Appunti di Fisica 1

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Un corpo rigido e definito come un modello ideale (non si deforma)

La differenza con un singolo punto e che un corpo rigido ha un'estensione. Questo significa che mentre trasla, puo anche ruotare su se stesso

In un corpo rigido ci sono forze che tengono uniti gli atomi e forze applicate dall'esterno, poiche le distanze tra i punti del corpo rigido non cambiano mai, le forze interne non compiono lavoro.

Questo semplifica enormemente le cose, perche tutta la variazione di energia cinetica dipende solo dalle forze esterne

Prima equazione cardinale (Traslazione)

F = ma_CM -> la somma di tutte le forze esterne e uguale alla massa totale del corpo moltiplicata per l'accelerazione del suo centro di massa

Seconda equazione cardinale (Rotazione)

M = dL/dt -> la somma dei momenti delle forze esterne (M) applicati al corpo e uguale alla variazione nel tempo (dt) del suo momento angolare (dL), questa equazione governa come il corpo inizia a ruotare, smette di ruotare o cambia asse di rotazione.

Teorema dell'energia cinetica (Lavoro)

W = ¹/₂ -> Se il lavoro totale compiuto dalle forze esterne (W) e uguale alla variazione di energia cinetica del corpo rigido

Corpo continuo. Densita. Posizione del centro di massa

quando si studia un corpo solido, e impossibile calcolare la posizione e la forza di ogni singolo atomo che lo compone. La fisica semplifica il problema immaginando la materia come un "continuo"

Il corpo viene suddiviso in un numero infinito di piccolissimi volumi dV, contenenti una massa dm.

Densita volumetrica

p = dm/dV => se e omogegno p = m/V

Calcolo della posizione del centro di massa

r_CM = ¹/_m ?r?dV

Se calcoliamo il momento torcente totale rispetto a un punto fisso, scopriamo che e identico al momento che otterremmo se tutta la forza peso fosse applicata esattamente nel centro di massa.

M = mr_CM x g

Mot di un corpo rigido

Qualsiasi movimento complesso di un oggetto solido puo essere scomposto in due movimenti piu semplici:

traslazione e rotazione

Moto di traslazione

Si ha una traslazione quando tutti i punti del corpo descrivono traiettorie uguali.

tutti i punti del corpo viaggiano esattamente alla stessa velocita, che coincide con la velocita del centro di massa.

Un corpo che trasla si comporta esattamente come se fosse un singolo punto materiale (Centro di Massa) in cui e concentrata tutta la massa.

Quantita di moto P = mv_cm Energia cinetica E_k = 1/2 mv_cm²

Moto di rotazione

I punti del corpo descrivono archi di circonferenza attorno a un asse centrale.

In questo caso, i vari punti del corpo non hanno la stessa velocita lineare, ma stessa velocita angolare

M = dL/dt

Equilibrio statico del corpo rigido

Per avere un equilibrio statico completo, un corpo rigido richiede che siano soddisfatte simultaneamente due equazioni:

Equilibrio traslazionale La risultante di tutte le forze esterne applicate deve essere zero F=0

Equilibrio rotazionale La risultante di tutti i momenti delle forze rispetto a un qualsiasi punto deve essere zero M=0

Rotazioni rigide attorno ad un asse fisso

Consideriamo un corpo rigido che ruota attorno ad un asse fisso all'interno di un sistema di riferimento inerziale.

• I punti che si trovano all'asse di rotazione sono fermi e possono essere usati come poli per calcolare i momenti.
• Se il vettore velocita angolare ha una direzione fissa, ma il suo modulo e il suo verso possono cambiare nel tempo.
• Se varia, esiste un'accelerazione angolare definita come a = dv/dt, anche essa parallela all'asse.
• Ogni singola porzione di massa dm del corpo compie una traiettoria circolare con raggio R e velocita di modulo v=wR

Momento angolare e momento d'inerzia

• Il momento angolare infinitesimo dL rispetto al polo O sull'asse z e' ortogonale al piano formato dal raggio vettore r e della velocita v.
• In generale, il momento angolare totale L del corpo non e' parallelo all'asse di rotazione il che significa che L e non sono necessariamente proporzionali in modo diretto.
• Per analizzare il moto, si calcola la componente assiale del momento angolare Lz.
• Integrando su tutto il corpo, si ottiene Lz = Iz w e' chiamato momento d'inerzia.

Momento d'inerzia (Iz = S dm R²)

non e' una proprieta' intrinseca del corpo, ma dipende da come la massa e' distribuita rispetto allo specifico asse di rotazione scelto.

Se l'asse di rotazione e' un asse di simmetria per il corpo, allora il momento angolare L risulta perfettamente parallelo a w, in questo caso L = Iz w

Equazione del moto di rotazione

E' un'equazione analoga per la rotazione

• Nel caso in cui L sia // a w, la derivata del momento angolare rispetto al tempo e' uguale al momento delle forze esterne
• L'equazione fondamentale diventa M = I a. Questa formula ci dice che per causare un'accelerazione angolare a serve un momento meccanico M, e la resistenza a questa accelerazione e' data dal momento d'inerzia.
• Se il momento esterno Mz = 0, l'accelerazione e' zero (a = 0) e il corpo ruota di moto circolare uniforme
• Se Mz e' costante, il corpo ruota di moto uniformemente accelerato

Energia cinetica, Lavoro e Potenza

Il capitolo procede definendo le grandezze energetiche per la rotazione

Energia cinetica: l'energia cinetica di un corpo rigido in rotazione e' data da E_k = 1/2 I w²

Lavoro: se un momento esterno fa variare la velocita' angolare, compie lavoro. W' = S Mz dθ

Potenza = P = Mz w

GRAVITAZIONE

La forza gravitazionale e un esempio di forza centrale

1. Il punto dello spazio la direzione della forza passa per un punto O, detto centro della forza.
2. Il modulo della forza dipende dalla distanza dal centro
3. Se F>0 la forza e repulsiva,Se F<0 la forza e attrattiva

La forza causa una perturbazione dello spazio causando un campo di forza

In un campo di forze centrali il momento angolare L si conserva.

= dL/dt = r x F

Sappiamo che F = F(r)u_r, il vettore posizione e anch'esso diretto radialmente, quindi r = ru_r; sostituendo si vede che abbiamo il prodotto vettoriale tra due vettori // che fa 0, => L costante

Questo fatto ha 2 conseguenze importanti

Essendo L costante in direzione e sapendo che L = r x mv, i vettori posizione e velocita devono sempre giacere su un piano perpendicolare ad L. Il moto e rigorosamente bidimensionale (piano)

Il verso di L e sempre lo stesso.

Avendo stabilito che il moto e piano, usiamo le coordinate polari (r,theta), la velocita si scompone in una parte radiale v_r (non fa ruotare) e una trasversa (responsabile della rotazione)

Nel calcolo del momento angolare, la componente radiale della velocita si annulla nel prodotto vettoriale (r x v_r = 0), lasciando solo:

L = r(mv_theta) = mr² dtheta/dt

In un tempo infinitesimo dt, il raggio vettore "spazza" un piccolo triangolo. La base di questo triangolo e l'arco di circonferenza r dtheta e l'altezza r. L'area e:

dA = 1/2 r(r dtheta) = 1/2 r² dtheta

dividendo per dt otteniamo la velocita areolare:

dA/dt = 1/2 r² dtheta/dt

Sostituendo L abbiamo

dA/dt = L/2m

poiche L e m sono costanti, la velocita areolare e costante, che e la seconda legge di Keplero

Ogni forza centrale dipende solo dalla distanza ed e conservativa

W = _A^B F · ds

Sostituendo F: F(r)v_r

W = _A^B F(r)v_r ds dipende da posizione finale e iniziale

Legge di Keplero

Prima legge i pianeti percorrono orbite ellittiche intorno al Sole che occupa uno dei due fuochi dell'ellisse.

Secondo legge la velocità areolare con cui il raggio vettore che unisce il sole a un pianeta descrive l'orbita e costante

Terza legge il quadrato del periodo di rivoluzione di ogni pianeta e proporzionale al cubo del semiasse maggiore dell'ellisse T² = K a³

Keplero -> cinematica => Newton => dinamica

Teoria della gravitazione universale

Ipotesi

1. Si considerano le leggi empiriche di Keplero
2. Si approssima la traiettoria a una circonferenza

La seconda legge di Keplero afferma che la velocità areola sia costante

dA/dt = 1/2 r² dθ/dt = costante

Affinche la velocità areola rimanga costante, anche quella angolare lo deve essere

ω = dθ/dt

moto di moto circolare uniforme, l'unica accelerazione presente e quella centripeta

F = mω²r

ω = 2π/T

F = m 4π²/T² r

dalla 3° legge T² = K r²

F = m(2π)²/kr²