Appunti completi del corso di Analisi matematica 1

Università di Modena e Reggio Emilia

Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica

Appunti di Analisi Matematica I

Autore: Docente: Filippo Viappiani Stefania Perrotta

Anno Accademico 2021/2022

Indice

• 1 Notazioni insiemistiche e proprietà di Q, R e C 1
• 1.1 Proprietà di Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
• 1.2 Proprietà di R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
• 1.2.1 Valore assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
• 1.3 Massimo, maggiorante ed estremo superiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
• 1.4 Proprietà degli estremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
• 1.5 Proprietà di C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
• 1.5.1 Proprietà del complesso coniugato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
• 1.5.2 Definizione e proprietà del modulo in C . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
• 1.5.3 Rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi . . . . . . . . 13
• 1.5.4 Potenze e radici di un numero complesso . . . . . . . . . . . . . . . . 14
• 1.5.5 Equazioni di grado n e Teorema di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 14
• 2 Principio di induzione 15
• 2.1 Dimostrazione per induzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
• 2.1.1 Esempi di dimostrazioni per induzione . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
• 3 Funzioni 18
• 3.1 Funzioni iniettive, suriettive e biunivoche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
• 3.2 Funzioni monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
• 3.3 Estremi di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
• 4 Limiti di successioni 23
• 4.1 Teoremi e proprietà riguardanti i limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
• 4.2 Limiti di operazioni algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
• 4.2.1 Successioni convergenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
• 4.2.2 Successioni divergenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
• 4.2.3 Successioni infinitesime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
• 4.3 Limiti delle principali successioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
• 4.4 Limiti di successioni monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
• 4.4.1 Successione di Nepero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
• 4.5 Ordine degli infiniti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
• 4.5.1 Gerarchia degli infiniti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
• 5 Limiti di funzioni di variabile reale 42
• 5.1 Topologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
• 5.2 Definizioni di limiti di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
• 5.3 Caratterizzazione sequenziale del limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
• 5.4 Limiti ed ordinamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
• 5.4.1 Limiti di operazioni algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
• 5.4.2 Altre proprietà per i limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
• 5.5 Limiti notevoli delle funzioni trigonometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
• 5.6 Infiniti e infinitesimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
• 5.7 Limiti di funzioni monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
• I
• 5.8 Asintoti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
• 5.8.1 Asintoti verticali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
• 5.8.2 Asintoti orizzontali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
• 5.8.3 Asintoti obliqui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
• 5.9 Limiti di funzioni continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
• 5.9.1 Punti di discontinuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
• 5.9.2 Funzioni continue in un intervallo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
• 6 Serie numeriche 61
• 6.1 Serie geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
• 6.1.1 Carattere della serie geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
• 6.2 Serie e operazioni algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
• 6.3 Tecniche per determinare il carattere di una serie . . . . . . . . . . . . . . . 63
• 6.4 Criteri per le serie a termini non negativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
• 6.5 Serie armonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
• 6.5.1 Serie armonica generalizzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
• 6.6 Serie a termini di segno alterno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
• 6.7 Serie a termini di segno qualunque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
• 7 Calcolo differenziale 71
• 7.1 Derivata delle funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
• 7.2 Punti di non derivabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
• 7.3 Derivate e operazioni algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
• 7.3.1 Derivata delle funzioni trigonometriche inverse . . . . . . . . . . . . 79
• 7.4 Massimi e minimi relativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
• 7.5 Applicazioni del calcolo differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
• 7.6 Derivate di ordine successivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
• 7.7 Formule di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
• 7.7.1 Formule di Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
• 7.8 Funzioni concave e convesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
• 8 Calcolo integrale 96
• 8.1 Definizione di integrale alla Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
• 8.2 Interpretazione geometrica dell’integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
• 8.3 Proprietà integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
• 8.4 Funzioni integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
• 8.5 Funzioni primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
• 8.6 Calcolo della primitiva di una funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
• 8.6.1 Integrali immediati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
• 8.6.2 Integrali di funzioni razionali fratte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
• 8.6.3 Esempi di sostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
• 8.7 Integrali generalizzati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
• 8.7.1 Intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra . . . . . . . . . . . . . 116
• 8.7.2 Intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra . . . . . . . . . . . . . 118
• 8.7.3 Intervallo aperto a sinistra e aperto a destra . . . . . . . . . . . . . 118
• II
• 8.8 Funzioni definitivamente non negative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
• 8.9 Assoluta integrabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
• III

Notazioni insiemistiche e proprietà di Q, R e C

1 Notazioni insiemistiche e proprietà di Q, R e C

Sia A un insieme al cui interno esistono due elementi, per esempio uno e due, questo può essere scritto come {1, A = 2}.

Si può affermare che A non è vuoto, indicabile come A ̸= Ø.

Inoltre, si deduce che solo un elemento di A è maggiore di uno, ovvero ∃!a ∈ A a >: 1.

Si introduce un nuovo insieme B al cui interno vi sono i numeri uno, due e tre {1, B = 2, 3}.

Si può dire che A sia contenuto in B: A ⊆ B ⇔ ∀a ∈ A, a ∈ B.

Sia U l’insieme universo, ovvero l’insieme dove sono contenuti tutti gli altri insiemi, si possono definire le operazioni fra insiemi:

A ∪ B = : {x ∈ U x ∈ A oppure x ∈ B} (1)

A ∩ B = : {x ∈ U x ∈ A e x ∈ B} (2)

A − B = : {x ∈ A x / ∈ B} (3)

A^c = : {x ∈ U x / ∈ A} = U − A (4)

A × B = : {(a, b) a ∈ A, b ∈ B} (5)

Si noti come (a, b) rappresenta una coppia ordinata e quindi (a, b) = (b, a).

Proprietà di Q

Si indica con Q l’insieme di tutti i numeri razionali ovvero tutti i numeri che si possono scrivere come rapporto di due numeri interi primi fra loro: q = a / b, a, b ∈ Z, b ̸= 0.

Proprietà 1 (di densità). Comunque presi due numeri razionali x e y esiste sempre un numero razionale z compreso tra i due: ∀x, y ∈ Q, x < y : ∃z ∈ Q, x < z < y.

1 Notazioni insiemistiche e proprietà di Q, R e C

Dimostrazione Per la dimostrazione si inizia dal caso in cui x e y siano entrambi positivi.

−y z −z x x z y 0 z x y

Si può prendere z come la media aritmetica tra x e y: z = (x + y) / 2 (6)

z − x = (x + y) / 2 − x = (y − x) / 2 > 0 (7)

y − z = y − (x + y) / 2 = (y − x) / 2 > 0 (8)

Se x e y sono uno rispettivamente negativo e positivo, è sufficiente prendere z come lo 0.

0 x y

Se x e y sono entrambi negativi si può ragionare allo stesso modo prendendo come riferimento gli opposti di tali numeri.

x y z −z −y −x 0

Proprietà 2 (di Archimede). Comunque presi due numeri razionali x e y esiste sempre un numero naturale n tale che il suo prodotto con uno dei due numeri iniziali, superi il secondo.

∀x, y ∈ Q, x, y > 0 : ∃n ∈ N : nx ≥ y

Dimostrazione Per dimostrare il precedente enunciato, si definiscono x e y come due frazioni qualunque: x = p / q, y = r / s, p, q, r, s ∈ N.

Sostituendo quanto definito nella disequazione della proposizione iniziale: np / q ≥ r / s ⇔ n ≥ rq / sp quindi basterà scegliere un n del tipo M rq.

Da questa proprietà si evince che per quanto grande si scelga un numero razionale M, ci sarà sempre un numero naturale che lo supera: ∀M ∈ Q ∃n ∈ N : M ≤ n.

Inoltre, per quanto piccolo si scelga un numero razionale δ, esisterà sempre un altro razionale s che sarà minore di tale numero: ∀δ > 0 ∃s ∈ N : s ≤ δ.

2 Notazioni insiemistiche e proprietà di Q, R e C

Proprietà 3 (di non completezza). L’insieme dei razionali Q non descrive tutti i punti appartenenti ad una retta.

Dimostrazione Ad esempio, riportando su una retta la lunghezza dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti sono lunghi entrambi uno, si otterrebbe un numero che elevato al quadrato è pari a due, che in Q non esiste.

+ 2 ∈ x

Per provare che : = 2 si supponga per assurdo che esista una frazione x ∄ Q che rispetti tale legge: ∃p, q ∈ N : p / q = 2.

Si prendano p e q primi tra loro, ovvero non deve esistere nessun divisore comune tra i due numeri.

Per questo, si può dedurre che p e q non sono entrambi pari, perché se lo fossero vorrebbe dire che avrebbero in comune il divisore 2 che va in contraddizione con quanto detto nella frase precedente.

2p 2 2 ⇔ p = 2 = 2q 2q 2

Il che vuole dire che p è un numero pari e quindi anche p è pari.

Perciò ∃n : p = 2n.

Questo vuole dire che 2 2 2 2 2 2 ⇔ p q = (2n) = 4n = 2q = 2n 2q q quindi anche q è un numero pari ergo anche q è pari, il che porterebbe un assurdo perché si sono presi p e q primi tra loro e quindi non possono essere entrambi pari.

Proprietà di R

Intuitivamente, l’insieme dei numeri reali è formato da tutti quei numeri a cui è possibile attribuire uno sviluppo decimale finito o infinito.

Anche per i numeri reali valgono la proprietà di densità [1] e quella di Archimede [2].

Proprietà 4 (di densità). Comunque presi due numeri reali x e y esiste sempre un numero razionale q e un numero irrazionale a compresi tra i due.

∀x, y ∈ R, x < y : ∃q ∈ Q, x < q < y

∀x, y ∈ R, x < y : ∃a ∈ R − Q, x < a < y

Dimostrazione Si analizzi la completezza rispetto ai numeri irrazionali: ∀x, y ∈ R, x < y : ∃q ∈ Q, x < q < y.

k − 1 kn nx y 0

3 Notazioni insiemistiche e proprietà di Q, R e C

Per la seconda conseguenza della proprietà di Archimede, esiste un numero naturale n tale che il suo reciproco sia più piccolo dell’intervallo y − x.

∃n ∈ N : 1 / n < y − x

Per la prima conseguenza della proprietà di Archimede, esiste un numero naturale k tale che k/n sia maggiore o uguale a y.

∃k ∈ N : k / n ≥ y.

Sia k il primo naturale tale che k/n sia maggiore o uguale a y.

(k − 1) / n < y ⇔ k / n ≥ y

Resta da controllare se (k − 1) / n ? > x.

(k − 1) / n − x = k / n − 1 / n − x ≥ y − 1 / n − x = y − x − 1 / n > 0

(k − 1) / n ∈ Q ⇔ k, n ∈ N.

(k − 1) / n ? > x vero.

Quindi si è verificato che x < (k − 1) / n < y.

Si analizzi la completezza rispetto ai numeri irrazionali: ∀x, y ∈ R, x < y : ∃a ∈ R − Q, x < a < y.

q y x 0 a a x/a y/a

Secondo quanto trovato in precedenza, tra i due numeri reali x/a e y/a esiste sempre un numero razionale q compreso fra i due.

x/a < q < y/a ⇔ x < aq < y

a ∈ R − Q e q ∈ Q ⇔ aq ∈ R − Q

Proprietà 5 (di completezza). Comunque presi due sottoinsiemi di R non vuoti in modo che tutti gli elementi del primo siano minori o uguali di quelli del secondo, esiste sempre un elemento che separa i due sottoinsiemi.

∀A, B ⊆ R : ∀a ∈ A, ∀b ∈ B, a ≤ b : ∃c ∈ R, a ≤ c ≤ b

4 Notazioni insiemistiche e proprietà di Q, R e C

Valore assoluto

Si definisce il valore assoluto di un qualsiasi numero reale x come una quantità sempre non negativa che corrisponde alla distanza di x dallo zero.

∀x ∈ R, |x| = x se x ≥ 0, −x se x < 0 (9)

|y| |x| y x 0

Il valore assoluto gode delle seguenti proprietà:

• 1. Per definizione, il valore assoluto di un qualunque numero reale x è una quantità non negativa: ∀x ∈ R, |x| ≥ 0.
• 2. Il valore assoluto di un qualunque numero reale x è nullo se e solo se è nullo quel numero reale: ∀x ∈ R, |x| = 0 ⇔ x = 0.
• 3. L’opposto del valore assoluto di un qualsiasi numero reale x non è mai maggiore del numero stesso: ∀x ∈ R, − |x| ≤ x.
• 4. Il valore assoluto di un qualsiasi numero reale x non è mai minore del numero stesso: ∀x ∈ R, |x| ≥ x.
• 5. Il valore assoluto dell’opposto di un qualunque numero reale x è uguale al valore assoluto dello stesso numero: ∀x ∈ R, |−x| = |x|.
• 6. Il valore assoluto di un qualsiasi numero reale x è minore di un altro numero reale r se e soltanto se x è compreso tra l’opposto di r ed r: ∀x, r ∈ R, |x| ≤ r ⇔ −r ≤ x ≤ r.
• 7. Il valore assoluto di un qualsiasi numero reale x è maggiore di un altro numero reale r se e soltanto se x è minore o uguale dell’opposto di r oppure maggiore o uguale di r: ∀x, r ∈ R, |x| ≥ r ⇔ x ≤ −r ∨ x ≥ r.
• 8. Il valore assoluto della somma di due numeri reali qualsiasi x e y è sempre minore o uguale della somma dei valori assoluti dei due numeri: ∀x, y ∈ R, |x + y| ≤ |x| + |y|.
• 9. Il valore assoluto della differenza dei valori assoluti di due numeri reali qualsiasi x e y è sempre minore o uguale del valore assoluto della differenza dei due numeri: ∀x, y ∈ R, |x| − |y| ≤ |x − y|.

Massimo, maggiorante ed estremo superiore

Sia E un sottoinsieme di R non vuoto, si definisce minimo di E, indicato con min E, l’elemento m di E di cui tutti gli altri sono maggiori o uguali.

def minimo di E = m ∈ E, ∀x ∈ E, x ≥ m.

Si definisce massimo di E, indicato con max E, l’elemento M di E di cui tutti gli altri sono minori o uguali.

M ∈ E, ∀x ∈ E, x ≤ M.

Teorema 1 (dell’unicità del massimo e del minimo). Qualora esistano, il massimo o il minimo di un insieme sono unici.

Dimostrazione Si suppone che l’insieme E ammetta due massimi M1 ed M2.

M1 ∈ E = max E, M2 ∈ E = max E.

∀x ∈ E, x ≤ M1 se scelgo x = M2 ≥ M2 M1.

∀x ∈ E, x ≤ M2 se scelgo x = M1 ≥ M1 M2.

È banale dire che M2 e M1 devono essere uguali. La stessa dimostrazione è analoga nel caso si voglia dimostrare l’unicità del minimo.

Si definisce minorante l di E un elemento di R minore o uguale di tutti gli elementi di E.

l ∈ R, ∀x ∈ E, x ≥ l.

Si definisce maggiorante L di E un elemento di R maggiore o uguale di tutti gli elementi di E.

L ∈ R, ∀x ∈ E, x ≤ L.

Se il minimo o il massimo di un insieme esistono, sono rispettivamente un minorante e un maggiorante.

Se E ammette un minorante si definisce limitato inferiormente.

Se E ammette u