Appunti del corso di Analisi matematica I sulle derivate - parte 2

Teorema (pagina precedente)

OSS Il viceversa non e vero: esistono funzioni continue che non sono derivabili

Per es. f(x)=|x| continua in R

Studiamo la derivabilita

se x₀>0 => in un intorno di x₀ |x|=x => f'(x₀)=1

se x₀<0 => in un intorno di x₀ |x|=-x => f'(x₀)=-1

se x₀=0 => f'(0)=lim_x>0 (|x|-|0|)/(x-0)=lim_x>0 |x|/x

Pero e lim |x|/x = lim x/x = 1

lim_x>0- |x|/x = lim_x>0- -x/x = -1

-Def-

Si dice derivata destra di f in x₀

f'₊(x₀) = lim_x>x0+ (f(x)-f(x₀))/(x-x₀) = lim_h>0+ (f(x₀+h)-f(x₀))/h

h = x - x₀ => 0+

derivata sinistra

f'_-(x₀) = lim_x>x0- (f(x)-f(x₀))/(x-x₀) = lim_h>0- (f(x₀+h)-f(x₀))/h

Ovviamente, se f'_-(x₀) = f'₊(x₀) e R, allora f e derivabile in x₀.

Nel caso del valore assoluto (f(x)=|x|)

f'₊(0)=1 ; f'_-(0)=-1 => PUNTO ANGOLOSO

Def. (x₀, f(x₀)) si dice punto angoloso del grafico di f se

1) f continua in x₀

2) f'₊(x₀), f'_-(x₀), di cui almeno una finita, ma diverse tra loro

(0,0) → punto angoloso del grafico di |x|

D(|x|) =

• x/|x| = signum x, se x ≠ 0
• non esiste (punto angoloso), se x = 0

D(x^4/3) = 4/3 x^1/3

D(x²) = 2x

D(x³) = 3x²

D(sin x) = cos x

D(cos x) = - sin x

D(1/x) = - 1/x²

Osserviamo che, in questi esempi, la derivata di una funzione pari è dispari, la derivata di una f. dispari è pari.

In effetti questo è vero in generale!

TEOREMA

1) se f è derivabile e dispari => f' è pari

2) se f è derivabile e pari => f' è dispari

dim (solo 1°) f dispari significa f(-x) = -f(x) ∀ x

Tesi: f' pari, cioè f'(-x) = f'(x) ∀ x

f'(-x) = lim_h>0 [f(-x+h) - f(-x)]/h

= lim_h>0 [-f(x-h) + f(x)]/h

= lim_h>0 [f(x+h) - f(x)]/h

= f'(x)

D(log x) = { 1/x se x > 0 }

{ -1/x v x ≠ 0 }

[ D(log x) = 1/x ] V x > 0

ALGEBRA delle DERIVATE

Siamo f,g : X -> R. Se f e g sono derivabili in x0 ∈ X.

Allora:

1. f + g e' derivabile in x0, e

   (f + g)'(x0) = f'(x0) + g'(x0).

   dim

   (f + g)'(x0) = lim_h>0 [(f(x0+h) + g(x0+h)) - (f(x0) + g(x0))] / h =

   = lim_h>0 [(f(x0+h) - f(x0))/h + (g(x0+h) - g(x0))/h] =

   = f'(x0) + g'(x0)

   con la differenza e' uguale

2. V x, p ∈ R, a f + p g e' derivabile in x0, e

   (a f + p g)'(x0) = a f'(x0) + p g'(x0) (linearita' della derivata)

   La derivata e' un operatore lineare

Es. (5x⁶ + 4x² - 7sin x)' = 30x⁵ + 8x - 7cos x Vx∈R

2. Il prodotto fg e' derivabile in x0, e

   (fg)'(x0) = f'(x0) g(x0) + f(x0) g'(x0)

   Es. (x³ + cos x)' = 3x² cos x - x³ sin x Vx∈R

   ((x⁴ - 3x + 1)e^x)' = (4x³ - 3)e^x + (x⁴ - 3x + 1)e^x

dim

(fg)'(x0) = lim_h>0 [f(x0+h) g(x0+h) - f(x0) g(x0)] / h =

= lim h->0 [f(xo+h)g(xo+h) - f(xo+h)g(xo) + f(xo+h)g(xo) - f(xo)g(xo)]/h =

= lim h->0 [f(xo+h) (g(xo+h) - g(xo))/h + g(xo) (f(xo+h) - f(xo))/h]

infatti

f derivabile in xo

=> f continua

= f(xo) g'(xo) + f'(xo) g(xo)

3) se g(xo) != 0, allora

1/g(x) e' derivabile in xo, e si ha

(1/g)'(xo) = - g'(xo) / (g(xo))²

es.

(1/(x³-3x))' = - (3x²-3)/(x³-3x)² = 3(1-x²)/(x³-3x)²

forall x != 0, +/-√3

(1/cos x)' = sin x / cos² x forall x != pi/2 + kpi (k in Z)

dim.

(1/g)'(xo) = lim h->0 [1/g(xo+h) - 1/g(xo)]/h =

= lim h->0 [g(xo) - g(xo+h)]/[h g(xo+h) g(xo)] = - g'(xo) / (g(xo))²

4) Se g(x₀) != 0, allora f(x)/g(x) e derivabile in x₀

(f/g)'(x₀) = [f'(x)g(x₀) - f(x₀)g'(x)]/(g(x₀)²)

dim

(f/g)'(x₀) = (f · 1/g)'(x₀)

= f'(x₀) · 1/g(x₀) + f(x₀)(-g'(x₀)/(g(x₀)²))

= [f'(x₀)g(x₀) - f(x₀)g'(x₀)]/(g(x₀)²)

cotg x

(tg x)' = (sin x/cos x)' = (cos x cos x + sin x sin x)/cos²x = 1/cos²x = 1 + tg²x

x != pi/2 + kpi (k in Z)

(cotg x)' = (cos x/sin x)' = -1/sin²x = -(1 + cotg²x)

x != kpi

(5x - z)/(x² - 1)' = [5(x² - 1) - (2x)(5x - z)]/(x² - 1)² = [5x² - 5 - (10x² - 4x)]/(x² - 1)² = (-5x² + 4x - 5)/(x² - 1)²

x != +/- 1

TEOREMA derivata di f composta (chain rule, regola della catena)

Siano f : Y ⊂ R → R

g : X ⊂ R → Y

(quindi e definita f o g : x → R, x → f(g(x)))

Se g e derivabile in x₀ ∈ X, e f e derivabile in g(x₀), allora f o g e derivabile in x₀

(f o g)'(x₀) = f'(g(x₀)) g'(x₀)