Appunti di analisi matematica

ANALISI MATEMATICA 1

Parte 1 di 3

Fondamenti, limiti e continuità

Insiemi reali • funzioni • numeri complessi • limiti • successioni • continuità

Guida ai contenuti

01 Insiemi reali e linguaggio delle funzioni

02 Dominio, composizione e simmetrie

03 Numeri complessi

04 Limiti e tecniche di calcolo

05 Successioni e convergenza

06 Continuità, teoremi e asintoti

Come usare il riassunto

Ogni scheda raccoglie le definizioni essenziali, le ipotesi dei teoremi, le formule operative e

uno o più esempi svolti. Prima di applicare una regola, controlla il dominio e le condizioni che la

rendono valida.

Nota sul contenuto

Sintesi originale di ripasso degli argomenti presenti nella raccolta

“Analisi_Matematica_1_Domande_Risposte_Unico.pdf” del 9 novembre 2026 (lezioni disponibili 004–078). Non

riproduce il questionario né le dispense. Gli esempi sono sviluppati per spiegare i metodi; non costituisce una

copertura delle lezioni successive non presenti nella raccolta.

Analisi Matematica 1 · Riassunti · Parte 1 1

PARTE 1 / SCHEDA 01

Insiemi reali e linguaggio delle

funzioni

Concetti essenziali

Un insieme A è limitato superiormente se esiste M tale che a ≤ M per ogni a ∈ A. Un

maggiorante non deve appartenere ad A. Il supremo è il più piccolo dei maggioranti; l’infimo è

il più grande dei minoranti. Massimo e minimo, invece, devono appartenere all’insieme. La

completezza di R assicura che ogni insieme non vuoto e limitato superiormente abbia un

supremo reale.

M = max A ⇔ M ∈ A e a ≤ M per ogni a ∈ A.

A = (0,1): inf A = 0, sup A = 1; nessun minimo e nessun massimo.

Funzioni e immagini

Una funzione f: A → B associa a ciascun elemento di A un solo elemento di B. A è il dominio, B il

codominio e f(A) l’immagine. È iniettiva se valori uguali della funzione provengono dallo stesso

punto; è suriettiva se f(A)=B. È biiettiva se possiede entrambe le proprietà. La scelta del

codominio può cambiare la suriettività.

Esempio ragionato

f(x)=x² da R a R non è iniettiva, perché f(1)=f(−1), né suriettiva, perché non assume valori

negativi. Da R a [0,+∞) è suriettiva. Restringendo anche il dominio a [0,+∞), diventa biiettiva e

ammette inversa √x.

Da ricordare

Per dimostrare che s è il supremo non basta mostrare che è un maggiorante: occorre anche

che, per ogni ε > 0, esista a ∈ A con s−ε < a. Questo impedisce a un numero più piccolo di

essere ancora un maggiorante.

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PARTE 1 / SCHEDA 02

Dominio, composizione e simmetrie

Trovare il dominio

Le condizioni di esistenza vanno imposte insieme: denominatori diversi da zero, argomenti dei