Appunti del corso di Analisi matematica I sulle derivate - parte 1

DERIVATE

1. Concetto "cinematico" di derivata (Fisica)

Sia x(t) la posizione all'istante t di un punto che si muove lungo una guida rettilinea.

t₀ < t₁ < t₂

Fissati t₀ < t₁, considero la velocita' media del punto materiale nell'intervallo [t₀, t₁]

v̄(t₀, t₁) = [x(t₁) - x(t₀)] / [t₁ - t₀]

velocita' media

t₀ = 0 sec.       t₁ = 60 sec.

x(t₀) = 0 m       x(t₁) = 900 m

v̄(t₀, t₁) = (900 - 0) m / (60 - 0) s = 15 m/s

Se voglio avere un'idea della velocita' istantanea devo prendere intervalli sempre + brevi

v(t₀) = lim_{t1 → t0} [x(t₁) - x(t₀)] / [t₁ - t₀]

incremento xincremento f(x) → 0 il contrario?

2. Concetto "geometrico-analitico" di derivata come coeff. angolare della retta tangente.

Sia f(x) una funzione definita in un intervallo I

siamo x1, x2 due punti di I t.c. x1 != x2

Equazione della retta passante per (x1, f(x1)) (x2, f(x2))

y = f(x1) + (f(x2) - f(x1)) / (x2 - x1) (x - x1)

Derivate

1) derivata come velocita' (Fisica)

x(t) = posizione all'istante t di un punto materiale che si muove lungo una guida rettilinea

Velocita' all'istante t₀ del punto materiale: v(t₀) = lim_t->t0 x(t) - x(t₀) / t - t₀ = x'(t₀)

2) significato analitico-geometrico

f(x): I -> R x₀ e I

y = f(x)

Retta passante per i punti (x₀, f(x₀)), (x₁, f(x₁))

y = f(x₀) + (f(x₁) - f(x₀)) / (x₁ - x₀) (x - x₀)

rapporto incrementale di f calcolato tra i p.ti x₀, x₁

e il coefficiente angolare della retta

Quando x₁ -> x₀

la retta diventa la "retta tangente" al grafico di f nel p.to (x₀, f(x₀))

e il coeff. angolare diventa m = lim_x1->x0 f(x₁) - f(x₀) / x₁ - x₀

derivata di f in x₀

Def. Sia f : X -> R, x₀ ∈ X pto non isolato di X

f si dice derivabile in x₀, se esiste finito il limite

f'(x₀) = lim_{x -> x0} (f(x) - f(x₀)) / (x - x₀) = lim_h->0 (f(x₀+h) - f(x₀)) / h

x - x₀ = h -> 0x = x₀ + h

In tal caso f'(x₀) si dice derivata di f in x₀.

La quantita P(x,x₀) = (f(x) - f(x₀)) / (x - x₀) si dice rapporto incrementale

di f relativo ai punti x₀, x.

Se f(x) = x², calcoliamo f'(3)

f'(3) = lim_x->3 (f(x) - f(3)) / (x - 3) = lim_h->0 (f(3+h) - f(3)) / h

x - 3 = h -> 0x = h + 3

= lim_h->0 ((3+h)² - 3²) / h = lim_h->0 (9 + 6h + h² - 9) / h =

= lim_h->0 (6 + h) = 6     f'(3) = 6

f(x) = 1/x, calcoliamo f'(-2)

f'(-2) = lim_h->0 (f(-2+h) - f(-2)) / h = lim_h->0 (1/(-2+h) + 1/2) . 1/h

= lim_h->0 (x - x + h) / ((-2+h)2h) = 1/4

Altre notazioni per la derivata

f'(x₀) = df/dx(x₀) = Df(x₀) = f'(x₀)

Precisamo il concetto di retta tangente:

Sia f: I -> R, sia x₀ in I

Consideriamo le generiche rette passanti per (x₀, f(x₀)), che hanno equazione

y = f(x₀) + m(x - x₀)

oss

per x -> x₀ (se f e continua)

f(x) = f(x₀) + m(x - x₀) + o(1)

f(x) - f(x₀) - m(x - x₀) = o(1)

Questa retta y = f(x₀) + m(x - x₀) si dice retta tangente

se f(x) - [f(x₀) + m(x - x₀)] = o(x - x₀) per x -> x₀.

Significa:

lim_{x -> x0} [f(x) - [f(x₀) + m(x - x₀)] ] / (x - x₀) = 0

lim_{x -> x0} [ [f(x) - f(x₀)] / (x - x₀) - m ] = 0

cioe'

limx -> x₀ (f(x) - f(x₀)) / (x - x₀) = m

f'(x₀)

Abbiamo dimostrato che

f e' derivabile in x₀ <==> esiste la retta tangente a graf fin (x₀, f(x₀))e in tal caso il coeff^te della retta tg vale m = f'(x₀).

Equazione della retta tangente al grafico di f in (x₀, f(x₀)):

y = f(x₀) + f'(x₀) (x - x₀)

e si ha: f(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀) + o(x - x₀) per x -> x₀

Trovare la retta tangente al grafico di f(x) = x² nel punto (3,9):

y = f(3) + f'(3)(x - 3) = 9 + 6(x - 3)

Quando una funzione f e' derivabile ∀x₀ ∈ X = domf, diremo che f e' derivabile in X, e parleremo di funzione "derivata" di f.

f' : X -> R

x |-> f'(x) = limh -> 0 (f(x + h) - f(x)) / h

Derivate delle funzioni elementari

1) Derivata di una costante

Se f(x) = c, cioe f(x) = c ∀ x ∈ R

f'(x) = lim_h>0 [f(x+h) - f(x)] / h = 0

La derivata di una costante e identicamente nulla

2) Se f(x) = ax + b (a,b ∈ R)

(ax + b)' = a

f'(x) = lim_h>0 [f(x+h) - f(x)] / h = lim_h>0 [a(x+h)+b - (ax+b)] / h = a

3) f(x) = x² => f'(x) = 2x => (x²)' = 2x

f'(x) = lim_h>0 [(x+h)² - x²] / h = lim_h>0 [x² + 2hx + h² - x²] / h = lim_h>0 (2x + h) = 2x

4) (x^k)' = kx^k-1     ∀ k ∈ N

(x^k)' = lim_h>0 [(x+h)^k - x^k] / h = lim_h>0 x^k ((1 + h/x)^k - 1) / (h/x)

lim_t>0 [(1+t)^k - 1] / t = k

= x^k · k/x = kx^k-1

Questo caso va rifatto se x = 0

lim_h>0 [(0+h)^k - 0^k] / h =

1 se k = 1

0 se k > 1

= k 0^k-1

(x⁶)' = 6x⁵

OSS Questo calcolo si puo ripetere tale e quale se la potenza non e intera positiva, cioe

(x^a)' = a x^a-1 (*) for all x in R, x > 0

OSS Se a e razionale, e se entrambi i membri della precedente uguaglianza hanno senso, la formula (*) ha senso anche per x < 0 oppure per x = 0

(x^4/3)' = 4/3 x^1/3 for all x in R

(x^1/3)' = 1/3 x^-2/3 = 1/(3 x^2/3) for all x != 0

Cosa succede in x = 0?

Provo a calcolare la derivata di f(x) = x^1/3 in x₀ = 0

f'(0) = lim_h->0 (f(h) - f(0))/h = lim_h->0 h^1/3/h

= lim_h->0 1/h^2/3 = +infty

Quindi x₀ = 0 e un pto di non derivabilita di f(x) = x^1/3

Si chiama punto a tg verticale del grafico

f(x) = Vx

(Vx)' = (x^1/2)' = 1/2 x^-1/2 = 1/2Vx    Vx > 0

Derivata di Vx in x = 0

lim h>0 (Vh - 0)/h = lim h>0+ 1/Vh = +oo

lim h>0-

(1/x)' = (x^-1)' = (-1)x^-2 = -1/x²    Vx != 0

(1/x⁴)' = (x^-4)' = (-4)x^-5 = -4/x⁵    Vx != 0

esercizio: provate con calcoli elementari che (1/x)' = -1/x² usando la def.

(e^x)' = e^x    Vx in R

(e^x)' = lim h>0 (e^x+h - e^x)/h = lim h>0 e^x((e^h - 1)/h) = e^x

(a^x)' = a^x loga    Vx in R    Va>0

(a^x)' = lim h>0 (a^x+h - a^x)/h = lim h>0 a^x((a^h - 1)/h) = a^x loga

a^h - 1 / h = e^{h loga} - 1 / h loga

loga -> lim h>0 loga

(log x)' = 1/x V x > 0

(log x)' = lim h->0 [log(x+h) - log x]/h = lim h->0 log(1 + h/x)/h =

= lim h->0 [log(1 + h/x)] / [h/x] * 1/x = 1/x

log(1 + t)/t -> 1 con t = h/x -> 0

(log_a x)' = 1/(x log a) V x > 0 V a > 0, a != 1

(log_a x)' = lim h->0 [log_a(x+h) - log_ax]/h =

= lim h->0 log_a(1 + h/x)/h = lim h->0 log(1 + h/x)/h * 1/log a =

= 1/(x log a) = log_a e / x

(sin x)' = cos x V x in R

(sin x)' = lim h->0 [sin(x+h) - sin x]/h =

Formula di prostaferesi: sin a - sin b = 2 sin (a-b)/2 cos (a+b)/2

= lim h->0 [2/h sin((x+h-x)/2) cos((x+h+x)/2)] = cos x

2/h sin(h/2)

sin(h/2)/(h/2) -> 1

cos((2x+h)/2) -> cos x per h->0

(cos x)' = -sin x, x e R

(Dim. simile)

TEOREMA

f e' derivabile in x₀ => f e' continua in x₀

DIM

f e' derivabile in x₀ =>

=> f(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀) + o(x - x₀) per x → x₀

=> f(x) - f(x₀) = f'(x₀)(x - x₀) + o(x - x₀) = o(1)

Cioe' lim_x→x0 f(x) = f(x₀), la tesi

OSS

Non vale il viceversa; esistono funzioni continue in x₀ ma non derivabili in x₀

esempio f(x) = |x| in x₀ = 0