Appunti completi di Fisica 1

Fisica 1 — dispense sintetiche

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Indice dei capitoli

1. Cinematica del punto materiale 3

2. Dinamica del punto materiale 8

3. Moti relativi e sistemi di riferimento 14

4. Sistemi di punti materiali e urti 16

5. Gravitazione 19

6. Corpo rigido e statica 21

7. Proprietà elastiche dei solidi 25

8. Meccanica dei fluidi 27

9. Oscillazioni e onde 29

10. Primo principio della termodinamica 32

11. Gas ideali e reali 35

12. Secondo principio ed entropia 39

Schema finale delle relazioni da ricordare 41

2

1. CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE

1.1 Descrivere un moto

La cinematica descrive come si muove un corpo senza occuparsi delle cause del moto. Per

semplificare il problema si rappresenta un corpo esteso come punto materiale quando le

sue dimensioni non sono rilevanti rispetto alle distanze percorse o quando interessa soltanto

il moto traslatorio.

Un sistema di riferimento assegna coordinate alla posizione del punto. In coordinate

cartesiane, nel piano, la posizione è descritta da x(t) e y(t); nello spazio si aggiunge z(t). La

traiettoria è l’insieme delle posizioni occupate successivamente dal punto. La legge oraria,

invece, esprime le coordinate in funzione del tempo.

Nel moto rettilineo basta una coordinata x(t). Lo spostamento in un intervallo è Δx = x₂ − x₁;

non va confuso con la distanza percorsa, che non tiene conto del verso e può essere

maggiore dello spostamento in modulo.

1.2 Velocità e accelerazione

La velocità media su un intervallo è = Δx/Δt

v m ​

Essa fornisce un’informazione complessiva, non il comportamento istante per istante. La

velocità istantanea è la derivata della posizione:

=

v dx/dt

Il problema inverso si risolve integrando: t

∫

= +

x(t) x v(t)dt

0 ​ ​

t 0 ​

ₘ

L’accelerazione media è a = Δv/Δt, mentre l’accelerazione istantanea è

2 2

= =

a dv/dt d x/dt

Se è nota a(t), la velocità si ottiene da v(t) = v₀ + ∫ a(t) dt. Il segno della velocità indica il

verso del moto; il segno dell’accelerazione indica come varia la velocità, non

necessariamente se il punto sta rallentando. 3

1.3 Moti rettilinei notevoli

Moto rettilineo uniforme

La velocità è costante e l’accelerazione nulla:

= costante, = + − )

v x(t) x v(t t

0 0

​ ​

Il diagramma x–t è una retta; la sua pendenza è la velocità.

Moto rettilineo uniformemente accelerato

Quando a è costante: = + − )

v(t) v a(t t

0 0

​ ​

1 2

−

= + ( − ) + )

a(t

x(t) x v t t t

0 0 0 0

2

​ ​ ​ ​ ​

2 02

− = (v − )/(2a)

x x v

0 ​ ​

L’ultima relazione elimina il tempo ed è utile quando sono note velocità e spostamento.

Caduta verticale

Trascurando l’attrito dell’aria, vicino alla superficie terrestre l’accelerazione è costante e

diretta verso il basso, con g 9,8 m/s². Se l’asse x è orientato verso l’alto e il corpo è

≃

lasciato da quota h con velocità iniziale nulla:

1 2 , =

= − −gt

x(t) h gt v(t)

2 ​

Le relazioni utili sono , ∣v(x)∣ =

= 2(h − 2g(h −

t(x) x)/g x)

​ ​

Al suolo: t_c = √(2h/g) e |v_c| = √(2gh).

1.4 Moto armonico semplice e decadimento esponenziale

Il moto armonico semplice è descritto da

= sin(ωt +

x(t) A φ)

A è l’ampiezza, φ la fase iniziale e ω la pulsazione. Il periodo e la frequenza sono

= 2π/ω, = 1/T =

T ν ω/(2π)

4

Derivando: = cos(ωt +

v(t) ωA φ)

2 2

= −ω sin(ωt + = −ω

a(t) A φ) x

L’accelerazione è quindi sempre diretta verso la posizione di equilibrio ed è proporzionale

allo spostamento con verso opposto.

Un moto con accelerazione a = −kv, con k > 0, ha velocità e posizione

−kt −kt

= , = (v / − )

v(t) v e x(t) k)(1 e

0 0

​ ​

se x(0)=0. La costante di tempo τ = 1/k indica l’intervallo dopo il quale il fattore esponenziale

si è ridotto di e. La velocità tende a zero e la posizione tende asintoticamente a v₀/k.

1.5 Moto piano: coordinate cartesiane e polari

Nel piano si introduce il raggio vettore = +

r xu yu

x y

​ ​

Le coordinate cartesiane e polari sono collegate da 2 2 , tan =

= cos = sin = +

x r θ, y r θ, r x y θ y/x

​

La velocità vettoriale è la derivata del raggio vettore:

=

v dr/dt

Poiché lo spostamento infinitesimo è tangente alla traiettoria, in coordinate intrinseche

= (ds/dt)u =

v vu

T T

​ ​

dove s è l’ascissa curvilinea e uᵀ il versore tangente.

In cartesiane: = + , = =

v v u v u v dx/dt, v dy/dt

x x y y x y

​ ​ ​ ​ ​ ​

In polari i versori cambiano durante il moto. La velocità diventa

= + uθ

v ṙ u r θ̇

r ​

con componente radiale vᵣ = ṙ e componente trasversa vθ = rθ̇. Il modulo è

5 +

2 2 2

∣v∣ = ṙ r θ̇ ​

1.6 Accelerazione curvilinea

La velocità può cambiare sia in modulo sia in direzione. Perciò

2

= (dv/dt)u + (v /R)u = +

a a a

T N T N

​ ​ ​ ​

dove R è il raggio di curvatura, uᴺ il versore normale e 2

= = /R

a dv/dt, a v

T N

​ ​

La componente tangenziale modifica il modulo della velocità; quella normale, detta anche

centripeta, modifica la direzione. Il modulo complessivo è |a| = √[(aᵀ)² + (aᴺ)²].

In coordinate cartesiane a = aₓuₓ + aᵧuᵧ, con aₓ = dvₓ/dt e aᵧ = dvᵧ/dt. In polari:

2 2

= [ − [1/r ⋅

]u + )/dt]uθ

a r̈ r θ̇ θ̇

d(r

r ​

Un moto rettilineo ha aᴺ = 0; un moto curvilineo uniforme ha aᵀ = 0 ma non necessariamente

a = 0.

1.7 Moto circolare

In un moto circolare il raggio R è costante. La velocità angolare è

= =

ω dθ/dt v/R

Per il moto circolare uniforme ω e v sono costanti, mentre l’accelerazione è centripeta:

2 2

= = /R =

a a v ω R

N ​

Il periodo e le leggi orarie angolari e curvilinee sono

= 2πR/v = 2π/ω

T

= + = +

θ(t) θ ωt, s(t) s vt

0 0

​ ​

Le proiezioni sugli assi sono due moti armonici sfasati di π/2:

= cos(ωt + ), = sin(ωt + )

x R θ y R θ

0 0

​ ​

Se il moto non è uniforme si definisce l’accelerazione angolare α = dω/dt; allora aᵀ = Rα. Per

α costante: 1

6 1 2

= + = + +

ω ω αt, θ θ ω t αt

0 0 0 2

​ ​ ​ ​

Introducendo i vettori, con ω perpendicolare al piano del moto e verso dato dalla regola della

mano destra: = × = × + ×

v ω r, a α r ω v

I due termini dell’accelerazione sono rispettivamente tangenziale e centripeto.

1.8 Moto parabolico

Un lancio con velocità iniziale v₀ inclinata di un angolo θ rispetto all’orizzontale, senza

resistenza dell’aria, è la sovrapposizione di un moto uniforme orizzontale e di un moto

uniformemente accelerato verticale:

= cos = sin −

v v θ, v v θ gt

0 0

x y

​ ​ ​ ​

= cos ⋅

x(t) v θ t

0 ​ 1 2

= sin ⋅ −

y(t) v θ t gt

0 2

​ ​

Eliminando il tempo si ottiene la traiettoria 02 2 2

= tan − [g/(2v cos

y(x) x θ θ)]x

​

Se partenza e arrivo sono alla stessa quota: 2

02 02

= (v = sin

x sin2θ)/g, y v θ/(2g)

G max

​ ​ ​ ​

L’altezza massima si raggiunge quando vᵧ = 0; la coordinata orizzontale corrispondente è

x_M = v₀² sinθ cosθ/g, quindi x_G = 2x_M. 7

2. DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE

2.1 Interazioni e leggi di Newton

La dinamica collega il moto alle sue cause. Il principio d’inerzia afferma che, in un sistema

inerziale, un punto non soggetto a una forza risultante mantiene velocità costante: l’assenza

di forza non significa necessariamente quiete.

La seconda legge di Newton è = =

F ma mdv/dt

La massa inerziale misura la resistenza del corpo alle variazioni di velocità. In forma più

generale, utile anche quando la massa non è costante,

= =

F dp/dt, p mv

La terza legge è il principio di azione e reazione: se A esercita su B la forza F_A,B, allora B

esercita su A la forza , = −F ,

F A B

B A

​ ​

Le due forze hanno stesso modulo e direzione opposta, ma agiscono su corpi diversi e

quindi non si cancellano nel diagramma delle forze di un singolo corpo.

2.2 Quantità di moto e impulso

La quantità di moto è p = mv. Integrando la seconda legge tra due istanti:

t 2

∫ ​

= Δp

=

J F dt

​

t 1 ​

J è l’impulso della forza. Se la risultante è nulla, la quantità di moto si conserva. Per una

forza costante, J = FΔt; in generale conta l’area sottesa dal grafico forza-tempo.

La risultante delle forze è R = ΣFᵢ. L’equazione del moto è R = ma. L’equilibrio di un punto

richiede R = 0; se il punto è fermo si parla di equilibrio statico.

2.3 Vincoli e forze di contatto

Un vincolo limita i moti possibili e reagisce con una forza. Su un piano liscio la reazione

normale N è perpendicolare alla superficie; il suo valore non è automaticamente uguale a

mg, ma si trova dalle equazioni del moto. Se il piano può esercitare anche attrito, la reazione

totale ha componente normale e tangenziale. 8

Le interazioni fondamentali richiamate nella fonte sono gravitazionale, elettromagnetica,

nucleare forte e nucleare debole. Nei modelli di Fisica 1 esse vengono rappresentate tramite

forze efficaci: peso, reazione, attrito, tensione, forza elastica e resistenza viscosa.

2.4 Forza peso e peso apparente

Vicino alla superficie terrestre, la forza peso è approssimativamente costante:

=

P mg

diretta verso il basso. Il valore g dipende dalla posizione e viene assunto circa 9,8 m/s² nei

problemi ordinari.

La sensazione di peso è legata alla reazione normale. Scegliendo l’asse verticale positivo

verso l’alto, per un corpo su una piattaforma con accelerazione a:

− = ⇒ = +

N mg ma N m(g a)

Questa forma vale quando il corpo resta a contatto con la piattaforma; se il risultato richiede

N < 0, il contatto è perso. Si distinguono i casi:

piattaforma accelerata verso l’alto: N > mg, sensazione di peso maggiore;

piattaforma accelerata verso il basso con |a| < g: 0 < N < mg, sensazione minore;

caduta libera a = −g: N = 0, assenza di peso apparente;

accelerazione verso il basso con modulo superiore a g: il corpo non può seguire la

piattaforma restando appoggiato.

2.5 Attrito radente e piano inclinato

L’attrito statico si adatta al valore necessario per impedire lo scorrimento, fino al limite

∣F , ≤ , ∣F , =

s∣ μ N s∣max μ N

a s a s

​ ​ ​ ​

Quando inizia lo scorrimento agisce l’attrito dinamico:

, = −μ

F d N u

a d v

​ ​ ​

dove uᵥ è il versore della velocità. Il suo verso è sempre opposto al moto e il lavoro è

resistente.

Su un piano inclinato di angolo θ, il peso si scompone in una componente normale mg cosθ

e una parallela mg sinθ. In assenza di altre forze e di attrito:

= cos = sin

N mg θ, ma mg θ

9

Se è presente attrito, si aggiunge la componente tangenziale con verso opposto alla

tendenza al moto. Il criterio corretto è prima stabilire la tendenza allo scorrimento, poi

ₛ

verificare se μ N è sufficiente; soltanto dopo si usa μ_dN.

2.6 Forze elastiche, viscose e centripete

La forza elastica di richiamo di una molla ideale è

= −kx

F

Applicata a una massa m, produce un moto armonico con

, = 2π

=

ω k/m T m/k

​ ​

La forza di attrito viscoso è proporzionale alla velocità:

= −bv

F v ​

Durante una caduta verticale, la combinazione di peso e attrito viscoso conduce a una

velocità che tende a un valore limite; nella notazione della fonte, ponendo b = mk:

−kt

= (g/k)(1 − )

v(t) e

In una traiettoria curva la risultante deve avere una componente normale

2

= = /R

F ma mv

N N

​ ​

Questa è la forza centripeta: non è una nuova interazione, ma il nome della componente

radiale della risultante. Una componente tangenziale F_T = m dv/dt modifica invece il

modulo della velocità.

2.7 Pendolo semplice e tensione

Il pendolo semplice è un punto di massa m appeso a un filo inestensibile e di massa

trascurabile, di lunghezza L. Le equazioni lungo la direzione tangente e radiale sono

−mg sin = , − cos =

θ ma T mg θ ma

T F N

​ ​

con a_T = Lθ̈ e a_N = v²/L. Per piccole oscillazioni sinθ θ, quindi

≃

+ (g/L)θ = 0

θ̈

Il moto è armonico, con pulsazione √(g/L). La tensione del filo è sempre lungo il filo e, se il

filo è teso, è diretta dal punto verso il vincolo. In equilibrio verticale vale T_F = mg.

10

2.8 Lavoro, potenza ed energia cinetica

Il lavoro di una forza lungo una traiettoria da A a B è

B

∫ ∫

⋅

= =

W F ds F ds

AB T

​ ​ ​

A

Il lavoro è scalare: è positivo se la forza favorisce lo spostamento, negativo se lo ostacola e

nullo se è sempre perpendicolare allo spostamento. Il lavoro totale è la somma dei lavori

delle singole forze.

La potenza istantanea è = /dt = ⋅ =

P dW F v F v

T ​

mentre la p