Appunti di Analisi Matematica 1

Derivata prima e limiti

Definiamo la derivata prima di f nel punto x₀, il seguente limite: f'(x₀) = lim_{h -> 0} (f(x₀ + h) - f(x₀))/h

Osservare: f'(x₀) è il coeff di di della retta tangente a f nel punto (x₀, f(x₀))

y: mx + q ↕ retta tang y = f'(x₀) + f'(x₀)(x-x)

Derivata di funzioni elementari

Derivata di funz. elementarie^x, log_x, sinx, tgx, cosx, x^x ↔ casa

1) e^x ↕ sempre con lim_{h -> 0} e^{x₀ + h} - e^x₀

f(x) = x^x, x ∈ ℝ = lim_{h -> 0} e^{x₀ + h} - e^x₀ ↕ ↕ lim a lim_{h -> 0} e^{x₀ + h} - e^x₀ = lim_{h -> 0} = 1 (lim ↕) = 1

2) f(1) = log x

D₁ = ] 0 + ♮ [ x ∈ D₀

f'(x₀) = lim_{h -> 0} log(x + h) - log(x₀ / h = lim_{h -> 0} cos(1 + h/x) = lim_{h -> 0} log((1 + h/x) = ↕ 1/x -> derivata di log_x ↔ 1/x

Definizione e osservazioni

Definiamo la derivata prima di f nel punto x₀, il seguente limite: f'(x₀) = lim [f(x₀+h)-f(x₀)] / h h→0

La def. vale se il limite esiste ed è finito.

Osserv.: f'(x₀) è il coeff. ang. della retta tangente a f nel punto (x₀,f(x₀)).

y: _c x + q

y: _{retta tang}

y: f'(x₀) + f'(x₀) (x-x₀)

Derivate di funzioni elementari

Derivate di funz. elementari eˣ, log_x x, sin x, tg x, cos x, x^x x _CASA

eˣ sempre con lim [eˣ⁺ʰ-h] / h = lim [e-x-h-sub] = lim [e-x+1] = h→0 h→0 h→0

f(x) = x^y, x ∈ R = lim [eˣ-h] / h = h→0 -x/x = x = -x Lim [1/x] = log (1/x) = Lim log (x/K) = x log x = lim log (x/K)

lim [log (x+h) - log (h)] [log (1/x)+1] = lim (h/x) = log (log 1/x) [K/K + 1] = [1/log] = lim [log (x/K)] = ^a

The limit f'(x₀) = lim log(x+1) h→0 - log(1+k)

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Teorema di Weierstrass

Teorema di Weierstrass

Sia f: [a, b] → R continua in [a, b]

Allora ∃ x_m, X_M | x_m ≤ f(x) ≤ X_M ∀x∈[a, b] ed ∃x_m, x_M ∈ (a, b) | f(x_m) = x_m e f(x_M) = X_M

Esempi

Esempio 1: f(x) = e^x cont [a, b] = [0, 1]

Osservazione: sup e^x = +∞ inf e^x = 0

Esempio 2: f(x) = 2 sin x

Esempio 3: f(x) = 1/x

In 0 punto di disc. di 1 specie

[0.5] ∈ [5, 6]

Asintoti e discontinuità

5) \( f(x) = \frac{x}{x-2} \) D: \( \mathbb{R} \setminus \{2\} \)

Per \( x \to 2^- \), \( f(x) \to -\infty \)

Per \( x \to 2^+ \), \( f(x) \to +\infty \)

Asse y: asintoto verticale

Per \( x \to -\infty \), \( f(x) \to 1 \)

Asse y = 1

6) \( f(x) = \frac{1}{x} \)

D: \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \)

Per \( x \to 0^- \), \( f(x) \to -\infty \)

Per \( x \to 0^+ \), \( f(x) \to +\infty \)

Asse y: asintoto oriz.

Per x → ±∞, f(x) → 0.

Asse y: asintoto orizzontale.

8) \( f(x) = \pm 1; D = \mathbb{R}\)

Si considera il limite di \( f \):

Per \( x \to 0^- \), \( f(x) \to 1 \)

Per \( x \to 0^+ \), \( f(x) \to -1 \)

Discontinuità di salto

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Esercizi sui limiti

lim tⁿ = 0 t_x>∞ e^t

dimostrare che lim _x>0 log x = 0

Esercizi: 1) lim _x>0 xⁿ = 0

x = 1/t -> lim _t>∞ (1/t)ⁿ = 1/tⁿ -> x = ln(1+t) t -> 0

lim _t>0 ln(1+t) = t (limite notevole fondamentale)

Esercizi: calcolare i seguenti limiti e distoni

• Lim _x>0 sen x / x
• Lim _x>0 cos(x)
• Lim _x>0 (1 + sen x)^1/x
• Lim _x>0 (x² / sen²x)
• Lim _x>π/2 √(1 + sen x) / sen x √(1-sen x)

Sol: 0 = sen x / x -> Teorema del confronto -> : -> 0 -> 1/x

lim _t>0 cos(t) = 1/x²

lim _t>0 + cos x / x₂

lim _t>0 cos(x)

lim _t>0 log(cos x) =

lim _t>0 (1 + t) = 10

Gerarchia infiniti

• _{x->+ ∞} log x = ∞   ∀ x > 0
• _{x->+ ∞} x^α = 0   ∀ α > 0

Sia m ∈ ℕ   m^-1