Appunti Analisi Matematica I

Analisi Iravi Srinivasan.A. 2018-19

Basati sulle lezioni del prof. Ettore Lanzarone

Università Politecnico di Milano

A.A. 2018-2019

Sommario

• 1. Insiemistica ................................................................................................................. 1
• 1.1. Relazioni ................................................................................................................ 1
• 1.2. Insiemi numerici ................................................................................................... 2
• 1.3. Operazioni tra insiemi .......................................................................................... 2
• 1.3.1. Proprietà delle operazioni .............................................................................. 3
• 1.3.2. Leggi di De Morgan ........................................................................................ 3
• 1.4. Funzioni reali di variabile reale ........................................................................... 4
• 1.5. Campo ordinato ..................................................................................................... 4
• 1.6. Differenza tra .............................................................................................. 4 ℚ ℝ
• 1.6.1. Insiemi limitati ............................................................................................... 4
• 1.6.2. Insiemi totalmente ordinati ........................................................................... 5
• 1.6.3. Definizione assiomatica di .......................................................................... 5 ℝ
• 1.7. Cardinalità degli insiemi ...................................................................................... 6
• 1.7.1. Cardinalità di .............................................................................................. 8 ℝ
• 2. Logica ......................................................................................................................... 10
• 2.1. Dimostrazione per assurdo ................................................................................. 11
• 2.2. Il principio di induzione ...................................................................................... 12
• 2.2.1. Disuguaglianza di Bernoulli......................................................................... 13
• 2.2.2. Formula del binomio di Newton ................................................................... 14
• 3. Successioni ................................................................................................................. 17
• 3.1. Successioni convergenti ...................................................................................... 17
• 3.2. Successioni divergenti ......................................................................................... 19
• 3.3. Limiti delle successioni ....................................................................................... 20
• 3.4. Successioni monotone .......................................................................................... 20
• 3.4.1. Corollario del teorema di monotonia ............................................................ 21
• 3.5. Algebra dei limiti ................................................................................................. 22
• 3.5.1. Operazione con .......................................................................................... 23 ∞

Sommario

• 3.5.2. Limiti notevoli ............................................................................................... 24
• 3.5.3. Successioni asintotiche ................................................................................. 25
• 3.5.4. Criterio del rapporto ..................................................................................... 26
• 3.6. Teorema di permanenza del segno ..................................................................... 28
• 3.6.1. Teorema del confronto .................................................................................. 29
• 3.6.2. Corollari del teorema del confronto ............................................................. 30
• 4. Numeri complessi ...................................................................................................... 31
• 4.1. Operazioni tra numeri complessi........................................................................ 32
• 4.2. Modulo di un numero complesso ........................................................................ 33
• 4.3. Moltiplicare e dividere per ................................................................................ 35
• 4.4. Moltiplicare e dividere per ........................................................................ 36 ∈ ℝ
• 4.5. Forma trigonometrica ......................................................................................... 36
• 4.5.1. Operazioni in forma trigonometrica ............................................................ 38
• 4.5.2. Radici di un numero complesso .................................................. 39 −
• 4.6. Teorema fondamentale dell’algebra ................................................................... 40
• 4.7. Formula di Eulero ............................................................................................... 41
• 4.7.1. Seno e coseno non esistono ........................................................................... 41
• 5. Funzioni reali ............................................................................................................ 43
• 5.1. Funzioni composte ............................................................................................... 44
• 5.2. Funzioni inverse .................................................................................................. 44
• 5.3. Limiti delle funzioni ............................................................................................ 46
• 5.3.1. Definizione successionale ............................................................................. 46
• 5.3.2. Limiti ai bordi del dominio ........................................................................... 47
• 5.3.3. Funzioni continue ......................................................................................... 48
• 5.3.4. Discontinuità delle funzioni ......................................................................... 49
• 5.3.5. Definizione topologica di limite .................................................................... 49
• 5.3.6. Forme di indeterminazione .......................................................................... 51
• 5.3.7. Teoremi sui limiti ......................................................................................... 51
• 5.3.8. Funzioni asintotiche ..................................................................................... 53
• 5.4. Proprietà funzioni continue ................................................................................ 54
• 5.4.1. Teorema di cambio di variabile .................................................................... 55

Sommario

• 5.4.2. Teorema di continuità della funzione composta .......................................... 56
• 5.4.3. Teorema degli zeri ........................................................................................ 56
• 5.4.4. Teorema di Weierstrass ................................................................................ 57
• 5.4.5. Teorema dei valori intermedi ....................................................................... 59
• 5.4.6. Teorema di monotonia .................................................................................. 59
• 5.5. Derivate delle funzioni ........................................................................................ 60
• 5.6. Funzione derivata ............................................................................................... 61
• 5.7. Derivate notevoli ................................................................................................. 62
• 5.8. Operazioni con le derivate .................................................................................. 63
• 5.8.1. Derivata della somma ................................................................................... 63
• 5.8.2. Derivata del prodotto .................................................................................... 63
• 5.8.3. Derivata del rapporto ................................................................................... 64
• 5.8.4. Derivata della funzione composta ................................................................ 64
• 5.9. Derivata della funzione inversa .......................................................................... 65
• 5.10. Deriviabilità e continuità ................................................................................. 65
• 5.11. Ottimizzazione delle funzioni .......................................................................... 66
• 5.12. Teorema di Lagrange ....................................................................................... 68
• 5.12.1. Teorema di Rolle ........................................................................................ 69
• 5.12.2. Teorema di Cauchy .................................................................................... 69
• 5.12.3. Test di monotonia ...................................................................................... 70
• 5.12.4. Teorema di de l’Hospital ........................................................................... 72
• 5.13. Convessità e concavità di una funzione .......................................................... 73
• 5.14. Studio di una funzione ..................................................................................... 74
• 5.15. Il differenziale .................................................................................................. 74
• 5.15.1. Algebra degli .............................................................................. 76
• 5.16. Formula di Taylor-MacLaurin con resto di Peano .......................................... 76
• 5.16.1. Resto di Lagrange ...................................................................................... 79
• 5.16.2. Comportamento delle funzioni .................................................................. 80
• 5.17. Gli integrali ...................................................................................................... 82
• 5.17.1. Funzioni integrabili ................................................................................... 83
• 5.17.2. Il teorema fondamentale del calcolo integrale ......................................... 84

Sommario

• 5.17.3. Proprietà degli integrali ............................................................................ 85
• 5.17.4. Teorema della media integrale ................................................................. 86
• 5.17.5. Metodi di integrazione .............................................................................. 88
• 5.17.6. Integrali di frazioni di polinomi ................................................................ 90
• 5.17.7. Integrali generalizzati ............................................................................... 91
• 5.17.8. Integrale indefinito .................................................................................... 93
• 5.17.9. La funzione integrale ................................................................................ 94
• 5.17.10. Il secondo teorema fondamentale del calcolo integrale ........................... 94
• 6. Equazioni differenziali .............................................................................................. 97
• 6.1. Risolvere le equazioni differenziali .................................................................... 98
• 6.1.1. Equazioni a variabili separabili ................................................................... 98
• 6.1.2. Equazioni lineari ........................................................................................ 100
• 7. Serie numeriche ...................................................................................................... 103
• 7.1.1. Resto di una serie ....................................................................................... 105
• 7.2. Serie a termini non negativi ............................................................................. 106
• 7.2.1. Criterio del confronto .................................................................................. 107
• 7.2.2. Criterio del confronto asintotico ................................................................. 108
• 7.2.3. Criterio del rapporto ................................................................................... 110
• 7.2.4. Criterio della radice .................................................................................... 111
• 7.3. Serie a termini a segno variabile ...................................................................... 113
• 7.3.1. Serie a termini a segno alterno .................................................................. 115
• 7.4. Serie di funzioni ................................................................................................ 117
• 7.4.1. La serie esponenziale .................................................................................. 118
• 7.4.2. Le serie di funzioni trigonometriche elementari ....................................... 119
• 7.4.3. Serie di potenze ........................................................................................... 119

Sezione 1 - Insiemistica

1. Insiemistica

L’insieme è un concetto primitivo, non ha una definizione. Gli insiemi vengono indicati con le lettere maiuscole. Gli elementi sono le entità di cui è composti gli insiemi e vengono indicati con la lettera minuscola.

Per indicare un insieme si può usare la scrittura per tabulazione: {1, = 2, 3}

In questo tipo di scrittura l’ordine degli elementi e la molteplicità (elementi che si ripetono) non contano.

Per indicare l’appartenenza di un elemento a un insieme si usa la seguente notazione: ∈ → ∉ →

Definizione 1.1. L’insieme vuoto, indicato con il simbolo ∅, è un insieme che non contiene alcun elemento.

1.1. Relazioni

Gli insiemi posso essere messi in relazioni secondo:

• Relazione di uguaglianza: ogni elemento dell’insieme è contenuto nell’insieme e viceversa: ∀: ∈ ⇒ ∈ =→{ ∀: ∈ ⇒ ∈
• Relazione di inclusione: l’insieme contiene tutti gli elementi dell’insieme: ⊆ → ∀: ∈ ⇒ ∈
• Relazione di inclusione stretta: l’insieme contiene tutti gli elementi dell’insieme il quale contiene elementi non contenuti nell’insieme, : ∀: ∈ ⇒ ∈ ⊂→{ ∃ ∈ : ∉

Definizione 1.2. Si definisce insieme delle parti un insieme i quali elementi sono insiemi.

Insieme universo

Definizione 1.3. L’insieme universo, indicato con, è quel particolare insieme che contiene tuti gli elementi e tutti gli insiemi esistenti, compresi quindi sé stesso e l’insieme vuoto.

Gli insiemi possono essere anche rappresentati tramite i diagrammi di Euler-Venn, nella quale vengono rappresentati sotto forma di porzioni di piano.

1.2. Insiemi numerici

ℕ è l’insieme dei numeri naturali: {1, } ℕ = 2, 3, …

ℕ⊂ℤ ℤ è l’insieme dei numeri interi relativi: {+1, } ℤ = −1, +2, −2, …

ℤ⊂ℚ ℚ è l’insieme dei numeri razionali: . Contiene i numeri ℚ = { : , ∈ ℤ, ≠ 0} decimali finiti e periodici. I numeri periodici sono i numeri decimali in cui un blocco di cifre decimali si ripete all’infinito. Il periodo può essere preceduto da un antiperiodo.

ℚ⊂ℝ ℝ è l’insieme dei numeri reali: viene definito tramite la definizione assiomatica ℝ (vedi par …). contiene più i numeri irrazionali (ad es. ℝ ℚ, …). √2,

ℝ⊂ℂ ℂ è l’insieme dei numeri complessi: Il numero ℚ = { + : , ∈ ℝ = √−1}. unità immaginaria.

1.3. Operazioni tra insiemi

Tra gli insiemi è possibile compiere varie operazioni che sono:

• Intersezione: è l'insieme degli elementi che appartengono sia all'insieme A che all'insieme B: {: ∩ = ∈ ∧ ∈ }
• Unione: è l’insieme di tutti gli elementi che appartengono all’insieme A e/o all’insieme B: {: ∪ = ∈ ∨ ∈ }
• Differenza: è l’insieme di tutti gli elementi che appartengono all’insieme A ma non appartengono all’insieme B: {: } \ = ∈ ∧ ∉
• Prodotto cartesiano: In matematica il prodotto cartesiano di due insiemi e è l'insieme delle coppie ordinate con e (, ) ∈ ∈ :{(, × = ): ∈ ∧ ∈ }

Si noti che non vale la proprietà commutativa: × ≠ × . (Es: Nel caso dell’insieme ℝ, ℝ × ℝ × … × ℝ = ℝ ).

Dalla definizione di differenza definiamo l’insieme complementare di un insieme:

Definizione 1.4. L’insieme complementare, indicato con ̅, di un insieme è la differenza tra l’insieme universo e l’insieme ̅: = \.

1.3.1. Proprietà delle operazioni

Introduciamo le proprietà delle operazioni appena descritte.

Intersezione:

• Commutativa: ∩ = ∩
• Associativa: ( ( ∩ ∩ ) = ∩ ) ∩
• Idempotenza: ∩ =

Unione:

• Commutativa: ∪ = ∪
• Associativa: