Appunti di Algebra lineare

Vettori

Un vettore è un segmento orientato.

Ogni vettore ha una direzione, un verso e un modulo.

Due vettori si dicono paralleli se hanno la stessa direzione.

Due vettori si dicono uguali se hanno la stessa direzione, lo stesso verso e lo stesso modulo.

Due vettori si dicono opposti se hanno la stessa direzione, lo stesso modulo e verso opposto.

Dati due punti che indicano l’inizio e la fine del vettore noi li indichiamo con ⇛AB.

La somma di due vettori non paralleli è la diagonale del parallelogramma che ha i vettori per lati.

In sistemi di coordinate i vettori possono essere scritti come ⇛OP dove O è l’origine.

Se le coordinate di P sono (x₁, ..., x_m) allora ⇛OP = (x₁, ..., x_m).

Vettori

Un vettore è un segmento orientato.

Ogni vettore ha una direzione, un verso e un modulo.

Due vettori si dicono paralleli se hanno la stessa direzione.

Due vettori si dicono uguali se hanno la stessa direzione, lo stesso verso e lo stesso modulo.

Due vettori si dicono opposti se hanno la stessa direzione, lo stesso modulo e verso opposto.

Dati due punti che indicano l'inizio e la fine del vettore noi li indichiamo con _A^→_B.

La somma di due vettori non paralleli è la diagonale del parallelogramma che ha i vettori per lati.

In sistemi di coordinate i vettori possono essere scritti come _O^→_P dove O è l’origine.

Se le coordinate di P sono x₁, ... x_m allora _O^→_P = (x₁, ... x_m).

In ℝ² i vettori si indicano con. In ℝ³ i vettori si indicano con.

La somma di due vettori è quindi:

Il modulo di un vettore è.

Moltiplicazione con scalare

La moltiplicazione con scalare è:

• La direzione è quella di.
• Il modulo è.
• Il verso è uguale a se, opposto a se.
• Indica un vettore di lunghezza 1 con direzione e verso di.
• Indica l'opposto di.
• È il vettore di modulo 0.

Dati due punti P e Q il vettore compreso tra di essi si trova.

Il prodotto tra due vettori può essere scalare o vettoriale in base al tipo di risultato che restituisce.

Prodotto scalare

Il prodotto scalare tra due vettori e:

• Si indica con.
• Se → equivale anche a dove d è l'angolo compreso tra e.
• Se è perpendicolare a allora.

Prodotto vettoriale

Il prodotto vettoriale tra due vettori:

• Si può fare solo a partire da.
• Si indica con.
• Restituisce un vettore perpendicolare sia a che a.

In si trova:

Il modulo è: dove d è l'angolo compreso tra e.

Se è parallelo a allora.

La proiezione di un vettore lungo la direzione di un vettore:

Si indica con.

Matrici

Una matrice è una tabella m×m contenente numeri ∈ ℝ.

Si indica con.

Dove _ij... sono gli elementi della matrice e i, j indicano gli indici di righe e colonne.

Dove n è il numero di colonne e m il numero di righe.

Una matrice m×1 corrisponde ad un vettore.

L'insieme delle matrici m×1 si chiama ℝⁿ.