Appunti Algebra lineare

Cap1 algebra lineare

Matrici e sistemi lineari quadrati

è e di tutte un un e a.deDEF lineari sistema grado considerate lineare simultaneamente insieme primo è detto sistema DEF se un ammette almeno compatibile una soluzione lineare se non soluzioni ammette incompatibile due le hanno se DEF sistemi lineari stesse sono soluzioni esattamente equivalenti del esercizio PER CASA si sta stabilire o lineare se esistono soluzioni Gzytz. sz. za Rallo scalare spazio prodotto introduzione norma caso noto na a del Yr eu vettori uu applicati piano nell'origine IIIY IIutw2 sorta di vettore R fa R w Luno scalare u PER uee uU prodotto K esempio e R' con lelo è che di scalare vedremo e uno spazio vettoriale uno per prodotto spazio somma operazioni IBASE ICANONICA e Es Ye useatusedadinate una di v11il usa o vettore un norma e Lunghezza lunghezza o innossi no o iltuwii ilWiiiluttriangolare e disuguaglianza ha wilw wscalare null cosa e uv prodotto ha cosa ma wto ouswe ma vettori infatti u cu.wso ocv.ws osi o.

Ortogonali

ORTOGONALI supponendo usa per calciare cv.ws aw van a scalare formula prodotto il v11 tra vusitut.vus.uascalare e vcu.ustuavarelazione norma prodotto R' è la di base canonica ortonormale esempio l'esito les slleall1 sf ve in caso generale Yu ngvie per è nerIth perIt uno uno re scalare somma prodotto spazio vettoriale pdiR en BASE EfCANONICA o esto ortonormale è dei erte vettori una lineare e convi un coefficienti en in combinazione tunenvsestuaeatf ppp tuytua.ggofRes e en è adati a una e ce.esDEF scavare prodotto uswstvawatnumero pwy allora ato saato se a scalare v e o proprietà prodotto vais Voiture non una warnnun twivale la via anche nune in triangolare disuguaglianza di due di tra vettori a scalare cavaysatwarz relazione disuguaglianza prodotto norma neri ha lavi unsi astenuti Alle.

Matrici

Introduzione

MATRICI INTRODUZIONE è di realita na DEF una matrice ordinati una numeri colonne righe e per dime n colonne dirigere numero numero az aare an III nesa demertocenaenti monais ais A matrice ainaiai ans am am ERoss nein se matrice à colonna vettore particolare la rigamese matrice aandimatrici elementosonno elemento per per a prodotto per ono scalare neri monpacotottigueenenti somma 1H2101 aa è e dile scarce e uno uno per spazio vettoriale Mm con somma prodotto operazioni man matrici BASECANONICA 00 000oIio 10o 00.

Prodotto di matrici

DIMATRICI PRODOTTO ma dimensioni compatibili servono in alconica si posso faeu prodotto di a matrici facile caso matrice riga e matrice colonna prodotto BA e EM.HRMantelasa an è È AB Casa tanaadstadtan È in caso vettore per matrice intermedio prodotto AEMm.HR eranaera ato ent essere scritto intoria matriciale può quinde asistineare dime aassasa an incognite aisaiaainaanan a AEM a DEI MATRICE COEFFICIENTI it IERI DI VETTORE INCOGNITE amstam ammanam era vettore DETERMININO AA A _eusiste esercizio risolvere I211a a esercizio 84 4 Esistorogeneo a di del caso matrici GENERALE prodotto AEmma EBA CBen 2stoa asto è a Boss non non dimensioni calcolare compatori perchè possibile.

Proprietà prodotto matrici

PROPRIETÀ MATRICI PRODOTTO M MA CR aR e CaBB BcEEe cMm ASSOCIATIVA a AB BaaBtc ac Btc ca alla somma distributiva rispetto matrici e TRIANGOLARI QUADRATE handi Def ordine en una n onnmatrice righe colonne QUADRATA an an an AA reMan ah diagonale principale an ann proprietà speciali matrici quadrate è è è che aB Ba ab.ba detto ma l'unico in cui sia sia non caso possibile calcolare II IA BYes ABY B.AEdel cioè tale che A a taa eI II une Inesiste neutro matrice identita l'elemento prodotto IT determinante ha che è dee zeri la tutti triangolare sotto una matrice una matrice quadrata diagonale principale superiore aareana di.

Sistemi lineari

Risoluzione triangolari

SISTEMI LINEARI Risoluzione TRIANGOLARI la Def dei matrice sistema un coefficienti triangolare LINEARE TRIANGOLARE anno assistant dattaa anniaAess 1 2 II B3 incompatibile zytzsfi.IEG INEI3 staes x cosa drasticamente succedendo aytz.se z32 6 3 nera2e 32 1az vere variante condizioni ridondante incognite nera cenano variante yet consideroydallasala z ricavo staystata p del sistle a sanzioni a te sono a variare parametri daaha oo soluzioni soluzioni parametro dipendenti sistema questo lineari dei sistemi teorema triangolari risoluzione A REMan TRIANGOLARE a ai eran ha sistavia uiaito ea1 alloranse sia unica soluzione qualunque a tutta nona non non singolare diagonale principale eri ha asist è la a e alcuni a zero 2 se per almeno incompatibile diagonale singolare principale eri altri asist hae per o sanzioni risoluzione di SistLin e metodo di eliminazione di Gauss quadrati è A adee un e con matrice quadrata sistema LINEARE QUADRATO asnx.esassist È è anni di metodo Gauss eliminazione sist.incon risolvere parametri a0 è es aI risolvere variare dia di apiù avanti per sist non matrice una ciappuccineare calcolare vettoriale e calcolare per quadrati rango sottospazio s atalechedato sist a a un sist.si con strategia matrice cerchiamo un matrice con quadrato triangolare sise sist equivalenti S AI esempi so cerone scambiare è concesso sx tassos a psa triangolare 3astas è s ma s non a mangiare equivalente te di ssua al Axesi metodo Gauss sistema questo motivo associata matrice per completa operadeaanAle 9 È annanstassosx è riga s2 per un da zero una num diverso moltiplicare concesso tatast ta3 sisegata esempio tacevas on s sss ss os s a manzo cosa se succede o fattasi ho la unneoaaaapere moltiplicato unica ottengo a a o asui sistemi lemma FONDAMENTALE EQUIVALENTI tanno aut ataxs reoisistineari sono s'go.int equivalenti perchè ambteca.at a anno anni ten Batt1.

Dimostrazione

DIMOSTRAZIONE di che devo sé a si soluzione dimostrare soluzione ogni di si è a soluzione soluzione ogni annitanvnche aesiasowzonedes Bsvatvnvs favstgasvstsupponiamo Bnme bBruBavariavat telavatB atannBrun o quindi siu è di soluzione ancora cioè sidisia w a soluzione_con quindi anno against s'e'equivalenti go.int rcswat.i.tbnwn.esbstelaswat.i.tanwn.atabout.itbnwn poiché re posso dividere perniazaean è a soluzione ossi si appuca a che asistapiazeale sua dette matrice elementari completa sono.

Operazioni elementari

Riassumendo concesse scamacrearigene operazioni operazioni o moltipuccremarga per ummerosostituire marga con ia somma denanga stessa e amiattariga Def di chiama di per sistere quadrata si Gauss dansistiquadrato scon matrice a eliminazione trasformazione procedimento resist asi con matrice mediante operazioni elementari equivalente triangolare as esempio è Gantz aa z 03un 121 da in considerolamatrice compieta sanganuanata IIIIIII o3 sa sosansa ah nsansa sanganuanata o o sostanza sangatransa vogliono area A' non toni zero e' singolare voglio for comparire zenava ha ax e quindi sistema soluzione quannavesiaders unica la AI anche unica sanzione quindi vera defidata aernnarsauadratachanoalamatricemangolareotterotadaarante eliminazione acauss è detta altrimenti singolare Aé detta non singolare segue rementis uu adagonaie prinapale asonoton nonnoni A è 112 esempio singolare a a13a o1 001o teorema di sisti risoluzione quadrati a s sara dei è di una ee allora sia a quadrata matrice un sistema unica soluzione coefficienti non singolare a dimostrazione adassi achiamo tramite Gauss sistema eliminazione triangolare ottenuto ha sierasist sal unica su unica fondamentale lemma soluzione soluzione equivalenti grazie ha è tutta dala di sist aal si nona teorema unica soluzione non non risoluzione diagonale triangolari grazie principale singolare ha A ossi da la non a sist caso almeno soluzione oo quadrati particolare omogenei sempre dal A è e solo non non teorema a ma soluzione singolare precedente è A soluzioni singolare o.

Determinante di matrici quadrate

DI MATRICI DETERMINANTE QUADRATE è la aad data è a data con e matrice quadrata un o passione associare numero proprietà ogni singolare forma a calcia con densita determinate si una ricorrenza per detare caso na an azz aria assias andet annscaso anan assi del deltassi detta anas an asas a a e mae a aa daa sariga a latesinala la dimanda ottenuta e matrice notazione cenano colonna È tuaa Def ea data è data andata andata e di lapace andata formula conse manca anaso a aetas ingoia riga prma Eatil è diaosdata detto cofattore o algebrico numero complemento sdata sdet datatosfaa a211 a aaasa sdea nono esempio singolare sedete1 I 1a 0 0dete esempio Io datadeta a3 3o s o.

Proprietà del determinante

DEL PROPRIETA D ETERMINANTE detIn In1 identità matrice aha A è data datase a ain uguali oo righe colonne particolare o singolare has A data1 tutta nonase o colonna riga on'è daa dataa dataase scavando ottenuta colonne righeo r non a detsola tutta la sola kesesimonaca puote corona una viene un matrice seouna per riga quindi per per a mompucato numero detta andata A è detase assa ann triangolare b è ad diariana dedaa allora se a ununa detto ottenuta multiplo sommando riga riga B detadetb di Binet detta Teorema e DI LAPLACE TEOREMA FORMULA vitesr daaai la iun sia A e sia esima matrice n e ottenuta colonna esima dimenando riga G dai data chiama algebrico si cofattore o complemento ai Il fainaessiilo datadela riga è is datala dettin aesima asceta detain per piace ai per ogni ai in sviluppo fatta fatta è lo dela datalan detti colonna tes esittantaetanttesina a aetas per piace per ogni aetasai sviluppo.

Matrici invertibili

Calcolo inversa

EMATRICI INVERTIBILI CALCOLO INVERSA r è di sia al'inverso un a numero è o l'unico numero non invertone seotea tase ax ao t t.