Appunti di Fisica 1 fino ai sistemi di riferimento

IL MOTO CIRCOLARE

Il punto si muove su una circonferenza quindi mantiene sempre costante la sua distanza dal centro della circonferenza

In questo moto introduciamo una nuova variabile, cioe' una variabile angolare, e riferiamo a θ formato tra il vettore r e l'asse delle x: man mano che il punto materiale si muove sulla circonferenza, r ruota con il punto materiale e θ varia la sua ampiezza => θ(t)

Introduciamo il concetto di velocita' angolare: quanto rapidamente vengono descritti gli angoli

VELOCITA' ANGOLARE MEDIA: <w> = Δθ/Δt = θ(t+Δt) - θ(t) / Δt

misurata in rad/s (s^-1) = grandezza adimensionale

θ (rad) = AB/r

VELOCITA' ISTANTANEA: w = lim_{Δt -> 0} Δθ/Δt = lim_{Δt -> 0}

(t+Δt) - θ(t) / Δt = dθ(t)/dt

cioe' la derivata di una legge oraria, che derivandola mi porta al concetto di w istat.

MOTO CIRCOLARE UNIFORME

Studiamo il moto circolare uniforme dove w = costante

percio' e' in dipendenza lineare dal tempo

Il moto descrive angoli uguali in tempi uguali, percio' il moto e' monotono. Ricaviamo la legge oraria di θ

w = dθ/dt → ∫_t0=0^t w dt = ∫_θ0^θ(t) dθ → w[t]₀^t = [θ]_θ0^θ(t) → wt = θ(t) - θ0 → θ(t) = θ0 + wt

x = (x(t), y(t)) = (r cosθ, r senθ) → qui la dipendenza dal tempo e' in θ

v = (v_x, v_y) = (dx(t)/dt, dy(t)/dt)

Andiamo a ricavare le leggi orarie

v = (v_x, v_y) = (dx(t)/dt, dy(t)/dt) = (d(r cosθ)/dt, d(r senθ)/dt) = (r d/dt(cosθ), r d/dt(senθ)) = (-r w sinθ, r w cosθ)

r e w sono costanti

= r w(-sinθ, cosθ) → componenti cartesiane della velocita'

MODULO DELLA VELOCITA': |v| = √(v_x² + v_y²) = √(-r w sinθ)² + (r w cosθ)² = √r²w²(sin²θ + cos²θ) = √r²w² = rw

Il vettore velocita' e' sempre tangente alla traiettoria percio' deve cambiare la sua direzione e verso continuamente

|v| = rw → quindi il modulo e' costante, mentre vettorialmente si modifica continuamente

Quindi nel moto circolare il vettore v non e' costante: vettorialmente non e' costante perche' cambiano direzione e verso, l'unica cosa che rimane costante e' il modulo

Importa' e' importante fare il PRODOTTO SCALARE per verificare l'ortogonalita' tra due vettori (sappiamo che se due vettori formano un angolo di 90 allora il prodotto scalare e' zero)

a = (a_x, a_y)

b = (b_x, b_y)

a · b = |a||b| cos(θ) = a_x b_x + a_x b_y

Quindi nel nostro caso r · v = r cos θ (-ωr sinθ) + r sin θ (ωr cosθ) = -r²ω sinθ cosθ + r²ω sinθ cosθ = 0

la tangente ad una circonferenza e sempre perpendicolare ad r percio v sara sempre 90° e dunque ortogonale ad r

COMPRENDIAMO IL LEGAME TRA |v| e w

Immaginiamo due punti materiali che si muovono su due circonferenze concentriche, allineati lungo la stessa retta

• voglio che i vettori siano sempre allineati, dunque i loro vettori posizione dove avere percoso lo stesso angolo devono avere la stessa velocita angolare
• chiaramente il punto piu esterno ha dovuto percorrere un arco di circonferenza piu lungo rispetto all'arco di circonferenza del punto piu interno
• quindi il modulo della velocita sara diverso v₂ > v₁. W rimane costante ma cio che cambia e il raggio (la distanza dal centro)

Quindi:

• V = rapidita con la quale sono percorsi i metri
• W = rapidita con la quale e percorso l'angolo

ACCELERAZIONE CENTRIPETA

• Considerando che vettorialmente la velocita dipende dal tempo dunque non e costante, allora mi aspetto accelerazione
• a = (a_x, a_y) = (d v_x/d t, d v_y/d t) = (d/dt (-ωr sinθ), d/dt (ωr cosθ)) = (-rω d(sinθ)/dt, rω d(cosθ)/dt) = [ -rω cos(θ) (dθ/dt), rω (-sinθ) (dθ/dt) ]
• = [-rω² cosθ, -rω² sinθ] = -rω² (cosθ, sinθ)
• MODULO DI a: |a| = √(a_x² + a_y²) = √(r²ω⁴