Appunti di Analisi 2

Analisi matematica T-2

Marco Boschi

A.A. 2014–2015

Indice

R N

1 Calcolo differenziale in 1

1.1 Derivata direzionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Derivata parziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Estremanti relativi e gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Derivate di ordine superiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4.1 Teorema di Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Esempio 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5 Funzioni differenziabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.6 Differenziabilità e continuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.6.1 Teorema del differenziale totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.6.2 Differenziabilità per funzioni di una variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.6.3 Differenziabilità sulla somma e prodotto per uno scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.6.4 Differenziabilità della funzione composta o invarianza del differenziale per composizione 6

1.7 Differenziabilità per funzioni scalari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Esempio 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.7.1 Interpretazione geometrica del differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.8 Conseguenza del teorema del valor medio o di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.9 Teorema dell’invertibilità locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.9.1 Esempi di diffeomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.9.1.1 Coordinate polari piane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

R 3

1.9.1.2 Coordinate sferiche in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.9.1.3 Coordinate cilindriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.10 Estremanti relativi e differenziale secondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.10.1 Forme bilineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.10.2 Differenziale secondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Forme differenziali lineari 12

2.1 Campi di vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Forme differenziali esatte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Integrali curvilinei o integrali di forme integrali su una traiettoria . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 Teorema di Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

R × RN M

3 Equazioni implicite in 16

3.1 Teorema di Dini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

R N

4 Sottovarietà differenziali di 19

4.1 Spazio tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

R N

4.2 Sottovarietà differenziali di . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Esempio 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.2.1 Base dello spazio normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.3 Estremanti relativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.3.1 Moltiplicatori di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5 Equazioni differenziali 23

Esempio 5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Esempio 5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Esempio 5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

i

5.1 Equazioni differenziali normali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.2 Equazioni a variabili separate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.2.1 Equazioni a variabili separabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.3 Sistemi di equazioni differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.4 Equazioni di ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

n

6 Equazioni differenziali lineari 27

6.1 Sistemi di equazioni differenziali lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6.1.1 Sistemi omogenei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6.1.2 Sistemi non omogenei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6.2 Equazioni differenziali lineari di ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

n

R N

7 Integrale di Riemann su intervalli di 32

7.1 Funzioni di Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

7.2 Integrale secondo Riemann su un intervallo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

7.2.1 Teorema della media integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

7.3 Calcolo integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

7.3.1 Teorema fondamentale del calcolo integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

R N

7.3.2 Integrali in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

R N

8 Integrale di Lebesgue in 38

8.1 Insiemi misurabili secondo Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

8.2 Funzioni misurabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

8.3 Integrale su un insieme misurabile di una funzione misurabile positiva . . . . . . . . . . . . . 39

8.4 Misura di un insieme misurabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

8.5 Integrale di Riemann e di Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

8.6 Integrale sul prodotto di insiemi misurabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

8.6.1 Cambiamento di variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

8.7 Integrale di funzioni integrabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

8.7.1 Applicazioni geometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

8.7.1.1 Area di un’ellisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

8.7.1.2 Volume di un ellissoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

8.7.1.3 Volume di un cono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

8.7.1.4 Volume di un solido di rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

9 Integrali su sottovarietà 45

9.1 Integrale su sottovarietà parametrizzabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

9.1.1 Applicazioni geometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

9.1.1.1 Lunghezza di una circonferenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

9.1.1.2 Lunghezza di un’elica circolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

9.1.1.3 Lunghezza di una cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

9.1.1.4 Superficie laterale di un cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

9.1.1.5 Superficie laterale di un cono regolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

9.1.1.6 Superficie sferica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

9.1.1.7 Superficie di rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

10 Integrali di forme differenziali su sottovarietà orientate 51

10.1 Forme differenziali di ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

m

10.1.1 Integrale di una su una sottovarietà orientata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

m-forma

11 Teorema di Stokes su sottovarietà con bordo 56

ii

Capitolo 1

Calcolo differenziale in R N

Si lavora su delle funzioni vettoriali a variabili del tipo con che si differenziano da N f : A A R → R → −2 3 2 quelle studiate in Analisi 1 perché lavorano su più variabili, per esempio f : R → R N M, (x, y) → (x+y, xy, x², y).

Queste funzioni vettoriali ammettono quindi componenti: sia , , M A f : A i = 1, 2, . . . , M → R, → si pone , cioè una funzione scalare che restituisce la componente del vettore f : A x (f (x)) i-esima i risultato di , nel caso di prima si ha: f

• f₁ : R² → R, (x, y) → x + y;
• f₂ : R² → R, (x, y) → xy;
• f₃ : R² → R, (x, y) → x² − y².

Sia A ⊂ R^N, f : A → R^M, il grafico è gr(f ) = {(x, f (x)); x ∈ A} ⊂ R^N × R^M = A × R^M.

Il grafico è quindi rappresentabile solo se N + M = 2 e qui si ricade nell’Analisi 1, oppure quindi con N = 2 M = 1, e il grafico si rappresenta quindi col dominio sul piano orizzontale xy, che diventano x₁ e x₂, e il codominio si muove sull’asse verticale rendendo il grafico una superficie, come vediamo in Figura 1.1b.

Nel caso in cui si abbia una sola variabile abbiamo un caso secondario in cui il grafico è una curva. Se proiettiamo la curva sul piano xy abbiamo il grafico della prima componente di f, sul piano x₁ quello della seconda, Figura 1.1a.

R. R

(a) (b)

2

Dominio Dominio

Figura 1.1: Grafici con diverso dominio.

Sia A ⊂ R², f : A → R, e supponiamo che il grafico sia un paraboloide. Se ora prendiamo un valore di y per sapere i punti in cui la funzione vale c, si traccia un piano perpendicolare all’asse y che interseca il grafico in un cerchio, la sua proiezione sul dominio dà una curva che si dice curva di livello, cioè i punti in cui la funzione ha lo stesso valore. Se ora prendiamo vari c equidistanti possiamo notare, come si vede in Figura 1.2, che le curve di livello diventano sempre più vicine man mano che ci si allontana dal centro dato che la funzione cresce più rapidamente.

Figura 1.2: Esempio di curve di livello, rappresentate in blu.

1.1 Derivata direzionale

Sia A ⊂ R^N, f : A → R^M, a ∈ IntA e e ∈ R^N ∧ e ∧ = 1. A questo punto ci muoviamo dentro il dominio a partire da a lungo la direzione di e considerando quindi i punti a + te, t ∈ R. Calcolando la funzioni in questi punti e sottraendo il valore in a otteniamo l’incremento della funzione; l’incremento della variabile invece è dato da t.

Si dice che f è derivabile in a secondo la direzione e se esiste finito

D_ef (a) = lim_t→0 f (a + te) − f (a) / t. (1.1)

In tal caso chiamo l’Equazione 1.1. Questa derivata ha un significato geometrico simile alle derivate di funzioni a una variabile, infatti considerando che a varia su una retta otteniamo una curva interna alla superficie descritta dalla funzione, la derivata direzionale è quindi la tangente dell’angolo θ formato tra la retta per a con direzione e e la tangente alla curva individuata sulla superficie.

1.2 Derivata parziale

Se ci sono tutte le derivate direzionali non possiamo dire che sia continua perché le restrizioni sono finite, quindi non abbiamo un’estensione soddisfacente del concetto di derivata dell’Analisi 1, serve quindi R N un concetto più pesante. Consideriamo e = e_k dove e_k è il vettore della base canonica R^N. Poiché ora ci muoviamo lungo la direzione e_k si dice che la funzione f è derivabile parzialmente in a secondo k se f è derivabile in a secondo la direzione e_k e si pone

D_kf (a) = D_ekf (a) = lim_t→0 f (a + te_k) − f (a) / t.

(a) (b)

Derivata parziale sulla seconda variabile delle funzione. I punti considerati mantengono una coordinata fissa.

Figura 1.3: Derivata parziale.

In questo modo ci si muove lungo un segmento in cui i punti hanno una coordinata fissa e una variabile, se consideriamo e₁ a₂, avremo i punti {(x, a₂); x ∈ R}, vedi Figura 1.3b, riconducendoci quindi a una funzione di una sola variabile quindi si ha la derivabilità parziale se la funzione è derivabile e la g(x) = f (x, a₂) derivata parziale è la derivata di g, il cui dominio risulta essere {x ∈ R; (x, a₂) ∈ A}.

Passiamo ora al caso generale: sia A ⊂ R^N, f : A → R^M, a ∈ IntA, k = 1, 2, . . . , N g : (a₁, . . . , a_k−1, x, a_k+1, . . . , a_n) → R → M allora f è derivabile parzialmente in a secondo l’indice k, se e solo se g è derivabile in a_k; in tal caso D_kf (a) = g′(a_k).

Poiché la prima variabile si indica con la derivata parziale di indice 1 si indica con ∂f / ∂x₁ (x, y), la 2 con ∂f / ∂y (x, y) e così via.

Sia A ⊂ R^N, f : A → R^M, a ∈ IntA, derivabile parzialmente rispetto a ∀k = 1, 2, . . . , N f k, si dice gradiente di f ma poiché ogni derivata è a sua volta un vettore perché la funzione è vettoriale identifichiamo ogni derivata con un vettore colonna e otteniamo una matrice:

gradf (a) = (D₁f (a), D₂f (a), . . . , D_Nf (a)),

2 ⎡D₁f₁(a) D₂f₁(a) · · · D_Nf₁(a)⎤
⎢D₁f₂(a) D₂f₂(a) · · · D_Nf₂(a)⎥
⎢... ... ...⎥
⎣D₁f_M(a) D₂f_M(a) · · · D_Nf_M(a)⎦

Questa matrice è il gradiente e si chiama matrice jacobiana: il primo nome si usa per le funzioni M × N scalari ed è un vettore, il secondo per le funzioni vettoriali.

Sia A ⊂ R^N aperto, f : A → R^M, derivabile parzialmente in ∀x ∈ A rispetto a k = 1, 2, . . . , N, allora si definisce la funzione derivata parziale k-esima D_kf : A → R^M, x → D_kf (x). Una funzione f si dice di classe C¹ se:

• Ci sono tutte le derivate parziali;
• Le derivate parziali sono continue.

1.3 Estremanti relativi e gradiente

Nell’Analisi 1 in un punto di massimo o minimo la derivata è nulla, ragionando in più variabili sia ha la stessa cosa: in un punto di massimo o minimo si annullano tutte le derivate parziali e quindi il gradiente diventa nullo, questi punti si dicono anche punti critici o stazionari.

Sia A ⊂ R^N, a ∈ IntA, f : A → R derivabile parzialmente in a per ogni k = 1, 2, . . . , N, allora a estremante relativo per f ⇒ gradf (a) = 0.

Dimostrazione. Deve valere ∀k = 1, 2, . . . , N D_kf (a) = 0 ma le derivate parziali sono derivate di funzioni ad una variabile, quindi si considera la funzione g : {x ∈ R; (a₁, . . . , a_k−1, x, a_k+1, . . . , a_n)} → R, → f (a₁, . . . , a_k−1, x, a_k+1, . . . , a_n) e quindi D_kf (a) = g′(a_k) e risulta che a sia estremante relativo per la funzione g, per cui la derivata parziale secondo k di f in a risulta essere nulla.

Come nell’Analisi 1 non vale il caso inverso, inoltre se il gradiente è nullo è più improbabile, rispetto alle funzioni ad una variabile, che il punto sia estremante. Per N = 2 si ha che gradf (a₁, a₂) = 0 e poiché D₁f (a₁, a₂) D₂f (a₁, a₂) = 0 e queste derivate determinano il piano tangente al grafico, si ha che in questo punto è parallelo al piano xy. In questa configurazione si possono avere tre casi:

• Nel punto a si ha la cima di un “colle”, Figura 1.4a;
• Nel punto a si ha il fondo di un “catino”, Figura 1.4b;
• Nel punto a si ha una superficie a forma di sella, cosa che in genere accade la metà delle volte, Figura 1.4c.

(a) (b) (c)

“Colle”. “Catino”. “Sella”.

Figura 1.4: Diversi comportamenti del grafico in un estremante.

Il teorema è usato per individuare gli estremanti assoluti, e non relativi, come l’enunciato suggerirebbe. Negli esercizi torna molto utile l’equazione segmentaria della retta: nel caso di una retta che non passa per l’origine si ha p ascissa dell’intersezione con l’asse x e q l’ordinata dell’intersezione con l’asse y dando p / x + q / y = 1 l’equazione per la retta in questione.

Nella ricerca degli estremanti assoluti si procede per esclusione individuando i possibili estremanti nei punti dove il gradiente si annulla per i punti interni, quindi si passa a considerare la frontiera riconducendoci a una funzione a una singola variabile e ancora si procede per i punti interni con la derivata prima e poi si aggiungono quelli di frontiera.

1.4 Derivate di ordine superiore

Sia A ⊂ R^N aperto, f : A → R^M, derivabile parzialmente in ∀x ∈ A rispetto a k, h = 1, 2, . . . , N A f x k ∈