Appunti del corso di Analisi matematica I sulle derivate - parte 3

f(x) = sqr(|x|) =

{ sqrt(x) se x>=0   sqrt(-x) se x<0 }

f'(x) =

{ 1/(2sqrt(x)) se x>0   -1/(2sqrt(-x)) se x<0 }

non posso scrivere x = 0 pk non ha senso e devo vedere se e la stessa sia a dx, che sia

{ = 1/(2sqr(|x|)) sign x se x != 0 }

x = 0 ?

f'(0) = lim(h->0) (sqr(|h|) - 0)/h = lim(h->0) sqr(|h|)/h

f'+(0) = lim(h->0+) sqr(h)/h = lim(h->0+) 1/sqr(h) = +infty

f'-(0) = lim(h->0-) sqr(|h|)/h = lim(h->0-) sqr(-h)/h = lim(h->0-) (-1/sqr(-h)) = -infty

y = sqrt(|x|)

Def - (x₀, f(x₀)) si dice punto di cuspide del grafico di f

se:

1. f e continua in x₀;
2. f'+(x₀) = +infty e f'-(x₀) = -infty (oppure viceversa)

f(x) = { 0 se x!=0         1 se x=0 }

Attenzione in questo caso viene f'(0) = -∞, f'-(0) = +∞

ma non c'e' una cuspide (perche' f non e' continua in x = 0)

Abbiamo provato che √|x| ha una cuspide nel p.to (0;0)

esempio 1

f(x) = x^4/5 = ⁵√x² definita e continua in R

f'(x) = 2/5 x^-3/5 = 2/(5x^3/5) per x != 0

x = 0 ? f'(0) = lim h^2/5/h = lim 1/h^3/5 = 1

f'+(0) = lim 1/h^3/5 = +∞

f'-(0) = lim 1/h^3/5 = -∞

cuspide

y = x^2/5

esempio 2

f(x) = x|x| = { x² se x > 0

-x² se x < 0

Attenzione: |x| non e' derivabile in x = 0

f'(x) = { 2x se x > 0

-2x se x < 0

f'(x) = 2|x| per x != 0

u x = 0 ?

f'(0) = lim h|h|/h = lim |h| = 0

Quindi f derivabile anche in x = 0, e f'(0) = 0

=> (|x|x)' = 2x Vx∈R

f(x) = x^1/3 continua in R

f'(x) = 1/3 x^-2/3 = 1/(3 x^2/3) x != 0

f'(0) = lim h->0 (h^1/3/h) = lim h->0 1/h^2/3 = +oo NON E DERIVABILE

Si tratta di un pto a tg verticale del grafico

Def. (x₀, f(x₀)) si dice pto a tg verticale del grafico di f se:

1. f e continua in x₀;
2. f'(x₀) = lim h->0 (f(x₀+h) - f(x₀))/h = +oo / -oo

Anche f(x) = sqrt(x) ha un pto a tang. verticale in (0,0).

Infatti f'_-(0) = f'_+(0) = +oo

se f(x) = { sqrt(x) se x>=0; 0 se x<0 } => f'(x) = { 1/(2sqrt(x)) se x>0; 0 se x<0 }

f'_-(0) = 0, f'_+(0) = +oo => pto angoloso

Abbiamo visto delle classificazioni dei punti in cui una funzione e continua, ma non derivabile (piu angolosi, cuspidi, pi a tg verticale)

Ma questi non esauriscono tutti i casi:

f(x) = { x sin 1/x x != 00 x = 0 } continua in R

(continua anche in x = 0, perche lim x sin 1/x = 0 = f(0))

f'(x) = (x sin 1/x)' = sin 1/x + x cos(1/x)(-1/x²) = sin 1/x - cos(1/x)/x

x = 0 ? f'(0) = lim h -> 0 f(h)/h = lim h -> 0 h sin 1/h / h

In questo caso non esistono f'+(0), f'-(0)

f(x) = { x²sin(1/x) se x != 0

0 se x = 0

continua in R

= { 2x sin(1/x) + x² cos(1/x)(-1/x²) = 2x sin(1/x) - cos(1/x) x != 0

0 x = 0

f'(0) = lim_h->0 (f(h)-f(0))/h = lim_h->0 h² sin(1/h)/h = 0

lim "illimitata"

y = x²

f(x) = sqrt(3sinx - 1)

periodica di periodo 2pi

(dipende da sinx)

dominio: f = { x : 3sinx >= 1 } = { x : x₀ + 2kpi 0+ (2x sin(1/x) - cos(1/x))

Sarebbe errato concludere che f'(0)

Abbiamo verificato prima che 3 f'(0)=0