Appunti di Analisi matematica I

INSIEMI MATEMATICI

N = {0,1,2,3,...} N+ exclude lo zero

I numeri naturali sono multipli di 1 nel verso positivo

Z = {...,-1,0,1,2,...}

I numeri relativi sono multipli di 1 nel verso negativo e positivo

Q = {q = z1/z2, z1 e Z, z2 != 0} <=> {q = m/n; m,n e Z, n != 0}

Non e restrittivo dire che la frazione sia ridotta ai minimi termini.

Geometricamente suddivido OP in m parti e ne prendo m/n.

R = Q union {num. irrazionali} N.B. R = R union {+infinito} union {-infinito}

E geometricamente completo: ad ogni punto corrisponde un unico numero reale e viceversa.

ES. pi ed e (num. di Nepero)

Q denso in R -> forall x,y e R : x < y, esiste q e Q, x < q < y (infiniti)

PROPRIETA DI R

In R esistono 2 funzioni denominate con somma e prodotto tali che valgono le seguenti proprieta:

1. x + y = y + x e x y = y x
2. x + (y + z) = (x + y) + z
3. x (y + z) = x y + x z
4. esistono 0,1 / 0 + x = x ^ x - 1 = x
5. forall x e R, esiste -x e R / x + (-x) = 0
6. forall x e R \ {0}, esiste x^-1 e R / x x^-1 = 1

ASSIOMA DI COMPLETEZZA DI R

Siano E, F subset R ^ E, F != phi

forall e e E, forall f e F | e ≤ f => esiste z e R | e ≤ z ≤ f

Di conseguenza ogni A subset R aplinf limitato ammette estremo sp/inf. Cio non vale in Q

Relazione d'ordine di R

R e dotato di una relazione d'ordine ≤ tale che:

1. forall x e R, x ≤ x
2. se x ≤ y ^ y ≤ x => x = y
3. se x ≤ y ^ y ≤ z => x ≤ z
4. se x ≤ y forall z e R x + z ≤ y + z
5. se x ≤ y e z > 0 => xz ≤ yz

La relazione d'ordine e totale, cioe ∀x,y ∈ R vale x ≤ y v y ≤ x.

Proposizione

Una proposizione logica e un enunciato logico che dipende da variabili di un insieme.

Operatori

∧ (and) ∨ (or) ¬ (not)

Quantificatori

∀ (quant. universale)

∃ (// esistenziale) ∃! (// di unicita)

Leggi di De Morgan

(A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c

(A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c

¬(P ∧ Q) = ¬P ∨ ¬Q

¬(P ∨ Q) = ¬P ∧ ¬Q

Dimostrazioni

P(x) => Q(x) diretto

¬P(x) => ¬Q(x) indiretto

P(x) ∧ ¬Q(x) => ¬P(x) per assurdo

Es. di dimostrazione

P(x) = x² = 2

Q(x) - √2 ∈ ∅

Tesi

Ipotesi

Supponiamo vera P(x) ∧ ¬Q(x)

x² = 2, x = m/n, dove m,n ∈ N₊ ⇒ senza fattori comuni

x² = m²/n² ⇒ m² = 2n² ⇒ m² pari

m pari ⇒ m = 2k, ∃ k ∈ N₊ : m = 2k

4k² = 2m² ⇒ m² = 2k² ⇒ m² pari ⇒ E ASSURDO!

Insiemi limitati in R

A ⊆ R ^ A ≠ ∅ si dice:

• limitato superiormente se ∃ b ∈ R / b > x ∀x ∈ A (b maggiorante)
• limitato inferiormente se ∃ b ∈ R / b ≤ x ∀x ∈ A (b minorante)

A^* = { b ∈ R / b > x ∀x ∈ A } ⇒ insieme dei maggioranti

A_* = { b ∈ R / b ≤ x ∀x ∈ A } ⇒ insieme dei minoranti

Estremo superiore

min(A^*) = sup(A) se min(A^*) ∈ A ⇒ min(A^*) = max(A^*)

Def b ∈ R, b = sup(A) se

1. ∀x ∈ A, b > x
2. ∀y ∈ R: y < b; ∃ x ∈ A: y < x < b

Estremo inferiore

max(A_*) = inf(A) se max(A_*) ∈ A ⇒ max(A_*) = min(A^*)

Def b ∈ R, b = inf(A) se

1. ∀x ∈ A, x > b
2. ∀y ∈ R: y > b; ∃ x ∈ A: b < x < y

Intervallo

I sub R e un intervallo se presi a,b e I con a<b

{ x in R: a <= b <= b } ⊆ I

Oppure x,y in I, z in R: x <= z <= y => z in I

Intervalli limitati

[a,b] = { x in R: a <= x <= b }

(a,b) = { x in R: a < x < b }

]a,b[ = { x in R: a < x < b }

(a,b] = { x in R: a < x <= b }

Intervalli illimitati

(a,+oo) = { x in R / x > a }

[a,+oo) = { x in R / x >= a }

(-oo,a) = { x in R / x < a }

(-oo,a] = { x in R / x <= a }

intervalli inf. limitati oppure sup. limitati

intervalli sup. limitati: oppure inf. illimitati

Es

A = (0,1)     1 = sup(A)

1) x in A → x <= 1 (1 magg