Appunti completi di Fondamenti di automatica

Introduzione

Informazioni di base sul corso

L’esame comprende entrambi i moduli (3 e 6 CFU), ed è uno scritto di 3 esercizi. Al superamento della prova scritta è possibile verbalizzare il voto o fare un orale su base volontaria (approfondimento), che comprende anche la teoria.

I testi di esame si scaricano dall’e-learning.

Testi di riferimento:

Per i 3 CFU il testo è “Teoria dei sistemi lineari stazionari a dimensione finita” editrice Esculapio.

“Sistemi di controllo” di Isidori, fuori stampa, fornito su e-learning.

Su e-learning è presente il programma, con riferimenti ai singoli capitoli del libro, e sono presenti riferimenti ad un altro testo precedentemente utilizzato.

La presenza di esoneri o pre-appelli è in corso di valutazione (in ogni caso la partecipazione sarà consentita solo in base alla frequenza).

Definizioni basilari

Questo corso mira a fornire le basi metodologiche dell’automatica.

Sistema automatico e automatica

Per sistema automatico si intende qualcosa che svolge un compito in maniera autonoma, ossia senza contributi dall’esterno.

Un sistema automatico, dato un compito, deve essere in grado di svolgere tale compito in autonomia o, al più, aiutandosi con altri mezzi.

L’automatica è il corpo di metodologie che si innesta nel soggetto, e permette che questo possa svolgere il compito in maniera piuttosto autonoma.

Tendenzialmente, l’automatica è pervasiva, e presente in numerosi ambiti, in quanto permette il funzionamento di numerose tecnologie, senza risultare visibile. Per questo motivo, ci si riferisce spesso all’automatica come tecnologia nascosta o “hidden technology”.

L’automatica è sostanzialmente alla base del funzionamento sinergico di un sistema, che deve svolgere un compito in autonomia.

Funzionamento ideale di un sistema automatico

Dato un sistema ed un fenomeno, si vuole fare in modo che il sistema assolva a tale compito in maniera autonoma.

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1. Introduzione

Possiamo dare una definizione intuitiva di sistema, come un qualcosa composto di diverse entità eterogenee, che comunicano e interagiscono ai fini di assolvere ad un obiettivo comune.

Dato un sistema imprecisato, un insieme di entità che cooperano ed interagiscono per realizzare un obiettivo, l’automatica indica al sistema il modo migliore di comportarsi per soddisfare l’obiettivo.

Gli step principali per assolvere all’obiettivo sono:

• Conoscere l’obiettivo
• Trasformare l’obiettivo in una specifica
• Pianificazione: pianificare le azioni elementari, ossia stabilire le azioni che portano alla soddisfazione dell’obiettivo.
• Organizzazione: organizzare: viene definita la sequenza e l’ordine delle azioni elementari definite al punto precedente.
• Esecuzione e coordinamento: eseguire.

Procedimento reale di costruzione di un sistema automatico

Pianificazione

Questa sequenza di azioni presuppone l’assenza di imprevisti, un evento raro nel mondo reale.

La serie di azioni appena delineata, che non comprende l’analisi degli imprevisti, non rappresenta al meglio il funzionamento dell’automatica, che deve tenere a mente la possibilità continua di imprevisti, e considerare la possibilità di tornare indietro per svolgere correzioni.

Uscite controllate del sistema

Per definire questa sequenza di eventi, l’obiettivo deve essere trasformato in una serie di parametri, secondo cui è possibile valutare se questo è stato realizzato.

Occorre quindi avere a disposizione delle quantità tangibili, legate all’obiettivo.

Le grandezze legate all’obiettivo sono dette uscite controllate: se lo scopo di un sistema è spostarsi da un punto ad un altro, è necessario che questo sia in grado di misurare la propria posizione nello spazio, ed è necessario definire una serie di grandezze che specifichino l’obiettivo. Se la posizione si avvicina a quella desiderata, si sta procedendo correttamente; in caso contrario è richiesta una correzione.

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1. Introduzione

Sulla base dell’uscita controllata deve essere possibile valutare la strategia di intervento, ossia la serie di azioni che portano all’assoluzione dell’obiettivo.

Uscite misurate del sistema

L’uscita controllata non è sufficiente, e risulta spesso necessario misurare altri dati: nell’esempio dello spostamento verso il punto, è richiesta una misura aggiuntiva di velocità, in quanto occorre essere fermi, quando si raggiunge la destinazione.

L’uscita controllata diventa quindi parte di un insieme di grandezze note uscite misurate, un insieme di grandezze misurate che determinano il come comportamento del sistema per l’assoluzione del compito.

Dato un sistema ed un obiettivo, occorre quindi definire le grandezze controllate, sulla cui base si definisce l’assoluzione dell’obiettivo, e le grandezze misurate, su cui vengono basate le azioni finalizzate alla realizzazione dell’obiettivo.

Ingressi

È necessario poter interagire ed intervenire con il sistema, per cui è richiesta una serie di grandezze da manipolare, che hanno effetto sul sistema: gli ingressi.

Tra tutti gli ingressi, occorrerà distinguere tra grandezze su cui è possibile intervenire, e grandezze su cui non è possibile intervenire.

Ogni effetto del sistema sarà determinato da una causa, che potrà essere manipolabile o meno.

Gli ingressi manipolabili, o ingressi di controllo, sono proprio una serie di grandezze su cui è possibile intervenire; gli ingressi non manipolabili (detti volgarmente disturbi o perturbazioni), sono invece al di fuori del nostro controllo.

Per agire su un sistema, e fare in modo che questo agisca in maniera autonoma per assolvere un obiettivo, dobbiamo capire quali sono le grandezze utili ai fini dell’obiettivo, e quali sono le grandezze su cui possiamo intervenire per modificare il comportamento del sistema.

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1. Introduzione

Arrivati a questo punto subentra l’automatica, che eroga le azioni in sequenza, indicando cosa fare e quando farlo. L’automatica intesa secondo questa nozione elementare definisce tuttavia un controllo “cieco”. È necessario infatti prendere in considerazione ciò che avviene in real time nei dintorni del sistema.

Le uscite devono essere usate costantemente per valutare le azioni da intraprendere.

L’uscita misurata e l’uscita controllata, in congiunzione con l’obiettivo, devono assolvere istante per istante alla modifica dell’ingresso di controllo, per reagire a circostanze impreviste. Questo avviene sulla base di un meccanismo di feedback.

Meccanismo di feedback

Terminologia

Iniziamo definendo dei simboli che riassumano i termini precedentemente forniti.

insieme degli ingressi: insieme delle uscite controllate (assumiamo che idealmente coincidano con: quelle misurate)

All’insieme degli ingressi si connette il controllore:

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1. Introduzione

controllore: definisce le azioni da svolgere sulla base dell’obiettivo e delle uscite.

Dato quindi un riferimento, il controllore deve agire affinché non coinciderà esattamente (entro un margine di errore) con il riferimento.

La differenza tra la variabile controllata ed il riferimento deve quindi tendere a zero, e questo avviene mediante il feedback.

Automatica e feedback

L’automatica definisce una serie di metodologie per fare in modo che un sistema lavori nelle corrette modalità di funzionamento, sulla base del feedback. Si tiene quindi fortemente in considerazione quello che si vuole ottenere, confrontandolo continuamente con quello che stiamo facendo.

Se subentra una perturbazione, questa viene analizzata sulla base del feedback, ed il sistema agisce rispetto ad esso.

Sulla base del feedback in real-time, si riesce a definire in tempo reale l’azione più opportuna per soddisfare un obiettivo.

Sensori ed attuatori

Le misurazioni delle uscite vengono svolte mediante i sensori, ed il compimento delle azioni è svolto da attuatori, controllati da segnali di corrente.

Il mondo di sensori ed attuatori che si nasconde dietro questo schema astrato sarà trascurato, al fine di considerarne solamente l’aspetto sistemistico.

Fasi di progettazione di un controllore

Ci concentreremo ora su sistemi di controllo, ossia su controllori che, dato un sistema ed un ingresso, definiscono le modalità opportune di comportamento affinché il sistema si comporti nel modo migliore.

Il tutto inizia dalla comprensione dell’oggetto su cui si lavora, e sul dove posizionare ingressi e uscite per ottimizzare il funzionamento del sistema.

Andremo brevemente ad analizzare le fasi con cui si concepisce la struttura di un controllore.

1. Modellizzazione

Dato il sistema da controllare, questo deve essere modellato, ossia deve essere costruito un modello che permetta di analizzare e studiare il sistema, e che permetta eventualmente di interagire con esso.

Occorre quindi ridurre il sistema ad un qualcosa su cui siamo in grado di lavorare, ossia qualcosa di comprendibile, e studiabile. La realtà deve essere resa sufficientemente astratta da permetterci di compiere le azioni

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1. Introduzione

che richiediamo, e questo è possibile solo attraverso un modello matematico, che descriva il legame funzionale tra ingressi ed uscite.

Questo modello deve essere sufficientemente grande da raccogliere in se il legame tra cause ed effetti.

Il modello è la rappresentazione matematica del sistema che vogliamo controllare, ossia del processo.

La prima cosa che fa un ingegnere automatico è quindi modellizzare il processo su cui si vuole intervenire.

2. Analisi del modello

Una volta modellizzato il sistema, si può iniziare a lavorare su di esso, iniziando una fase di analisi del modello (che si spera sufficientemente accurato)

3. Sintesi (o progettazione) del controllore

Occorre comprendere quali sono le modalità di intervento in grado di avvicinare l’ingresso allo zero quanto più possibile.

4. Realizzazione del controllore

Il controllore deve essere realizzato per intero, ossia è necessario realizzare un altro sistema, questa volta in grado di compiere le azioni delineate in precedenza.

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1. Introduzione

Analisi di sistemi

L’analisi del sistema presuppone la considerazione di un sistema astratto dinamico e orientato.

In generale, nel parlare di sistema, parleremo già di una sua rappresentazione sotto forma di modello. Abbiamo visto una cosa simile in elettronica, in cui abbiamo modellizzato vari componenti con leggi differenti, approssimando il loro comportamento (vedere ad esempio la legge di ohm come modello della resistenza).

A diversi sistemi possono corrispondere modelli diversi equamente validi, e allo stesso modo, ad uno stesso modello possono corrispondere oggetti diversi.

Sistemi lineari, stazionari

Considereremo sistemi astratti in quanto non analizzeremo un modello singolo, ma una serie di modelli astratti equivalenti, lineari e stazionari (il legame tra ingressi e uscite sarà lineare).

Parleremo di sistemi orientati in quanto è presente un verso, un legame di causalità tra variabili (tra ingresso e uscita).

La dinamicità sarà legata al fatto che il comportamento del sistema sarà determinato dalla storia, ossia ciò che accade all’istante dipende dalla, combinazione di tutti gli eventi avvenuti prima()… → ()(0)

Esempi di analisi di sistemi lineari

Andremo adesso a considerare un sistema astratto, dinamico ed orientato, ricordando che per sistema intendiamo un insieme di entità che cooperano ed interagiscono per raggiungere un obiettivo comune.

Astratto indica che il sistema può essere descritto con una classe di descrizioni (matematiche) equivalenti.

La dinamicità implica che il sistema ha “memoria del passato”, ossia che gli eventi presenti dipendono dagli ingressi istantanei, ma anche da tutto ciò che è successo prima.

Per sistema orientato si intende infine un sistema in cui le uscite dipendono dagli ingressi.

Rappresentazioni con lo stato

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2. Analisi di sistemi

In particolare, ci concentreremo sui sistemi lineari, descrivibili mediante rappresentazioni con lo stato:

le ẋ = + � + =

Dove sono variabili definite:

• Stato: , , , stato
• Ingressi: ∈ ℝ , ingressi
• Uscite: ∈ ℝ, uscite
• Variabili: ∈ ℝ

Analizzando questa classe di sistemi, potremo ottenere informazioni sui sistemi di questa tipologia.

Osserviamo che lo stato corrisponde alla componente dinamica dell’equazione, in quanto la prima delle due equazioni ci indica proprio come questa evolve nel tempo.

Consideriamo questo sistema come dipendente dal tempo, per cui scriviamo la seconda equazione come + ()() = ()

Dove rappresenta rappresenta l’effetto al tempo l’ingresso al() (), tempo e rappresenta lo stato al tempo e racchiude in sé tutte le, () , informazioni sul passato del sistema necessarie al determinare l’effetto all’istante .

Questi sistemi sono causali, in quanto l’evoluzione al tempo non dipende dal futuro ma dal passato e, al più, dagli ingressi al presente istante .

Macchina molla-smorzatore

Immaginiamo il nostro sistema come una “macchinina”, che si trova in un riferimento monodimensionale, e la cui posizione è descritta dallo scalare Assumiamo che ∈ ℝ. questa sia soggetta ad una forza elastica e ad una forza di attrito.

Identifichiamo a questo punto una forza esterna , con cui possiamo modificare il comportamento della macchinina.

Dobbiamo a questo punto andare a definire un modello matematico che descriva questo sistema, possibilmente nella forma precedentemente evidenziata, andando a definire le matrici A, B, C, D.

Identificazione delle forze e composizione iniziale del modello

Partiamo dalle conoscenze di fisica che abbiamo a disposizione, iniziando da = = ẍ

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2. Analisi di sistemi

Andiamo quindi a definire la risultante delle forze + + =

E andiamo a definire le forze = −= − = −ẋ

Combinando le varie equazioni otteniamo ẍ = − − ẋ +

Abbiamo quindi un’equazione differenziale del secondo ordine, che dobbiamo passare al primo ordine. Consideriamo che corrisponderà all’ingresso, per cui indicheremo = .

Occorre ora identificare lo stato, che contiene le informazioni sul passato e consente di caratterizzare il presente. Andiamo a definire lo stato partendo da e , creando un vettore a due componenti ẋ 1 2 = � � = � � ∈ ℝ ẋ2

Andiamo quindi a calcolare ẋ ẋ = ẋ = 1 2ẋ = ẍ2

Osserviamo che è legata a dall’equazione precedente, che modifichiamo ẍ per ottenere 1 1 ẋ = ẍ = − − ẋ + = − − − 2 1 2

Definiamo infine l’uscita che, in termini di stato, è definita da = 1

Andiamo quindi a racchiudere assieme queste equazioni: ẋ = 1 2 1� ẋ = − − − 2 1 2 = 1

Costruzione del modello nella forma richiesta

Questo sistema è in forma esplicita, ma intendiamo renderlo meno esplicito ricercando una forma ẋ 11 = � � � � + � � �� ẋ 22 1 [ ][ ] � + = � 2

Andiamo a collocare i coefficienti considerando il sistema precedente0 1 0ẋ 11 1 �= � +� � �� � � ẋ −− 22 1[1 0] [0] = � � +2

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2. Analisi di sistemi

Questa è una rappresentazione con stato della “macchinina”, ossia del sistema massa-molla-smorzatore, con0 1 01 = = � � �� −− [1 0] [0] = =

Osserviamo che l’uscita al tempo essendo non dipende dal, = 0, presente, ma solamente dal passato. Un sistema di questo tipo, caratterizzato da è det