Appunti analisi matematica - parte 2

ANALISI MATEMATICA 1

Parte 2 di 3

Derivate, integrali e serie

Calcolo differenziale • Taylor • studio di funzione • primitive • integrali • serie

numeriche

Guida ai contenuti

01 Derivate e regole di calcolo

02 Teoremi differenziali e studio di funzione

03 Taylor e forme indeterminate

04 Primitive e integrale definito

05 Tecniche di integrazione

06 Serie numeriche e criteri

Come usare il riassunto

Ogni scheda raccoglie le definizioni essenziali, le ipotesi dei teoremi, le formule operative e

uno o più esempi svolti. Prima di applicare una regola, controlla il dominio e le condizioni che la

rendono valida.

Nota sul contenuto

Sintesi originale di ripasso degli argomenti presenti nella raccolta

“Analisi_Matematica_1_Domande_Risposte_Unico.pdf” del 9 novembre 2026 (lezioni disponibili 004–078). Non

riproduce il questionario né le dispense. Gli esempi sono sviluppati per spiegare i metodi; non costituisce una

copertura delle lezioni successive non presenti nella raccolta.

Analisi Matematica 1 · Riassunti · Parte 2 1

PARTE 2 / SCHEDA 01

Derivate e regole di calcolo

Definizione e interpretazione

La derivata di f in x₀ è il limite finito del rapporto incrementale [f(x₀+h)−f(x₀)]/h per h → 0.

Misura la variazione istantanea e fornisce il coefficiente angolare della tangente al grafico. La

derivabilità implica la continuità, ma una funzione continua può non essere derivabile: |x| ha in

zero derivate laterali −1 e 1.

(x^α)'=αx^(α−1); (eˣ)'=eˣ; (ln x)'=1/x.

(sin x)'=cos x; (cos x)'=−sin x; (tan x)'=1/cos²x.

(arctan x)'=1/(1+x²); (arcsin x)'=1/√(1−x²).

Regole operative

La derivata della somma è la somma delle derivate. Per il prodotto (fg)'=f'g+fg'; per il

quoziente (f/g)'=(f'g−fg')/g², dove g ≠ 0. La regola della catena è (f∘g)'(x)=f'(g(x))g'(x). Ogni

formula va usata nei punti in cui le funzioni coinvolte sono definite e soddisfano le relative

ipotesi.

Tangente e inversa

La tangente in x₀ ha equazione y=f(x₀)+f'(x₀)(x−x₀). Per un’inversa derivabile, con y₀=f(x₀) e

f'(x₀) ≠ 0, vale (f⁻¹)'(y₀)=1/f'(x₀), sotto le usuali ipotesi locali di invertibilità. Non bisogna

valutare la derivata dell’inversa nel punto sbagliato.

Esempio svolto

Per f(x)=e^(sin x), la catena dà f'(x)=e^(sin x) cos x. In x₀=π si ha f(π)=1 e f'(π)=−1. La

tangente è dunque y=1−(x−π)=−x+π+1. Se invece f(0)=1 e f'(0)=2, la derivata dell’inversa

nel punto 1 vale 1/2.

Analisi Matematica 1 · Riassunti · Parte 2 2

PARTE 2 / SCHEDA 02

Teoremi differenziali e studio di

funzione

Fermat, Rolle e Lagrange

Fermat: se un punto interno è un estremo locale e f è derivabile lì