Funzioni, successioni e limiti - Analisi 1

Indice documento

Funzioni

Restrizioni di f

Successioni

Limiti

Proprietà e teoremi sui limiti:

• Teorema limitatezza
• Teorema della permanenza del segno
• Teorema del confronto
• Teorema somma limiti
• Forme indeterminate

Limiti di funzioni composte

Teorema del cambio di variabili

Funzioni monotone

Infinitesimi

Limiti di successioni numeriche

Successioni monotone

Numero di Nepero

Limiti notevoli

Punti di discontinuità

Sottosuccessioni

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Funzioni

Restrizioni di f

Successioni

Limiti

Proprietà e teoremi sui limiti:

• Teorema limitatezza
• Teorema della permanenza del segno
• Teorema del confronto
• Teorema somma limiti
• Forme indeterminate

Limiti di funzioni composte

Teorema del cambio di variabili

Funzioni monotone

Infinitesimi

Limiti di successioni numeriche

Successioni monotone

Numero di Nepero

Limiti notevoli

Punti di discontinuità

Sottosuccessioni

Funzioni

Si chiama funzione una legge che fa corrispondere ad ogni elemento x del dominio uno e uno solo elemento y del codominio.

X = _R e Y = f(x)

L'insieme X si chiama dominio della funzione, e contiene tutti i valori di X per cui la funzione può calcolare (campo di esistenza).

L'insieme Y si chiama codominio della funzione e contiene tutti i valori che può assumere f(x) = immagine di f.

L'insieme Gf si chiama grafico di f.

Tipi di funzioni

Le funzioni possono essere:

• F si dice iniettiva se associato un elemento x del dominio ad un solo elemento y del codominio non è possibile che alcuni elementi y non sono associati ad alcun elemento x.
• Esempio
• F si dice suriettiva se ogni elemento y del codominio è associato ad almeno un elemento x del dominio.
• Esempio

Biettiva

F si dice biettiva se è sia suriettiva sia iniettiva.

Allora una funzione è biettiva e anche invertibile.

Se x ∈ R e sia f: x → R iniettiva e suriettiva => F^-1(y) = x (=>) f(x) = y.

Funzione inversa

Esempio: f è x³ e sia suriettiva, data iniettiva e quindi è biettiva.

Così significa che è invertibile f(x) = x³ → x^1/3.

f(x) = ∛y

Esempio: no iniettive e no suriettive

f(x) = |x| ∀x ∈ R

Dominio = R

Codominio = [0, +∞[

Non è iniettiva perché per diversi valori di x si può avere la stessa f(x).

Non è biettiva perché ...

f(x) = x² ∀x ∈ R

Dominio = R

Codominio = [0, +∞[

Non è iniettiva perché (vedi caso prec.)

Non è suriettiva perché ...

Simmetrie

Una funzione è pari se f(x) = f(-x) cioè cambiando il segno di x non cambia di valore f(x) → è simmetrica rispetto l'asse y.

Una funzione è dispari se f(x) = -f(-x) cioè se cambiando il segno di x cambia il segno della y → è simmetrica rispetto l'origine.

Una funzione è né pari né dispari se cambiando il segno di x lui cambia completamente. Non è simmetrica.

Restrizione di f

Per restrizione di una funzione si intende una funzione ottenuta dalle precedenti per costruzione sul suo dominio.

Data una funzione f: X → R e sia Z ⊆ X, la funzione ristretta nell'insieme Z appartiene al dominio X. Sarà:

f |_Z : Z → R ⇔ f |_Z = f(x) ∀x ∈ Z

Esempio

f(x) = x² ∀x ∈ R

f : → R

f |_R⁺ = x² ∀x ∈ R⁺

f |_R⁺ : R⁺ → R⁺ ⇒ |R

In questo caso f |_R⁺ = x² ∀x ∈ R⁺ è detta e quindi invertibile definiamo g(y) = f |_R⁺ ⇒ g^-1(x) = √x ∀x ∈ R⁺

Esempio

f(x) = sen x ∀x ∈ R

f : R → [-1,1]

Consideriamo la restrizione ∀x ∈ [^-π/₂,^π/₂]

f |_{[^-π/2,^π/2]} → [-1,1]

(Funz biettiva) → invertibile

g^-1(y) = arc sen x (anche le funzioni trigonometriche sono invertibili)

Estremo superiore ed inferiore di una funzione

So