Appunti completi di Analisi matematica 1

DISPENSE

ANALISI MATEMATICA 1

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INDICE

1. Nozioni di base 3

1.1 Insiemi 3

1.2 Logica matematica 4

1.3 Valore assoluto 4

1.4 Intervalli 5

1.5 Fattoriali e coefficienti binomiali 5

2. Funzioni 7

2.1 Definizioni base 7

2.2 Immagine e controimmagine 7

2.3 Suriettività, iniettività, funzioni inverse 7

2.4 Funzioni monotòne 8

2.5 Funzioni composte 8

2.6 Funzioni elementari 9

3. Limiti e continuità 12

3.1 Intorni 12

3.2 Limiti di successioni 12

3.3 Limiti di funzioni, continuità 13

3.4 Punti di discontinuità 14

3.5 Teorema delle funzioni monotone 15

3.6 Teoremi di unicità e permanenza del segno 15

3.7 Teoremi del confronto 15

3.8 Teorema di sostituzione 16

3.9 Algebra dei limiti 16

3.10 Limiti notevoli 17

3.11 Teorema di esistenza degli zeri 18

3.12 Teorema dei valori intermedi e teorema di Weierstrass 18

4. Confronto locale di funzioni. Cenni di successioni 19

4.1 Simboli di Landau 19

4.2 Algebra degli "o piccoli" 20

4.3 Infinitesimi ed infiniti 21

4.4 Asintoti 21

4.5 Proprietà dei limiti di successioni 22

5. Calcolo differenziale 23

5.1 Derivata 23

5.2 Algebra delle derivate 23

5.3 Derivate notevoli 24

5.4 Punti di non derivabilità 24

5.5 Punti di estremo 25

5.6 Teorema di Fermat 25

5.7 Teorema di Rolle 25

5.8 Teorema di Lagrange 25

5.9 Derivate di ordine superiore 26

5.10 Studio di funzione 26

5.11 Teorema di de L'Hôpital 27

6. Sviluppi di Taylor 28

6.1 Formule di Taylor 28

6.2 Sviluppi notevoli 28

7. Numeri complessi e vettori 29

7.1 Rappresentazioni del punto 29

7.2 Vettori 29

7.3 Numeri complessi 29

8. Calcolo integrale 32

8.1 Integrali indefiniti 32

8.2 Integrali notevoli 32

8.3 Algebra degli integrali 33

8.4 Integrali definiti 33

8.5 Teorema fondamentale del calcolo integrale 34

8.6 Integrali impropri 34

9. Equazioni differenziali ordinarie 36

9.1 Definizioni base 36

9.2 Equazioni del primo ordine 36

9.3 Equazioni del secondo ordine 37

2 CAPITOLO 1

NOZIONI DI BASE

1.1 Insiemi

Un’insieme è una collezione di oggetti di una determinata categoria. Gli insiemi vengono indicati con lettere

maiuscole ( ) mentre gli elementi contenuti con lettere minuscole ( Si dice che un elemento

appartiene ad un insieme se esso è contenuto al suo interno e si indica Gli insiemi numerici

maggiormente utilizzati sono:

ˆ insieme dei numeri naturali;

ˆ insieme dei numeri relativi;

ˆ insieme dei numeri razionali;

ˆ insieme dei numeri reali;

ˆ insieme dei numeri complessi.

1.1.1 Definizioni base

Fissato un insieme non vuoto definito insieme ambiente, si definisce sottoinsieme di un insieme i cui

elementi sono anche elementi di Si scrive che nel caso possano coincidere; nel caso è un

sottoinsieme proprio di E possibile utilizzare i diagrammi di Venn per la rappresentazione grafica degli

insiemi. Un generico sottoinsieme può essere denotato per elencazione

o per proprietà

ossia gli elementi tali che la proprietà sia soddisfatta. L’espressione ) è un predicato logico.

L’insieme di tutti i sottoinsiemi di un insieme costituisce l’insieme delle parti di denotato con In

esso è sempre contenuto l’insieme vuoto

Il numero di elementi di un insieme è detto cardinalità e viene indicato con #( In generale, un insieme finito

con cardinalità ha un insieme delle

parti di cardinalità

Utilizzando due insiemi, si può definire la complementarità. Dato insieme e suo sottoinsieme, si definisce

insieme complementare di il sottoinsieme

Valgono pertanto le proprietà

1.1.2 Operazioni e proprietà

Dati due insiemi, si definisce intersezione di e il sottoinsieme

che definisce gli elementi appartenenti ad entrambi gli insiemi, mentre si definisce insieme unione l’insieme

tale che selezioni gli elementi di entrambi gli insiemi.

Le proprietà principali di tali operazioni sono:

ˆ Proprietà booleane: 3

ˆ Proprietà commutativa, associativa e distributiva;

ˆ Leggi di De Morgan:

Si definisce differenza il sottoinsieme

ossia il sottoinsieme che seleziona gli elementi di che non sono presenti in mentre si definisce differenza

simmetrica

il sottoinsieme che contiene gli elementi contenuti in uno soltanto dei due insiemi, ma mai in entrambi.

1.2 Logica matematica

Si definisce proposizione logica un enunciato a risposta binaria vera o falsa, indipendentemente da una

variabile. Se l’enunciato dipende invece da una variabile , allora si definisce predicato logico e si indica

generalmente con

1.2.1 Operazioni e proprietà

In modo simile agli insiemi è possibile definire alcune operazioni e le loro proprietà.

Analogamente al complementare si ottiene la negazione logica, restituente vero se ) è falso e viceversa.

Si indica con

La congiunzione logica di due proposizioni e è la proposizione con verità solo nel caso siano vere

ambedue le proposizioni, falsa in ogni altro caso.

Si parla di disgiunzione logica invece nel caso di con verità nel caso si abbia almeno una proposizione

vera, falsa solo quando sono false entrambe. La logica matematica fornisce uno strumento utilizzato

largamente in Analisi: l’implicazione logica, ossia Viene letta come ” implica ” o ”condizione

necessaria affinché sia vera l’ipotesi è che lo sia la tesi ”. L’implicazione è ottenuta unendo due operazioni

basilari e si può anche scrivere come

Un’altra espressione largamente utilizzata è l’equivalenza logica anche letta come ”se e solo se” o

”condizione necessaria e sufficiente affinché sia vera la tesi è che lo sia l’ipotesi ”. Essa è la congiunzione

delle due implicazioni reciproche, ossia

1.2.2 Quantificatori

Dato un predicato generico è utile sapere se esso valga per ogni valore o se esista almeno un valore per

cui lo faccia. Si definiscono di conseguenza i due quantificatori

”per ogni è vero )”

e ”esiste almeno un per cui è vero )”

rispettivamente detti quantificatore universale e quantificatore esistenziale.

1.3 Valore assoluto

Si introduce un operatore largamente utilizzato, il valore assoluto o modulo di ossia il numero reale

Geometricamente il modulo di un numero rappresenta la distanza dall’origine della retta di ascissa del punto.

Si ottiene inoltre che la distanza tra due punti è

Il valore assoluto gode di due proprietà necessarie per molte dimostrazioni ossia

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detta disuguaglianza triangolare e

È facile verificare di conseguenza che

e

1.4 Intervalli

Dal valore assoluto si passa logicamente agli intervalli, definiti come sottoinsiemi di numeri compresi tra due

estremi fissati.

1.4.1 Definizioni base

Siano e due numeri reali tali che Si definisce intervallo chiuso l’insieme

mentre si dice intervallo aperto l’insieme

Cambiando le parentesi si possono ottenere intervalli semi-aperti a destra o sinistra.

Se invece si hanno insiemi definiti da una sola disuguaglianza si parla di intervalli aperti come

e analoghi risultati scambiando le disuguaglianze o le parentesi. Si ottiene infine che

In genere un intervallo si dice chiuso se contiene gli estremi e aperto altrimenti. I punti contenuti

nell’intervallo che non sono estremi si dicono punti interni.

1.4.2 Insiemi limitati

Dato sottoinsiemi di si dice che è superiormente limitato se esiste un numero tale che

ed ogni che soddisfa la relazione è detto maggiorante di Si dice invece che è inferiormente limitato se

esiste un numero tale che

ed ogni che soddisfa la relazione è detto minorante di Se l’insieme è sia superiormente che inferiormente

limitato, allora si dice limitato. Si dice che ammette massimo se esiste tale che

e è detto massimo di In modo analogo si definisce il minimo di Nel caso in cui l’insieme non

ammetta massimo o minimo si può definire un numero privilegiato dei maggioranti (o minoranti): il minore (il

maggiore). Esso sarà definito rispettivamente come estremo superiore o inferiore e indicato o

Ciò vale solo se l’insieme è superiormente (o inferiormente) limitato.

1.5 Fattoriali e coefficienti binomiali

Dato un numero maggiore di 1, si definisce fattoriale di il prodotto di tutti gli interi compressi tra 1 e

, indicato con !. Per convenzione, 0! = 1. Si osserva velocemente che

5

Il fattoriale rappresenta il numero di possibili disposizioni di oggetti distinti in sequenza, ossia le

permutazioni di

Dati , si definisce coefficiente binomiale su la quantità

Utilizzando le proprietà dei fattoriali si osserva che

e che

Utilizzando le precedenti formule si può costruire il triangolo di Tartaglia, un triangolo formato dai coefficienti

binomiali ottenuti scorrendo il fattore

Si nota che le righe contengono i coefficienti delle potenze di un binomio e si può dimostrare che si

ottengono grazie alla formula del binomio di Newton, ossia

6 CAPITOLO 2

FUNZIONI

2.1 Definizioni base

Dati due insiemi e si dice funzione definita in a valori in una corrispondenza che associa ad ogni

elemento uno e un solo elemento

Gli elementi in questione formano un insieme detto dominio di tale che la funzione si possa scrivere

Definendo come dominio, si può scrivere semplicemente L’elemento corrispondente ad

un elemento si dice immagine di attraverso e si indica con

L’insieme delle immagini di tipo forma l’immagine di sottoinsieme di indicato con

Il sottoinsieme del prodotto cartesiano costituito dalle coppie ( al variare di nel dominio si dice

grafico di e si indica come

Se la funzione si dice reale di variabile reale ed il grafico è un sottoinsieme di

Nel caso si parla di successione, denotata solitamente con

2.2 Immagine e controimmagine

Sia L’immagine di attraverso è l’insieme

ossia l’insieme di tutte le immagini degli elementi di

Sia ora un generico elemento di la controimmagine di attraverso è l’insieme

degli elementi di che hanno come immagine Se la controimmagine di attraverso è

unione delle controimmagini degli elementi di

2.2.1 Limitazioni

Sia una funzione e sia

Si definisce estremo superiore di su l’estremo superiore dell’immagine di ossia

Si dice che è superiormente limitata se Se questo valore finito appartiene all’immagine

di allora esso è il massimo di su indicato

2.3 Suriettività, iniettività, funzioni inverse

Una funzione è detta suriettiva su se 7

ossia se ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio. Prendendo ad

esempio la funzione identità con codominio si può osservare come essa sia suriettiva poiché ogni

elemento di è immagine di se stesso.

Una funzione si dice iniettiva se ogni è immagine di un solo elemento ossia se

Si vede, ad esempio, nella funzione identità la proprietà di iniettività assumendo per assurdo che esistano e

diversi tali per cui Ciò è impossibile, pertanto la funzione è iniettiva.

Una funzione sia iniettiva che suriettiva è detta biiettiva.

Data una funzione iniettiva, è possibile associare ad ogni elemento un unico elemento Tale

corrispondenza determina una funzione definita in a valori in detta funzione inversa di e indicata con

Pertanto

L’inversa ha come dominio l’immagine di e come immagine il dominio di

Il grafico dell’inversa si ottiene scambiando i componenti di ogni coppia, ossia ribaltando il grafico di rispetto

alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.

2.4 Funzioni monotòne

Sia una funzione di dominio

Essa si dice monotòna crescente su se per ogni tali che si ottiene che Di

conseguenza se

Se la disuguaglianza è stretta, si dice che la funzione è strettamente crescente. Analogamente si ottengono

le definizioni di funzione decrescente e strettamente decrescente.

Un intervallo su cui è monotòna si dice intervallo di monotonia.

2.4.1 Relazione tra monotonia e iniettività

Un risultato importante nello studio della monotonia si ottiene osservando che se è strettamente monotòna,

allora è iniettiva.

Non può valere la doppia implicazione, si prenda come controesempio la funzione iperbolica con estensione in

a La funzione è chiaramente iniettiva ma non presenta monotonia su tutto il dominio.

2.5 Funzioni composte

Siano tre insiemi. Siano inoltre una funzione definita in a valori in e una funzione definita in

a valori in È possibile costruire una funzione definita in a valori in ponendo

La funzione si dice funzione composta di e e si indica come

Il dominio di si determina in questo modo: affinché appartenga a deve prima appartenere a

inoltre deve appartenere a Di conseguenza

2.5.1 Proprietà

Il prodotto di composizione non è commutativo. Si ottiene, a meno di casi particolari, che

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Se e sono iniettive, o suriettive, o entrambe, anche la funzione composta ha la stessa proprietà. In

particolare nel caso sia iniettiva si ottiene

Infine, se le funzioni sono monotone, anche la composta lo sarà. In particolare sarà monotona crescente se le

funzioni sono monotone nello stesso senso, decrescente altrimenti.

2.6 Funzioni elementari

Sia una funzione il cui dominio sia simmetrico rispetto all’origine, ossia se

anche La funzione