Appunti di Analisi matematica I

Analisi matematica 1

Indice

• Concetti base
  • Teoria degli insiemi
  • Logica della matematica
  • Insiemi numerici
  • Fattoriale e coefficiente binomiale
  • Valore assoluto
  • Intervalli
  • Insiemi limitati
• Numeri complessi
  • Numeri complessi e operazioni
  • Forma trigonometrica e forma esponenziale
  • Proprietà dei numeri complessi
  • Teorema fondamentale dell'algebra
• Funzioni
  • Definizione di funzione
  • Esempi di funzioni
  • Controimmagine
  • Funzioni limitate
  • Proprietà delle funzioni
  • Monotonia
  • Funzione composta
  • Funzioni periodiche
  • Funzioni pari e funzioni dispari
  • Traslazioni nel piano
  • Funzioni con valori assoluti
• Continuità e limiti
  • Continuità di una funzione
  • Continuità di sinx e cosx
  • Limite di funzione
    • Limiti infiniti
    • Limiti per che tende a infinito
    • Limiti infiniti per che tende a infinito
    • Definizione generale di limite
  • Teorema dell'unicità del limite
  • Prolungamento per continuità
  • Intorni
  • Discontinuità
  • Limiti nelle successioni
  • Teorema di permanenza del segno
  • Teorema di limitatezza locale
  • Algebra dei limiti e forme indeterminate
  • Teorema algebra dei limiti
  • Teoremi del confronto
    • Primo teorema del confronto
    • Secondo teorema del confronto (caso infinito)
    • Secondo teorema del confronto (caso finito)
    • Corollario limitata per infinitesima
  • Teorema di sostituzione
  • Limiti notevoli
  • Forme indeterminate
  • Funzione infinitesima e funzione infinita
  • Teorema limite di funzioni monotone
  • Teoremi dei limiti di successioni
• Simboli di Landau
  • Introduzione ai simboli di Landau
  • Limiti notevoli e simboli di Landau
  • Proprietà degli o-piccoli
  • Algebra degli o-piccoli
  • Teorema
  • Gradi di infinitesima e infinita
  • Asintoti
• Proprietà globali delle funzioni
  • Teorema di esistenza degli zeri
  • Teorema dei valori intermedi
  • Teorema di Weierstrass
  • Monotonia e invertibilità
• Derivate e studio di funzione
  • Derivata e derivabilità
  • Regole di derivazione
  • Algebra delle derivate
  • Derivata di funzione composta
  • Derivata di funzione inversa
  • Punti di non derivabilità
  • Teorema tappabuchi
  • Parità e disparità delle derivate
  • Massimo e minimo di una funzione
  • Teorema di Fermat
  • Teorema di Rolle
  • Teorema di Lagrange
  • Formule dell'incremento finito
    • Prima formula dell'incremento finito
    • Seconda formula dell'incremento finito
  • Legame tra monotonia e derivata
    • Identificazione del minimo e del massimo
  • Derivate di ordine superiore
  • Classe di una funzione
  • Teorema di De l'Hopital
  • Studio di funzione
  • Convessità e flessi
  • Legame tra monotonia, derivate e convessità
• Sviluppi di Taylor
  • Sviluppi di Taylor e di MacLaurin
  • Sviluppi notevoli
  • Unicità del polinomio di Taylor
  • Operazioni tra funzioni
  • Calcolo e applicazioni degli sviluppi
• Integrali indefiniti
  • Primitive
  • Tavola di integrazione
  • Proprietà di linearità degli integrali
  • Regola di integrazione per parti
  • Regola di integrazione per sostituzione
  • Integrazione di un rapporto di polinomi
  • Scomposizione in fratti semplici
  • Rapporto di polinomi con variabile diversa
• Integrali definiti
  • Integrali secondo Riemann
  • Funzioni integrabili secondo Riemann
  • Proprietà degli integrali definiti
  • Media integrale
  • Teorema fondamentale del calcolo integrale
  • Integrale definito per sostituzione
  • Relazione tra integrali definiti e o-piccoli
  • Area compresa tra due funzioni
  • Area di funzioni pari e funzioni dispari
  • Integrali impropri
  • Proprietà degli integrali impropri
  • Criterio del confronto
  • Teorema di convergenza assoluta
  • Criterio del confronto asintotico
  • Integrali di funzioni non limitate
• Equazioni differenziali
  • Definizione di equazione differenziale
  • Equazioni differenziali del primo ordine
    • Equazioni a variabili separabili
    • Equazioni omogenee
    • Equazioni lineari
  • Teorema di esistenza e unicità di Cauchy
  • Equazioni differenziali del secondo ordine lineari

Concetti base

Teoria degli insiemi

Un insieme è una collezione di oggetti detti elementi. L'insieme si indica con lettere maiuscole, gli elementi si indicano con lettere minuscole.

L'elemento appartiene all'insieme ∈: . L'elemento non appartiene all'insieme ∉: .

Insiemi numerici:

• (0, ∞); ℕ: 1, 2, 3 … numeri naturali
• (0, ∞); ℤ: +1, −1, +2, −2 … numeri interi
• ℚ: (1/2, 1/3, … ); numeri razionali
• ℝ: numeri reali;
• ℂ: numeri complessi (o immaginari);
• ∅: insieme vuoto.

Gli insiemi possono essere descritti in due modi:

• {, } = , … , ; dove e sono elementi di
• { = | ()} () dove è un elemento di e è il predicato, la condizione affinché appartenga ad :

Si dice che è sottoinsieme di se contiene alcuni o tutti gli elementi di:

• ⊆: ; è incluso e al più coincide con
• ⊂: . è propriamente contenuto in

L'insieme delle parti (P()) è la collezione di tutti i sottoinsiemi di un insieme {1,2}. {1}, {2}, {1,2}} = P() = {∅, Es. #P() P() #P() = 2.

Il numero di elementi di è uguale a .

Il complementare di un insieme è l'insieme di elementi appartenenti all'insieme universo e non appartenenti all'insieme . {0,1,2,3} {4,5,6,7} = = ℕ = …

Es. Il complementare dell'insieme vuoto è l'insieme universo (∅ = ).

Il complementare dell'insieme universo è l'insieme vuoto ( = ∅).

Il complementare del complementare di un insieme è l'insieme stesso (()) = .

L'intersezione tra insiemi è l'insieme contenente gli elementi in comune tra gli insiemi intersecati: {, ⊆ ∩ = ∈ | ∈ ∧ ∈ }.

L'unione di insiemi è l'insieme contenente tutti gli elementi degli insiemi uniti: {, ⊆ ∪ = ∈ | ∈ ∨ ∈ }.

Proprietà degli insiemi:

• ∪ = ∩ = (proprietà di idem potenza);
• ∪ = ∪ ∩ = ∩ (proprietà commutativa);
• ∪∅= ∩∅=∅ ;
• (( ∪ ∪ ) = ∪ ) ∪ ∩ ∩ ) = ∩ ) ∩ (proprietà associativa);
• (( ∪ ∩ ) = ∪ ) ∩ ∪ ∪ ) = ∩ ) ∪ ∩ ) (proprietà distributiva);
• () = ;
• ∩ = ∅ ∪ = ;
• ( ∪ ) = ∩ ( ∩ ) = ∪ (proprietà di De Morgan).

La differenza insiemistica tra due insiemi è l'insieme contenente gli elementi di uno dei due insiemi che non sono presenti anche nell'altro insieme: { \ = ∈ | ∈ ∧ ∉ } \ = ∩ \ ≠ \.

La differenza simmetrica tra due insiemi è l'insieme contenente tutti i valori non in comune tra i due insiemi. (\) (\) △ = ∪( △ = ∪ )\( ∩ ).

Logica della matematica

Una proposizione logica è una frase alla quale si può associare il vero o il falso.

Es.

• “7 è dispari”: vero;
• “15 è un numero primo”: falso;
• “Tizio è alto”: non è una proposizione logica;
• “Tizio è alto vero.1,80”.

Le proposizioni logiche si indicano con lettere minuscole (solitamente) e si dicono predicati quando dipendono da dei parametri. () = x≥0 (2): ; (−3): Es.

I connettivi logici sono operazioni logiche applicate alle proposizioni logiche. Le operazioni logiche possono essere rappresentate tramite tavole di verità che mostrano il valore di verità del risultato dell'operazione.

“not”, negazione. È un'operazione unaria, agisce su un solo elemento. È vera quando l'elemento è falso, è falsa quando l'elemento è vero.: ¬:

Es. piove; non piove ¬V F F V

“et”, congiunzione logica. È vera solo quando sia ipotesi sia tesi sono vere. ∧ : : ∧ :

Es. piove; studio; piove e studio. ∧ V F F V V V F F F V F

“vel”, disgiunzione logica. È vera quando l'ipotesi o la tesi è vera. ∨ : : ∨ :

Es. piove; studio; piove o studio. ∨ V F V V V V F F F V V

“se… allora…”, implicazione logica. È vera quando ipotesi e tesi sono vere, ipotesi e tesi sono false o solo l'ipotesi è falsa.: : ⇒ :

Es. bevo; non guido; se bevo allora non guido ⇒ Esempio V F F

Se bevo allora guido (falso) V V V

Se bevo allora non guido (vero) F F V

Se non bevo allora guido (vero) F V V

Se non bevo allora non guido (vero)

È la condizione sufficiente affinché valga.

È la condizione necessaria affinché valga.

“Se un numero intero è multiplo di allora è pari” si può riscrivere come “se un numero intero è 4 oppure “affinché un numero sia multiplo di 4 è necessario 4” pari è sufficiente che sia multiplo di che sia pari”.

La tavola della verità dell'implicazione logica ¬ ∨ ) ¬ ⇒ ¬ è uguale a quella di (non o e di ). (se non allora non ¬ ¬ ∨ V F V F V V F V F F V F V

“Se bevo allora non guido” si può leggere come “non bevo oppure non guido”. ¬ ¬ ¬ ⇒ ¬ V F V F F V V F F V V

“Se bevo allora non guido” si può leggere come “se guido allora non bevo”.

“… se e solo se…”, equivalenza logica. È vera quando ipotesi e tesi sono entrambe vere o ↔ entrambe false.

Es. “un numero è dispari se e solo se il suo quadrato è dispari”. ↔ V F F V V V F F V F

È condizione necessaria e sufficiente di

Esistono diversi modi per dimostrare delle proposizioni logiche:

• ⇒ ; modus ponens: si parte da e e si dimostra
• ¬ ⇒ ¬ modus tollens (contronominale): si dimostra che (si suppone falsa la tesi e si che è falsa l'ipotesi). dimostra

Es. se un numero naturale è dispari allora non è divisibile per 10.

Dimostrazione: si prende un multiplo di 10 (¬) e si dimostra che non è dispari (¬);

• ⇒ ∧ ¬ ⇒ ¬ dimostrazione per assurdo: si dimostra che è equivalente a (si suppone vera l'ipotesi e falsa la tesi, dimostrando così che l'ipotesi è errata).

Quantificatori:

• Universale, “qualunque”; ∀:
• Esistenziale, “esiste”; ∃:
• “Esiste ed è unico”. ∃!:

Leggi di De Morgan:

• ¬( ∨ ) = ¬ ∧ ¬( ∪ ) = ∩
• ¬( ∧ ) = ¬ ∨ ¬( ∩ ) = ∪
• ¬(∀, ()) = ¬())(∃, ¬(∃, ()) = ¬())(∀,

Se si scambia l'ordine di due quantificatori uguali non cambia nulla (∀ ∀, (, ) = ∀ ∀, (, )), ma scambiare l'ordine di due quantificatori diversi può portare a proposizioni logiche diverse. (, ) = ≥y , ∈ ℕ

Es. ∀ ∃ | (, ): ≥ preso un qualunque numero esiste un valore tale che (vero)

∀ ∀ | (, ): , preso un qualunque numero qualunque valore è minore o uguale a (falso)

∃ ∀ | (, ): , ≥ esiste un numero tale che, preso un qualunque valore (falso).

Insiemi numerici

Numeri naturali (0, 1, 2, 3…) ℕ: (ℕℕ = ℕ\{0}): numeri naturali escluso 0

Nell'insieme dei numeri naturali, somma e prodotto sono operazioni chiuse: la somma di due numeri naturali dà come risultato un numero naturale; il prodotto di due numeri naturali dà come risultato un numero naturale. ℕ:

Rappresentazione grafica di 0 1 2 3 4 5 6

I numeri naturali possono essere espressi in due differenti notazioni:

• −1 −2 0 ⋅ 10 + ⋅ 10 + ⋅ 10 + ... + ⋅ 10
• Notazione decimale: −1 −2 03 2 1 01023 = 1 ⋅ 10 + 0 ⋅ 10 + 2 ⋅ 10 + 3 ⋅ 10 Es.
• Notazione binaria: 4 3 2 1 011011 = 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 2 + 0 ⋅ 2 + 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 2 Es.

ℤ: numeri interi (0, +1, -1, +2, -2…)

Nell'insieme dei numeri interi, la somma è un'operazione chiusa: la somma di due numeri interi dà come risultato un numero intero. L'inverso della somma è la differenza, anch'essa operazione chiusa. ℤ:

Rappresentazione grafica di -3 -2 -1 0 +1 +2 1 1 3

ℚ: ( , , … ) = | ∈ ℤ ∧ ∈ ℕ{ } numeri razionali +2 3 4 10 5

I numeri razionali sono scritti nella forma più semplificata possibile (es. si scrive ). 4 2

Nell'insieme dei numeri razionali, somma e prodotto sono operazioni chiuse: la somma di due numeri razionali dà come risultato un numero razionale; il prodotto di due numeri razionali dà come risultato due numeri razionali. L'inverso di somma e prodotto sono rispettivamente differenza e rapporto, anch'esse operazioni chiuse. 7̅1,56; 2,

In tutti i numeri razionali, la parte a destra della virgola termina o è periodica (es. ).

Presi due numeri razionali, esiste sempre un altro numero razionale compreso tra essi (es. la media di due numeri razionali è a sua volta un numero razionale).

ℚ: Rappresentazione grafica di 110 ¼ ½ 1

ℝ: numeri reali L'insieme dei numeri reali comprende tutti gli insiemi precedentemente citati e i numeri irrazionali, √2 ovvero tutti quei numeri non descrivibili tramite frazioni (es. ). √2

Per dimostrare che è un numero irrazionale, si procede con la dimostrazione per assurdo. ∈ ℚ = | ∈ ℤ ∧ ∈ ℕ √2 √2

Si suppone che + 2 2= ⇔ = ⇔ 2 = √2 √2 2 22 2

Essendo un numero pari, anche e lo sono. possiamo indicarlo come (notazione di 2 2 2 2 2 2 2 = 4 4 = 2 ⇔ = 2 un numero pari), e, di conseguenza, , pertanto : anche esono pari. 2,

Se davvero e fossero numeri pari, si semplificherebbero, dividendo entrambi per e non si √2 otterrebbe { {ℝ = ℚ ∪ ℚ } ∪ }

Si può dire che

I valori trascendenti sono tutti quei numeri che non possono essere soluzioni algebriche di. polinomi, come ed dà come risultato l'insieme dei numeri irrazionali, numeri nei quali le ℝ\ℚ

La differenza insiemisticacifre a destra della virgola non si ripetono periodicamente. ℚ ⊂ ℝ, ℝ,

Essendo si dice che i numeri razionali sono densi in ℝ, ovvero presi due numeri reali, esiste sempre un numero razionale compreso tra essi: , ∈ ℝ ∃ ∈ ℚ | < < ℝ, ℚ