Appunti seconda lezione analisi 1

Teorema

A ⇒ B (A implica B)

Premessa ⇒ Conseguenza

(Tutte le volte che succede A succede anche B)

A ⇒ B

Ipotesi ⇒ Tesi

Se un triangolo T è rettangolo [Ipotesi] allora il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei cateti [Tesi]

In questo es. è vero anche il teorema inverso:

Scambio tra ipotesi e tesi

Se in un triangolo T il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei cateti allora il triangolo T è rettangolo

Teorema

(A implica B)

(Tutte le volte che succede (A) succede anche (B))

Premessa conseguenza

Ipotesi tesi

Se un triangolo T è rettangolo [Ipotesi] allora il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei cateti [Tesi]

In questo es. è vero anche il teorema inverso:

Scambio tra ipotesi e tesi

Se in un triangolo T il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei cateti allora il triangolo T è rettangolo

Modi per esprimere A ⇒ B

A ⇒ B si esprime a parole in diversi modi

• A è una condizione sufficiente affinché accada B

Es. se Q è un quadrato allora Q è un rettangolo

(È suff. che Q sia un quadrato affinché sia un rettangolo)

• B è una condizione necessaria affinché accada A

Nell'es. precedente, il fatto che Q sia un rettangolo è necessario affinché Q sia un quadrato

Segue che: se dico che A è c. sufficiente e necessaria per B significa che

A_suff × B

A_mecc × B

A ⇒ B

B ⇒ A

A ⇔ B

• A vale se e solo se vale B

A vale se vale B    B ⇒ A

A vale solo se vale B    A ⇒ B

A ⇒ B    Teorema diretto

B ⇒ A    Teorema inverso

Non A ⇒ non B    Teorema contrario

Teorema diretto, inverso, contrario e contronominale

Se P è pari ⇒ P² è pari    T. diretto

Se P non è pari ⇒ P² non è pari

Se P è dispari ⇒ P² è dispari    T. contrario

Non B → non A    T. contronominale

Se p è pari → p² è pari    T. diretto

Se p² è dispari → p è dispari    T. contronominale

Osservazione

Il T. inverso è contronominale del teorema contrario

Il T. diretto è vero se e solo se è vero il suo T. contronominale

Es. diretto: Se Q è un quadrato → Q è un rettangolo

Inverso: Se Q è un rettangolo → Q è un quadrato

Contrario: Se Q non è un quadr. → Q non è un rett.

Contrario: Se Q non è un rett. → Q non è un quadr.

Es. se p è un intero, p è un multiplo di 3 se e solo se p² è multiplo di 3

Es. È vero l'es. precedente, se sostituisco 3 con 4?

Numeri razionali e irrazionali

Se il punto x corrisponde a un numero (razionale) allora, per Pitagora, deve essere x² = 2 (→ x² = 1² + 1² = 2)

Teorema: ∄ alcun numero razionale x tale che x² = 2

Teorema che serve x dimostrare un teor. più importante

Lemma

∀ p ∈ ℤ, p è pari se e solo se p² è pari

• P ∈ ℤ e p è pari ⇒ p² è pari
• P ∈ ℤ e p² è pari ⇒ p è pari

Dimostrazione

• Non potendo prendere tutti gli infiniti numeri interi pari, per controllare se i loro quadrati sono pari, prendo un generico numero pari

Scrivo il generico numero pari: p = 2m, m ∈ ℤ

È il doppio di un intero ← p² = (2m)² = 4m² = 2 (2m²) ∈ ℤ

↓

È quindi p² è pari.

Dimostrazione del teorema contronominale

Se p ∈ ℤ e p² è pari ⇒ p è pari

Equivalentemente, dimostro il teorema contronominale, se p ∉ ℤ e p è dispari ⇒ p² è dispari

Il generico numero dispari p lo scrivo: p = 2m + 1 con m ∈ ℤ

p² = (2m+1)² = 4m² + 4m + 1 = 2(2m² + 2m) + 1

È un numero dispari

Dimostrazione (teorema)

∀ x ∉ ℚ x² = z

Per assurdo supponiamo il teorema falso, e dunque che ∃ x ∈ ℚ tale che x² = z

Scrivo x come funz. x = ^p/_q ridotta ai minimi termini

(p e q primi tra loro)

z = x² = (^p2/_q²) = ^p2/_q²

2q² = p²

• q ∈ ℤ ⇒ q² ∈ ℤ ⇒ 2q² è pari

Per p² è pari ⇒ p è pari (per il lemma)

• p pari significa p = 2m con m ∈ ℤ

p² = (2m)² = 4m²

Sostituisco in 2q² = 4m²

q² = 2m²

m intero ⟹ m² intero ⟹ 2m² è pari ⟹ (per ⊛) q² è pari ⟹ (per il lemma) q è pari

Questo (p e q pari) contraddice che p e q siano primi tra loro

Dunque la premessa (ipot. assurda) non può che essere falsa, e cioè non può ∃ un n° razionale il cui quadrato è 2

Numeri reali

Numeri reali _R = {allineamenti decimali:

• Limitati
• Illimitati periodici (periodo ≠ 999)
• Illimitati non periodici

(con segno)

Q ⊆ _R

Q ⊈ _R (contenuto propriamente)

Es. x = 0,12345678910111213... non è periodico

y = 0,101001000100001... non è periodico

In _R si definiscono 2 operazioni, somma e prodotto (x+y, x⋅y) che quando applicate danno lo stesso risultato della somma e del prodotto in Q. Inoltre queste due operazioni rispettano le proprietà r₁ ed r₂ di campo numerico.

Inoltre in _R si definisce una relaz. d'ordine totale ≤, per la quale valgono gli assiomi r₃ che rendono _R un campo numerico ordinato.

0,341ⓖ76... ≤ 0,341ⓖ32...

Teorema: _R è un campo numerico ordinato