Appunti Analisi 1

Numeri e funzioni

Insiemi numerici

• 1) Numeri naturali {0,1,2…} ℕ = Assioma di Peano: esiste un numero = 0; ogni numero ha un successivo, 0 non è successore di nessuno;
• 2) Non è sempre possibile la differenza quindi ci sono i numeri relativi {0,1,-1,2,-2…} ℤ =
• 3) Non è sempre possibile la divisione quindi ci sono i numeri razionali ℚ = { , , ∈ , ≠ 0}34)
• 4) Non tutti i numeri possono essere scritti come frazione (√2, ) quindi si introducono i numeri, √5 irrazionali ()

Dimostrazione per assurdo

Dimostrazione per assurdo che non appartiene a Q √2 Hp: { , , ∈ , ≠ 0} Ts: Vera ∉ √2

Dimostrazione ¬√2 ∈ ∈ ⇔ = √2 √2 2 Quindi ; 2 = ; ; poiché m è multiplo di 2 allora è pari quindi ; 2 2 2 2(2)= = 2 = 2√2 2 ; n è pari poiché è un multiplo di 2 quindi 2 2 2 24 = 2 2 = = 2 ∧ = 2

Sono entrambi pari quindi hanno il fattore 2 in comune Assurdo.

• 5) Ci sono poi i numeri reali con i quali vengono coperti tutti i punti della retta;
• 6) Non è possibile estrarre le radici ad indice pari di numeri negativi quindi si introducono i i è l’unità immaginaria: cioè 2 2 ℂ = {a + ib, a, b}. ⅈ = + 1 = 0; = −1; = = ±1 √−1 √−1;

Forme dei numeri complessi

Esistono varie forme:

• Forma algebrica = + ⅈ a è il coefficiente della parte reale e b è il coefficiente della parte immaginaria.

Operazioni

Somma o ( ( (+ ⅈ) + + ⅈ) = + ) + ⅈ( + )

Prodotto 2 o ( ( (+ ⅈ) ∗ + ⅈ) = + ⅈ + ⅈ + ⅈ = − ) + ⅈ( + )

Coniugato coefficiente immaginario opposto o = + ⅈ ̅ = − ⅈ

Proprietà:

• ̅̅̅̅ (̅) = = + ⅈ ̅ = − ⅈ
• ( ( + ̅ = 2 + ⅈ) + − ⅈ) = 2
• ( ( + ̅ = 2ⅈ + ⅈ) − − ⅈ) = + ⅈ − + ⅈ = 2ⅈ2 2 2 2 2 2
• ( ∗ ̅ = + + ⅈ)( − ⅈ) = − (ⅈ) + ⅈ(− + ) = + ̅̅̅ si moltiplica e divide per il coniugato del denominatore
• 1 2 ∗ ̅̅̅ 2 2

• Forma trigonometrica = ( + ⅈ ⅈ )

Da algebrica a trigonometrica > 0 > 0 ( ) 2 oppure 2 2 = + = { = o prendere valore in base al √ { ( )3 se b < 0 actg + se a < 0 ( ) 2 quadrante in cui sono a e b

Operazioni:

Prodotto o ) )] ∗ = ∗ [cos( + + ⅈ ⅈ( + 1 2 1 2 1 2 1 2

Divisione 1 1 o ) )]= [cos( − + ⅈ ⅈ( − 1 2 1 2 2 2

Potenza o = [() + ⅈ sin()]

Radice o √ = ⇔ = +2 +2

Troviamo quindi w = √ [cos + ⅈ ⅈ( ) ( )] k = 0,1,2+n-1 ed è il numero di soluzioni della radice (cioè n) poi si fa , , , 0 1 2 −1

• Forma esponenziale ∗ = ∗ e si calcolano come per la forma trigonometrica.

Funzioni

Una funzione è una relazione che associa ad ogni elemento di X uno e un solo elemento di Y: → X è il dominio (asse x), cioè l’insieme dei i valori in cui f esiste, e Y è il codominio (asse y), cioè l’insieme delle immagini di f (solitamente ). Le immagini sono i valori assunti da f nel + − ℝ, ℝ , ℝ dominio, ma non per forza coincide (ma lo si può far coincidere). ⊆

• Iniettiva: si dice iniettiva se ad elementi diversi di X corrispondono elementi diversi di Y: →
• Suriettiva: si dice suriettiva se ogni elemento di Y è immagine di almeno un elemento di: → X;
• Biunivoca o biiettiva: si dice biunivoca se è sia iniettiva che suriettiva: → con: → , : → ⊆ = → : → −1 : →

Da qui nasce la che associa ad ogni elemento l’elemento stesso −1 → () → (()) = ad ogni elemento x associa x stesso (: −1 −1 −1 = → , : → : → ) ad ogni elemento y associa y stesso (−1 −1 −1 = : → , : → , : → )

Continua e strettamente monotona Hp: → ℝ ⊆ ℝ ⅈ Tesi. f è invertibile e è continua −1

Somma, differenza, divisione, composizione e inversa tra funzioni continue danno come risultato ancora una funzione continua.

Funzioni limitate e monotonia

• Funzione limitata superiormente ∃ ℝ: ≥ () ∀ ∈ M è il maggiorante ma se fa parte della funzione è chiamato massimo. è un punto di massimo assoluto se è invece un punto di massimo ) = ( ≥ () ∀ ∈ ,0 0 relativo se )( − , + ): ( ≥ () ∀( − , + )0 0 0 0 0
• Funzione limitata inferiormente ∃ ℝ: ≤ () ∀ ∈ m è il minorante ma se fa parte della funzione è chiamato minimo. è un punto di minimo assoluto se è invece un punto di minimo ) = ( ≤ () ∀ ∈ ,0 0 relativo se )( − , + ): ( ≤ () ∀( − , + )0 0 0 0 0
• Funzione limitata se è limitata sia superiormente che inferiormente
• Crescente se ) ) ∀ , ∈ < ⇔ ( ≤ (1 2 1 2 1 2
• Strettamente crescente se ) ) ∀ , ∈ < ⇔ ( < (1 2 1 2 1 2
• Decrescente se ) ) ∀ , ∈ > ⇔ ( ≥ (1 2 1 2 1 2
• Strettamente decrescente se ) ) ∀ , ∈ > ⇔ ( > (1 2 1 2 1 2
• Pari se Simmetrica rispetto all’asse y (ascisse) (−) = () ∀ ∈ .
• Dispari se Simmetrica rispetto all’origine degli assi. (−) = −() ∀ ∈ .

: ⊆ ℝ → ℝ ∃ > 0: ( + ) = () ∀ ∈ : ⊆ ℝ → ℝ ∈ 0

Continuità

f è continua in se e solo se ) lim () = ( 0 0 → 0

f è continua i X se è continua ∀ ∈ I punti in cui la funzione non è continua sono chiamati. Ce ne sono tre tipi:

• 1. Eliminabile: se ∃ lim () ≠ ( )0 → 0 () ≠ 0 = {() = 0 Eliminabile perché basta cambiare il valore di c
• 2. Prima specie: finiti e ma sono diversi tra di loro. Cioè ∃ lim () lim (), ∄ lim () −+ → → → 000 || ≠ 0 () = { 1 = 0 ⅈ () = ⅈ () 1 = 1+ + → 0 → 0 ⅈ () ⅈ → 0— 1 = −1− → 0 () = 1
• 3. Seconda specie: almeno uno tra e o non esiste oppure è ∞.lim () lim () −+ → → 00

Teoremi sulle funzioni continue

1. continua Hp[,: ] → ℝ Tesi. max assoluto e min assoluto di f ∃

Se f non è continua ovviamente non vale.

2. continua Hp1[,: ] → ℝ Hp2() ∗ () < 0 Tesi. ) ∃ [, ]: ( = 00 0

Se f(a) e f(b) sono discordi allora, per passare da un quadrante all’altro, interseca in almeno un punto l’asse delle y.

Applicazione per approssimare il risultato di equazioni trascendenti e + = 0; e = −

Disegniamo i due grafici per vedere dove si incontrano, usando il teorema scegliamo un intervallo seguendo il grafico continua ma [−1,0] [, [−1,0]?() = e + : → ℝ ] =

Controlliamo che siano dispari 1 −1 (−1) = e − 1 = − 1 < 0 ⅇ 0 (0) = e + 0 = 1 + 0 = 1 > 0

Quindi ) ∃ [−1,0]: ( = 0.0 0

Per approssimare in modo migliore si può ridurre l’intervallo dividendolo in due e operando come ora.

3. continua Hp1[,: ] → ℝ Tesi. f assume tutti i valori compresi tra min assoluto e max assoluto

Dimostrazione:

Per il teorema di Weierstrass ) ) ∃ , [, ]: ( = min () , ( = max ()1 2 1 2 [,] [,]

Prendiamo un valore l compreso tra min e max ) ) ∀: ( < < (1 2) ∃ [, ]: ( = 0 0

Prendiamo un’equazione ausiliaria con il dominio nell’intervallo d’interesse [ ]() = () − : , → ℝ1 2

Allora <0 perché ) ) )( = ( − > (1 1 1 perché ) )( ) = ( − >0 < (2 2 2

Sono discordi quindi, per il teorema di esistenza degli zeri applicato a g in [ ], 1 2]: ) ) ) ∃ [ , ( = 0 ⇒ ( − ; ( = 0 1 2 0 0 0

4. continua Hp[,: ] → ℝ Tesi. f è uniformemente continua

Partiamo dalla definizione di continuità. Sappiamo che f continua in X se continua quindi se ∀ ∈ ,0

Otteniamo che f è continua in X se: ∀ ∈ lim () = ( ).0 0 → 0

( ) ) ∀ ∈ ∀ > 0 ∃ > 0: ∀ ∈ , ∈ − , + ) ⇒ ( − < () < ( + 0 0 0 0 0

Quindi la continuità dipende da e .0

f si dice uniformemente continua in X se: ( ) ) ∀ > 0 ∃ > 0: ∀, ∈ ∈ , ∈ − , + ) ⇒ ( − < () < ( + 0 0 0 0 0

Quindi l’uniforme continuità dipende solo da In generale se f è uniformemente continua allora sarà continua ma non il contrario.

Derivabilità

Hp(, (,: ) → ℝ ∈ )0 )() − ( Tesi. f è derivabile in se esiste finito. Questo limite è ′0 ( ) lim derivata nel punto 0 0 − → 00

)() − ( è il rapporto incrementale ( ) che può anche essere scritto come 0 − 0 )( + ℎ) − ( .0 0 Cioè e = + ℎ − = ℎ0 0 ℎ

I punti in cui la funzione non è derivabile si chiamano. Sono 3:

• 1. Punti angolosi: finite e ma non coincidono oppure è finito e è +′ −′ −′( ) ( ) ( ) ∃ 0 0 0
• 2. Flesso a tangente verticale: +′ −′( ) ( ) = = ±∞0 0
• 3. Punti a cuspide verticale: e (o viceversa) +′ −′( ) ( ) = +∞ = −∞0 0

Hp(,: ) → ℝ Tesi. f si dice derivabile in (a, b) se è derivabile in ogni punto dell’insieme.

f derivabile in (a, b) Hp Tesi. ′ (): (, ) → ℝ ′ () → associa ad ogni punto della funzione la derivata prima

Hp1(, (,: ) → ℝ ∈ )0 derivata destra, derivata sinistra Hp2 +′ −′( ) ( ) = lim () = lim ()0 0 −+ → → 00

Tesi. f è derivabile in se e solo se e finiti e coincidono ′ −′( ) ( ) ∃ teorema di esistenza del limite 0 + 0 0

derivabile Hp1(,: ) → ℝ Hp2 ′ ′( ): (, ( ) ) → ℝ → 0 0 0

Se è derivabile in (a, b)′ Tesi. ′′ ( ): (, ) ) → ℝ → ′′( e così via. Una funzione può essere infinitamente derivabile (seno, coseno)0 0 0

Continuità e derivabilità

derivabile in Hp(, (,: ) → ℝ ∈ )0 Tesi. f è continua in se è continua in non sarà per forza derivabile 0 0 0

Dimostrazione

Partiamo dalla tesi )lim () = ( 0 → 0

Sommo e sottraggo moltiplico e divido per ), ))( ( − ( 0 0 )() − ( Poiché è sono uguali, per definire la continuità possiamo 0)() = ( + ( − ).0 0 − 0 )() − ( fare il limite del secondo membro: 0) ( ) ).lim ( + − = ( 0 0 0 − → 00

Quindi )lim () = ( 0 → 0

Interpretazione geometrica della derivata

)) = ( , ( = ( + ℎ, ( + ℎ))0 0 0 0 0

Per due punti passa una retta con equazione ) − − − − (1 1 0 0 = ; = ) − − + ℎ − ( + ℎ) − (2 1 2 1 0 0 0 0

Moltiplichiamo per e leggiamo da dx a sx )( + ℎ) − (0 0 )( + ℎ) − (0 0) ( ) − ( = − 0 0 ℎ

Notiamo il rapporto incrementale come coefficiente angolare della retta secante.

Se si fa tendere a , quando i due punti si 0 sovrapporranno, la secante, che si sposta via via, diventerà tangente ai punti. Per fare ciò: )( + ℎ) − (0 0 ′ ()lim = ℎ → h

Si ottiene quindi La derivata è il coefficiente angolare della retta tangente. ′) ()( ). − ( = − 0 0

Tabella derivate funzioni elementari ′ 1 ′() ∗ () − () × () . ′ ′ ′ ′ ′ ′( () () (), ( () () (), () ± ) = ± ∗ ) = ∗ () + () ∗ = ( ) 2[()]

Hp1(, (,: ) → ℝ, : ): ℝ f derivabile in e g derivabile in Hp2 e Hp3(, (, ∈ ) ∈ )0 0

Tesi. è derivabile in e ′ ′ ′() ( ) )) ( ) = (( ∗ 0 0 0 0

Derivata dell'inversa

continua e strettamente monotona Hp1(,: ) → ℝ f derivabile in e Hp2 ′(, ( ) ∈ ) ≠ 00 0 1 −1

Tesi. è derivabile in e −1 ) ) = ( ( )( = 0 0 0 ′ ( ) 0

Dimostrazione

è continua e strettamente monotona in (a, b) ⇒ f è invertibile e continua. −1

Invertibile poiché biunivoca perché la continuità garantisce la suriettività e la monotonia garantisce l’iniettività.

Verifichiamo che sia derivabile tenendo conto che e, in