R. nelle tre dimensioni, un punto materiale compie una traiettoria che va da A a B, supponiamo che agisca una generica forza, che faccia muovere il nostro sistema.

Quello che ci interessa e il lavoro compiuto dalla forza peso, quello che conviene fare e spezzettare la traiettoria in tanti mini percorsi (infinitesimi)

dL = p . ds = P ds cos alpha

P = P_xi + P_yj + P_zk = P_zdz

L_A,B = integral from A to B (P_zdz) = -mg integral from A to B dz = -mg[(z_B-z_A)] = mg(z_A-z_B)

1. se z_A = z_B W = 0
2. se z_A > z_B W > 0
3. se z_B > z_A W < 0

Forza di attrito viscoso

Qui abbiamo un oggetto che subisce 2 forze in competizione: una lo spinge e l'altra lo frena (l'attrito viscoso). E' il classico caso di un corpo che cade in un fluido.

L'attrito in un fluido dipende dalla velocita; la forza di attrito e definita come F = -bV, (con b costante che dipende dalla forma dell'oggetto e dalla densita del fluido.

Usando la seconda legge di Newton, si ottiene -bV = ma, isolando la a si ottiene => a = -(b/m)V

k = b/m a = -kV

Non esiste equilibrio statico. Se l'oggetto e fermo la forza di attrito viscoso e zero.

Esempio sfera di massa m che cade verticalmente in un liquido

La forza peso spinge verso il basso per accelerare la sferetta P = mg

La forza di attrito viscoso: spinge verso l'alto per frenarla F_att,vis = -mkV

mg - mkV = m dv/dt

g - kV = dv/dt => v(t) = g/k (1 - e^-kt)

t = 0 => V = 0 => attrito = 0

mano mano che la velocita aumenta, aumenta anche la forza frenante dell'attrito, l'accelerazione comincia a diminuire. Per t -> oo v_lim = g/k

V e a in funzione della posizione

come trovare la relazione tra velocita, accelerazione e posizione senza dover per forza conoscere il tempo o la legge oraria

1) Sappiamo che l'accelerazione e la derivata della velocita rispetto al tempo:

a = dv/dt tuttavia, se consideriamo la velocita non solo in funzione del tempo, ma in funzione della posizione in cui si trova il corpo (v(x)), si puo usare la regola di derivazione delle funzioni composte: a = dv/dt = dv/dx * dx/dt, ma dx/dt = v => a = dv/dx * v =>

=> a dx = v dv, integrando abbiamo ^x_x0 a(x)dx = ^v_v0 vdv => ^x_x0 a(x)dx = 1/2 v² - 1/2 v₀² -> questa formula permette di calcolare quanto varia il modulo della velocita lungo un certo percorso se si conosce l'accelerazione in funzione della posizione.

Caso A: uniformemente accelerato a(x)=a)

1/2 v² - 1/2 v₀² = a ∫_x0^x dx = a(x - x₀) => 1/2 v² - 1/2 v₀² = a(x - x₀)

v² - v₀² = 2a(x - x₀) => v² = 2a(x - x₀) + v₀²

Equazione di Torricelli.

Caso B Moto armonico semplice

In questo caso l'accelerazione e' proporzionale e opposta allo spostamento a(x)=-w²x

1/2 v² - 1/2 v₀² = ∫_x0^x -w² dx = -w²[1/2 x²]_x0^x = -1/2 w²(x²-x₀²) = 1/2 w²(x₀²-x²)

Se consideriamo come punto di partenza la posizione di equilibrio x₀=0, in quel punto la velocita' e' massima, ovvero v₀=wA => v²=w²(A²-x²)

Caso C Moto smorzato esponenzialmente.

a=-Kv

a dx = v dv     -Kv dx = v dv     -Kd x = dv     integrando ∫_x0^x -K dx = ∫_v0^v dv => -K(x-x₀) = v-v₀ => v = v₀ - K(x-x₀)

Impulso di una forza

F = dp/dt

Si dice che la forza applicata e' uguale alla rapidita' con cui cambia la quantita' di moto (p=mv) nel tempo

Se moltiplichiamo entrambi i membri per l'intervallo di tempo infinitesimo dt, otteniamo

dp = Fdt, se moltiplichiamo la forza per un istante piccolissimo dt, si avra' una piccolissima variazione della quantita' di moto dp.

Le definizione di impulso (J)

Per sapere l'effetto totale di una forza per un intervallo di tempo piu' lungo, bisogna sommare tutti questi piccoli contributi infinitesimi.

J = ∫₀^t Fdt => grandezza vettoriale J, e' l'impulso di una forza (N.s)

Teorema dell' impulso

Se integriamo la parte di dp, si arriva al teorema dell'impulso

∫_p0^p dp = p - p₀ = Δp     quindi J = Δp

Se il teorema afferma che l'impulso totale applicato a un corpo e' uguale alla variazione della sua quantita' di moto. Se la massa = cost, si puo' scrivere:

J = m(v - v₀) = mΔv

Forza media = dp/dt

Moto circolare

Per semplificare lo studio, e' conveniente passare da un sistema di coordinate cartesiane, a un sistema di coordinate polari (p,θ)

p (raggio vettore): e' la distanza del punto dall'origine, cioe' R, dunque p = R

θ (angolo): e' l'angolo che il raggio vettore forma con l'asse x. Questa cambia nel tempo θ = θ(t)

Abbiamo trasformato un problema bidimensionale in un problema monodimensionale.

Velocita e accelerazione angolare

La velocita angolare ci dice quanto velocemente il nostro punto percorre un certo angolo.

Media: Se in un intervallo di tempo Δt percorro un angolo Δθ, la velocita angolare media sara:

w = Δθ / Δt

Istantanea in fisica per sapere cosa succede in un istante esatto si fa il lim Δt -> 0. La velocita angolare istantanea e' la derivata della posizione angolare rispetto al tempo w = dθ/dt (rad s^-1)

L'accelerazione angolare e' la derivata seconda della velocita angolare a = dw/dt = d²θ/dt²

Leggi orarie

Caso A Moto circolare uniforme => a(t)=0, di conseguenza, la velocita angolare e' costante w(t)=w₀. Se integriamo w₀ rispetto al tempo, otteniamo l'equazione della retta per la posizione angolare: θ(t)=θ₀ + w₀(t-t₀)

Periodo (T): tempo per fare un giro completo (2π radianti) T = 2π / w₀

Frequenza (v): quanti giri faccio in un secondo v = 1/T

Caso B Moto circolare uniformemente accelerato => a(t) = a cost. integrando si ottiene la velocita w(t)=w₀ + a₀Δt integrando ancora troviamo la posizione θ(t)=θ₀ + w₀(t-t₀) + 1/2 a(t-t₀)²

Nel moto circolare uniforme la velocita angolare e' costante. Il modulo della velocita tangenziale v e' anch'esso costante e vale v = wR

Tuttavia il moto circolare e' accelerato perche' l'accelerazione punta sempre verso il centro della circonferenza e si chiama accelerazione centripeta (a_c) => a_c = w²R = v²/R

Se imponiamo il nostro circolare uniforme θ(t)=θ₀+wt e ci proietto sugli assi cartesiani, si ottengo

x(t) = Rcos(θ₀+wt)     y(t) = Rsen(θ₀+wt)

Dunque le due equazioni ci dicono semplicemente che un moto circolare uniforme non e' altro che la combinazione di due moti armonici identici sfasati di π/2

Moto circolare non uniforme

• Il raggio R e costante, ma la velocita v e la velocita angolare non lo sono
• I a_t != 0
• ∃ a_c => a = v²/R

Momento angolare

Momento angolare rappresenta la quantita di moto rotazionale di un oggetto, descrive quanto e difficile fermare la rotazione di un punto materiale rispetto a un polo O.

E' il prodotto vettoriale tra il vettore posizione r e il vettore quantita di moto p L = r x p

Modulo L = r.m.v.sinθ (theta angolo tra posizione e velocita)

Momento della forza

il momento della forza misura l'efficacia di una forza nel produrre una rotazione attorno a un punto O.

E' il prodotto vettoriale tra il vettore posizione r e la forza stessa r = r x F

Il modulo si puo scrivere come r = F.b (b = r.sinθ) e la distanza minima tra il polo O e la retta lungo cui agisce la forza

Teorema del momento angolare e conservazione di L

Se teorema afferma che la variazione nel tempo del momento angolare e uguale al momento delle forze esterne applicate:

r = dL/dt

Se r = 0 => L e costante

Momento dell'impulso della forza

Spiega cosa succede quando un momento della forza agisce per un certo intervallo di tempo

∫_t0^t rdt = L - L₀ = ΔL